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2014年数学知识梳理


2014年高考数学基础知识回归 (高三数学组) 一 命题及逻辑联结词
1、四种命题的相互关系 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p;否命题:若非p则非q ;逆否命题:若非q则非p 注:当一个命题的真假不易判断时,往往可以判断原命题的逆否命题的真假,从而得出原命 题的真假。 例题1:给出命题: “若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限” ,在它的

逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2、真值表 ★ p 或 q 一真则真。P 且 q 一假则假 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假
x x

p且q 真 假 假 假
3 2

例题 2:已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题 的是( ) A、p∧q B、¬p∧q C、p∧¬q D、¬p∧¬q

3、常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q

?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

★4、否命题与命题的否定。 否命题是条件和结论都否定,命题的否定只否定结论。全称命题的否定是特称命题,特称命 题的否定是全称命题, 否命题与命题的否定是不相同的,若 p 表示命题, “非 p”叫做命题的否定。如果原命题是 “若 p 则 q ” ,否命题是“若 ? p ,则 ? q ” ,而命题的否定是“p 则 ? q ” ,即只否定结论。 例题 3.已知命题“ ?a, b ? R ,如果 ab>0.则 a>0” ,则它的否命题是( A. ?a, b ? R .如果 ab<0,则 a<0 B. )

?a, b ? R ,如果 ab≤0,则 a≤0

C. ?a, b ? R ,如果 ab<0,则 a<0

D.

?a, b ? R ,如果 ab≤0,则 a≤0

例题 4、命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 ★5.“p 且 q”的否定是“非 p 或非 q”;“p 或 q”的否定是“非 p 且非 q”。 练习 1.已知下列四个命题: ①“若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题; ② “面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m ? 1 ,则方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 其中真命题的是_______. 2.有下列命题:①对角线不垂直的平行四边形不是菱形;②“若 x ?

y ? 0 ,则 xy ? 0 ”

的逆命题;③“ 若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ”的否命题;④“若方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个不相 等的实根,则 ac ? 0 ”的逆否命题.其中真命题的序号有________. 3.有下列命题:① ?x ? R, 2 x ? 3 x ? 4 ? 0 ;② ?x ? {?1, 0,1}, 2 x ? 1 ? 0 ;
2

③ ?x ? N , 使x ? x ;④ ?x ? N , 使x为29 的约数.其中真命题的序 号有______.
2 *

4.命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0
2

无实根,若 p ? q 为真, p ? q 为假,则实数 m 的取值范围______ ___. 《例题答案》 1C2B3B4C; 《练习答案》 1_①②③ 2_①③3___①③④4 (??, ?2) ? (1, 2] ?[3, ??)

二 二项式定理
1、二项式定理:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0, 1, 2?,n) .

2、二项展开式的通项公式:

例题 1.二项式(2 A.20



)6 的展开式中,常数项是( C.160 D.-20



B.-160

例题 2、 例题 3、 A.360

的展开式中的第四项是 ____。 的展开式中 B.180 C.179 的系数为( D.359 )

.

3、二项式系数和:

0 1 2 r n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n .

例题 4. A.256

的展开式中各项的二项式系数之和为( B.128 C.1 D.0

)

例题 5、 若

展开式的二项式系数之和为 64, 则展开式的常数项为 _ (用数字作答)

4、各项系数和: 赋值法 例题 6、 (x +1) (x-2) =a +a (x-1)+ a (x-1) a +a +a +?+ a 的值为( B.2 C.255 D.-2 项的系数的和为( ) ) +a (x-1) +?+a (x-1) ,则

A.0 例题 7. A.-1

B.0

展开式中不含 C.1 D.2

练习 1. 练习 2、设 A .20

的二项展开式中第 4 项是 ___ 展开后为 B.200 C.55 D.180

. ,那么 ( )

练习 3. 设

的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N, 若 M-N=240,

则展开式中的常数项为_____.

练习 4、 在 __ 练习 5、若 ( ) A.0 练习 6、 若 ( A.1 ) B. B.1 .

的展开式中, 只有第 5 项的二项式系数最大, 则展开式中常数项是 _

,且

,则

C. =

D. , 则 的值是

C.0

D. 2

《例题答案》1、B; 2、- 《练习答案》1、

;3、C;4、A;5、20;6、B;7、B .2、B ;3、-20 ;4、7;5、C;6、A

三 零点问题
注:函数的零点就是函数图象与 x 轴的交点的横坐标。 一、零点个数问题。方法:数形结合。 例 1.函数 f ( x) ?

x ? 4 ? x ? 4 的零点有

个.

例 2. 设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数为( (A)5 (B)6 (C)7

1 3 2 2

) (D)8

二、零点所在区间问题。方法:零点存在性定理 例 3.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 例 4.方程 log4x+x=7 的解所在区间是( A.(1,2) B.(3,4)
1



C.(5,6)
x

D.(6,7)

?1? 练习 1.函数 f ? x ? =x 2 ? ? ? 的零点个数为( ?2?
A.0 B.1 C.2
x 3



D.3 )

练习 2、函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3? 练习 3. 已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数, 又是周期为 3 的周期函数, 当 x∈? ?0,2?时, 3? f(x)=sin πx,f? ?2?=0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( A.3 C.7 B.5 D.9 )

? ?|lg x|,x>0, 练习 4、设定义域为 R 的函数 f(x)=? 2 则关于 x 的函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 ?-x -2x,x≤0, ?

