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2011学年度第二学期东北十校联合体高二期末联考


2011 学年度第二学期十校联合体高二期末联考 数学试卷(理科)
(完卷 时间:100 分钟, 满分:120 分,本次考试不得使用计算器) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z= A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

2. 用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a, b, c 中至少有一个是偶数” 时,下列假设正确的是 A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个偶数 3.若离散型随机变量 X 的分布列如下: B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个偶数

X
P
则 X 的方差 DX ? A.0.6 B.0.4

0

1 0.4

b

C.0.24

D.1

4.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为 A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

5.下面使用类比推理恰当的是 ...

3 3 0 0 A. “若 a? ? b? ,则 a ? b ”类推出“若 a? ? b? ,则 a ? b ”

b bc B. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a? )c ? ac? ”
C. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a ? b) / c ? a / c ? b / c(c ? 0) ” D. “若 (ab)n ? an bn ”类推出“若 (a ? b)n ? a n ? bn ” 6.设 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? L ? a7 x ,则 a0,a1,a2, ,a7 中最大的数是 L
7 2 7

A. a3

B. a4

C. a5

D. a3 和 a4

7.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,?,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中, 正确的是 A.P(k)对k=2012成立 B.P(k)对每一个自然数k成立
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C.P(k)对每一个正偶数k成立

D.P(k)对某些偶数可能不成立

8.函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的 图象是如图所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象不经过 ... A.第一象限 9.给出下列不等式: B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

b2 a 2 ? b2 2 2 ? ?2 ; ? 1 ,则 ab ? a b ; ② a, b ? R 且 ab ? 0 ,则 ① a ? b ? 0 ,且 a ? ab 4
2

③ a ? b ? 0 ,m>0,则

a?m a ? ; b?m b

④ x?

4 ? 4( x ? 0) . x

其中正确不等式的序号为 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

10.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两 个圆所涂颜色不能相同,则 不同的涂色方案共有 A.18 个 B.24 个 C.30 个 D.36 个

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.用数学归纳法证明1+ 12.若复数 z ?

a ? 3i (a ? R, i 是虚数单位) ,且 z 是纯虚数,则 | a ? 2i | 等于 1 ? 2i

1 1 1 * + +?+ n <n(n>1, n ? N ),在验证n=2成立时,左式是______________. 2 3 2 ?1
. .

13. 5 支竹签, 有 编号分别为 1, 3, 5, 2, 4, 从中任取 3 支, X 表示取出 竹签的最大号码, EX 的值为 以 则 14.已知函数 f ( x) ? 是 .
n

1 3 1 1 x ? (a ? ) x 2 ? x(a ? 0) ,则 f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线的斜率最大时的切线方程 3 2 a

? 3 1? 15. n ? N , 若 n<100, 且二项式 ? x ? 2 ? x ? ?
*

的展开式中存在常数项, 则所有满足条件的 n 值的和是



16. 已知点列如下:P (1,1) ,P2 (1, 2) ,P (2,1) ,P (1,3) ,P (2, 2) ,P (3,1) ,P (1, 4) ,P (2,3) ,P (3, 2) ,P (4,1) , 3 4 6 7 10 1 5 8 9

P (1,5) , P (2, 4) ,??,则 P60 的坐标为 11 12



17.对于连续函数 f ( x ) 和 g ( x) ,函数 f ( x) ? g ( x) 在闭区间[a,b]上的最大值为 f ( x ) 与

g ( x) 在闭区间[a,b]上的“绝对差” ,记为
等于 .

a ? x ?b

? ( f ( x), g ( x)) ,则 ?

1 1 ( x3 , x 2 ? 2 x) 2 ?2? x ?3 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
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18.(本题满分 12 分)学校组织 4 名同学甲、乙、丙、丁去 3 个工厂 A、B、C 进行社会实践 活动,每个同学只能去一个工厂. (1)问有多少种不同分配方案? (2)若每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案?

(3)若同学甲、乙不能去工厂 A,且每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案?【结果全部用数字作答】

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x4 ? 2ax2 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? x ? 2a 时,函数 f ( x ) 存在极小值,求 a 的取值范围.

20.(本题满分 13 分)今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以由此计算 出自己每天的碳排放量.例如家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数× 0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升 数×0.785 等,某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查. 若生活习惯符 合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰好有两人是低碳族的概 率; (2)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列,如果两周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 ? 表示 25 个人中的低碳族人数,求 E ? .

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21.(本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 kx ? f ( x) ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.

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2011 学年度第二学期十校联合体高二期末联考 数学试卷(理 科)
(完卷 时间:100 分钟, 满分:120 分,本次考试不得使用计算器) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z= A. ?1 ? 2i 【解析】z= 【答案】 A 2.用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 有有理根,那么 B. ?1 ? 2i
2?i = i 2 ? 2i = ?1? 2i . i

C. 1 ? 2i

D. 1 ? 2i

a, b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是
A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个偶数

【解析】 “至少有一个是偶数”的反面是“ a, b, c 都不是偶数” . 【答案】B 3.若离散型随机变量 X 的分布列如下:

X
P
则 X 的方差 DX ? A.0.6 B.0.4

0

1 0.4

b

C.0.24

D.1

【解析】 b ? 0.6 ,EX=0.4,DX=nP(1-P)=0.24. 【答案】C 4.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶 数点的概率为 A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

【解析】本题考查条件概率.一枚骰子连续掷两次共有 6×6=36 种情况,其中满足第一 次抛出的是偶数点的情况有 3×6=18 种,且第二次抛出的也是偶数点的有 3×3=9 种. 【答案】B
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5.下面使用类比推理恰当的是 ...

3 3 0 0 A. “若 a? ? b? ,则 a ? b ”类推出“若 a? ? b? ,则 a ? b ”

b bc B. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a? )c ? ac? ”
C. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a ? b) / c ? a / c ? b / c(c ? 0) ” D. “若 (ab)n ? an bn ”类推出“若 (a ? b)n ? a n ? bn ” 【解析】显然 C 是正确的. 【答案】C 6.设 (1 ? x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? L ? a7 x7 ,则 a0,a1,a2, ,a7 中最大的数是 L A. a3 B. a4 C. a5 D. a3 和 a4

【解析】 Tr ?1 ? C7r (?1)r x ,易知当 r=4,即 a 4 时,有最大的数. 【答案】B 7.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,?,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1 时它也成立,下列判断中,正确的是 A.P(k)对k=2012成立 C.P(k)对每一个正偶数k成立 B.P(k)对每一个自然数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立

【解析】由题意:P(k)对 k=2012 不成立,P(k)并不是对每个偶数都成立的,所以“P(k) 对某些偶数可能不成立”是对的. 【答案】D 8.函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的 图象是如图所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象不经过 ... A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

【解析】观察易得:当 (?? , ? a) 时,函数 y ? f ( x) 递增, 当 (? a , ? ? ) 时, 函数 y ? f ( x) 递减, 有函数 y ? f ( x) 过原点, 由此函数 y ? f ( x) 的图像可以如图所示. 【答案】B

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9.给出下列不等式:
2 ①a ? b ? 0, a ? 且

b2 a 2 ? b2 ? ?2 ; 则 则 ? 1 , ab ? a 2 b2 ; ② a, b ? R 且 ab ? 0 , ab 4
a?m a ? ; b?m b
④ x?

③ a ? b ? 0 ,m>0,则

4 ? 4( x ? 0) . x

其中正确不等式的序号为 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

【解析】假设③正确,那么 (a ? m)b ? (b ? m)a ,展开得: bm ? am ,即 (b ? a)m ? 0 ,与
a ? b ? 0 ,m>0 矛盾,故③错.其余都是正确的,考生可自行验证.

【答案】B 10.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两 个 圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案共有 A.18 个 B.24 个 C.30 个 D.36 个

【解析】如下就第一个圆填红颜色为例进行分析:

(ζ)后面的与上面同样分析得有 5 种情况.所以第一个圆填红颜色的有 10 种情况. 然而,第一个圆还可以填黄、蓝两种颜色,因此总共有 3×10=30 种. 【答案】C

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.用数学归纳法证明1+

1 1 1 * + +?+ n <n(n>1, n ? N ),在验证n=2成立时, 2 3 2 ?1

左式是______________.
1 1 【解析】当 n=2 时, 2n ? 1 ? 3 ,故左式= 1 ? ? . 2 3 1 1 【答案】 1 ? ? 2 3
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12.若复数 z ? 【解析】z ?

a ? 3i (a ? R, i 是虚数单位) ,且 z 是纯虚数,则 | a ? 2i | 等于 1 ? 2i



a ? 3i (a ? 6)(3 ? 2a)i , a ? 6 ? 0 ,a ? 6 . a ? 2i ? 6 ? 2i ? 62 ? 22 ? 2 10 . 故 ? 1 ? 2i 5

【答案】 2 10 13.有 5 支竹签,编号分别为 1,2,3,4,5,从中任取 3 支,以 X 表示取出 竹签的最大号 码,则 EX 的值为 .
C2 C2 1 1 3 6 ? ,P(X=4)= 33 ? ,P(X=5)= 43 ? . 3 C5 10 C5 10 C5 10

【解析】X=3、4、5.P(X=3)= EX= ? i ? P( X ? i) ? 4.5 .
i ?3 5

【答案】 4.5 14.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 1 x ? (a ? ) x 2 ? x(a ? 0) ,则 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜 3 2 a


率最大时的切线方程是

【解析】求导根据单调性及导数的意义即可得到答案. 【答案】 y ?
1 3
n

? 3 1? * 15.若 n ? N ,n<100,且二项式 ? x ? 2 ? x ? ?
的 n 值的和是 .

的展开式中存在常数项,则所有满足条件

r r 【解析】 Tr ?1 ? Cn x3( n ? r ) (?1)r x ?2r ? (?1)r Cn x3n ?5r ,存在常数项的充要条件是 3n ? 5r ? 0 ,即

3 r ? n .由于 0≤ r <100,故 n 为 100 内 5 的正倍数,即:5、10、15、??、95.则所 5

有满足条件的 n 值的和是 950 . 【答案】 950 16.已知点列如下: P (1,1) , P2 (1, 2) , P (2,1) , P (1,3) , P (2, 2) , P (3,1) , P (1, 4) , 3 4 6 7 1 5

P (2,3) , P (3, 2) , P (4,1) , P (1,5) , P (2, 4) ,??,则 P60 的坐标为 10 8 9 11 12



【解析】观察上述规律易得:点 P(a,b),满足 a+b=2,3,4,??,利用分组思想, 将 a+b 值相同的点组合在一起, 有第 i 组的第一个为(1, 最后一个为(i, 共 i 个点. i), 1), 又 有 1+2+3+?+10=55,1+2+3+?+11=66.故点 P60 落在第 11 组,此组中满足 a+b =12,第一个为 P56(1,11),类推得 P60 为(5,7).
7) 【答案】 (5 ,

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17.对于连续函数 f ( x ) 和 g ( x) ,函数 f ( x) ? g ( x) 在闭区间[a,b]上的最大值为 f ( x ) 与 则 ? ( f ( x), g ( x)) , ?

[a, 上的 b] “绝对差” 记为 , g ( x) 在闭区间 等于 .

a ? x ?b

1 1 ( x3 , x 2 ? 2 x) 2 ?2? x ?3 3

【解析】读懂“绝对差”的定义是解决本题的关键.考生应培养对新定义、以材料形式 等给出的新知识等类型的认读能力. 【答案】
10 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18.(本题满分 12 分)学校组织 4 名同学甲、乙、丙、丁去 3 个工厂 A、B、C 进行社会实践 活动,每个同学只能去一个工厂. (1)问有多少种不同分配方案? (2)若每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案? (3)若同学甲、乙不能去工厂 A,且每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案? 【结果全部用数字作答】 【解析】 (1) 34 ? 81 . ?????????????????????????3 分 ??????????7 分

2 3 (2) C4 A3 ? 36 . 【式子正确给 3 分满分 4 分】

(3)分两类: ①两个同学去工厂 A 有 2 种情况. ??????9 分 ???12 分

1 2 2 ②一个同学去工厂 A 有 C2C3 A2 ? 12 ,所以共有 14 种情况.

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax
4

2

a?R.

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? x ? 2a 时,函数 f ( x ) 存在极小值,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)由题设知 f ?( x) ? 4x ? 4ax .
3 2 令 f ?( x) ? 0 ,得 4 x( x ? a) ? 0 ,????????????????????2 分

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当 a ? 0 时,得 x=0 时, x<0 时, f ?( x) ? 0 ;x>0 时, f ?( x) ? 0 , ∴函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0);单调递增区间是(0,+∞).????5 分 (2)∵ a ? x ? 2a ,∴a>0. ???????????????????6 分

当 a>0时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x=0 或 x= ? a , 列表如下: (- a ,0) ( a ,+∞)

x

(-∞,- a )

(0, a )

f ?( x)









f ( x)





递 增









得 x=- a 或 x= a 时,f(x)极小= f(± a )= ? a .???????????9 分
2

取 x=- a ,由条件得 a ? ? a ? 2a ,无解. 取 x= a , 由条件得 a ? 综合上述:

a ? 2a ,解得

1 ? a ?1. 4

1 ? a ?1. 4

?????????????????????12 分

20.(本题满分 13 分)今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的 软件,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量.例如家居用电的碳排放量(千克)=耗 电度数× 0.785, 汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数×0.785 等, 某班同学利用寒假在两 个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查. 若生活习惯符合低碳观念的 称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据 如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰好有两人是低碳族的概 率; (2)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列,如果两周后
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随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 ? 表示 25 个人中的低碳族人数,求 E ? . 【解析】

21.(本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 kx ? f ( x) ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值. 【解析】 (1)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1. 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 .所以 a ? 1 .????????????4 分 (2)由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , kx ? f ( x) ? k 所以 k ?

f ? x? x ?1

对任意 x ? 1 恒成立,即 k ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立.?7 分 x ?1

[来源:学科网 ZXXK]

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2011 学年度第二学期十校联合体高二期末联考 数学(理 科)参考试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)
1 1 1 10 7) 11. 1 ? ? ;12. 2 10 ;13. 4.5 ;14. y ? ;15. 950 ;16. (5 , ;17. . 2 3 3 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18.(本题满分 12 分) 【解析】 (1) 34 ? 81 . ?????????????????????????3 分 ??????????7 分

2 3 (2) C4 A3 ? 36 . 【式子正确给 3 分满分 4 分】

(3)分两类: ①两个同学去工厂 A 有 2 种情况. ??????9 分 ???12 分

1 2 2 ②一个同学去工厂 A 有 C2C3 A2 ? 12 ,所以共有 14 种情况.

19.(本题满分 12 分) 【解析】 (1)由题设知 f ?( x) ? 4x ? 4ax .
3 2 令 f ?( x) ? 0 ,得 4 x( x ? a) ? 0 ,????????????????????2 分

当 a ? 0 时,得 x=0 时, x<0 时, f ?( x) ? 0 ;x>0 时, f ?( x) ? 0 , ∴函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0);单调递增区间是(0,+∞).????5 分 (2)∵ a ? x ? 2a ,∴a>0. ???????????????????6 分

当 a>0时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x=0 或 x= ? a , 列表如下:

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x

(-∞,- a )

(- a ,0)

(0, a )

( a ,+∞)

f ?( x)









f ( x)





递 增









得 x=- a 或 x= a 时,f(x)极小= f(± a )= ? a .???????????9 分
2

取 x=- a ,由条件得 a ? ? a ? 2a ,无解. 取 x= a , 由条件得 a ? 综合上述:

a ? 2a ,解得

1 ? a ?1. 4

1 ? a ?1. 4

?????????????????????12 分

20.(本题满分 13 分) 【解析】

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21.(本题满分 15 分) 【解析】 (1)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1. 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 .所以 a ? 1 .????????????4 分 (2)由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , kx ? f ( x) ? k 所以 k ?

f ? x? x ?1

对任意 x ? 1 恒成立,即 k ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立.?7 分 x ?1

[来源:学科网 ZXXK]

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