的零点的个数为________. 练习 5、 .函数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 的零点所在区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) )

D.(3,+∞) )

1?x-2 练习 6 函数 y=x3 与 y=? ?2? 图象的交点为(a,b),则 a 所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

练习 7 3.函数f ? x ? ? lnx ?

A. ?1, 2 ? ? 1? C. ?1, ? 和 ? 3, 4 ? ? e?

2 零点所在区间大致是( ) x B. ? 2,3? D. ? e, ?? ?

《例题答案》1、零点个数为 1.2、B;3、C;4、B《练习答案》1B2B3D4、7;5C6B.7B

四 函数
1、反比例函数: y ? 2、对勾函数 y ? x ?
c c (中心为(b,a)) (x ? 0) 平移 ? y ? a ? x?b x
a 0), (0, ? ?)上为增函数 是奇函数, a ? 0时, 在区间(?? , x

a ? 0时, 在(0,a ],[? a ,0)递减 在(?? , ? a ],[ a ,?? )递增

练习 1 已知 t ? 0 , 则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 t ? 1 时,ymin ? ?2 ) 的最小值为____________(答: t

3、单调性①定义法;②导数法. 练习 2 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____ (答: (??,3] )); 注意①: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数, 但反之不一定。 如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上 单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。 注意②:函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围). 练习 3 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 , 求实数

m 的取值范围。
③复合函数由同增异减判定 练习 4 函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________
2

(答: ?

1 2 ?m? ) 2 3

?

?

(答: (1,2))。

4、奇偶性:f(x)是偶函数 ? f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 ? f(-x)=-f(x); 定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0); 定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 5、周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周 期为

T ? 2| a ?b| ;

②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一

T ? 2| a ?b| ; 周期为 ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a , 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 T ? 4| a ?b| ; y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为
练习 5 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上 至少有__________个实数根 (答:5)

(2)由周期函数的定义“函数 f ( x ) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x ) 是周期为 a 的 周期函数”得:①函数 f ( x ) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数; ②若 f ( x ? a) ? 则

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;③若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立, f ( x) f ( x) T ? 2a .

练习 6 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于_____ (答:? 0.5 );

练习 7 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且在 [?3, ?2] 上是减函数, 若? , ? 是锐角三角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________ (答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); 6、常见的图象变换 ①函数 y ? f ?x ? a ? 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平 移 a 个单位得到的。 练习 8 要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平 移 3 个单位而得到 (答: y ;右); 练习 9 函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个 ②函数 y ? f ?x ? + a 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平 移 a 个单位得到的; 练习 10 将函数 y ? (答: 2)

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如 x?a ( B)a ? ?1, b ? R 果 与 原 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 那 么 ( A)a ? ?1, b ? 0 (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R (答:C) 1 ③函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到的。 a 1 练习 11 将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再将此图 3 像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位, 所得图像对应的函数为_____ (答: f (3x ? 6) ); 练习 12 若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是______ 1 (答: x ? ? ). 2 ④函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到
的. 7、函数的对称性。

a?b 对称。 2 2 练习 14 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 1 2 f ( x) ? x 有等根, 则 f ( x) =_____ (答:? x ? x ); 2 ②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为
①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?

y ? f ?? x ?; ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑤特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的 对称曲线的方程为 f ( y, x) ? 0 ; 点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲 线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。 x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 练习 15 己知函数 f ( x) ? 2x ? 3 2 对称图像是 C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___________(答: x?2 y?? ) ; 2x ?1
⑥若 f(a-x)=f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x= 像关于直线 x=
b?a 对称。 2
a?b 对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图 2

提醒:证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 图像上; 练习 16 已知函数 f ( x) ?

x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中 a?x

心对称图形。 ⑥曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。 练习 17 若函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答: (选做)⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,对称中心是点 (? d , a ) 。

? x2 ? 7 x ? 6 )

cx ? d c c 2 练习 18 已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关
于点(2,-3)对称,则 a 的值为______ (答:2) ⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称 图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 练习 19 作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; 练习 20 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____ 对称 (答: y 轴) 练习 20 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则

T f (? ) ? __ 2
8.求解析式 Ⅰ求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法 (2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式。 练习 21 已知 f (1 ? cos x) ? sin x, 求 f x
2

(答:0)

? ? 的解析式
2

(答: f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] ) ;

1 1 2 ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ (答: x ? 2 x ? 3 ) ; x x 练习 23 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那
练习 22 若 f ( x ? 么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________ (答:x(1 ? 3 x ) ) . (3)方程的思想――对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 练习 24 已知 f ( x) ? 2 f ( ?x) ? 3x ? 2 , 求 f ( x ) 的解析式 练习 25 已知 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x ) + g ( x) = (答: ( 答:f ( x) ? ?3 x ?

2 ) ; 3

1 ,则 f ( x ) = x ?1

x )。 x ?1
2

Ⅱ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?, 底数?;零指数 幂的底数?);实际问题有意义; 若 f(x)定义域为[a,b],复合函数 f[g(x)]定义域由 a≤g(x)≤b 解出; 若 f[g(x)]定义域为[a,b],则 f(x)定义域相当于 x∈[a,b]时 g(x)的值域; 练习 26 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为_________ 2 (答: x | 2 ? x ? 4 ) ; 练习 27 若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) , 则函数 f ( x ) 的定义域为________ (答: [1,5]) . Ⅲ求值域: ①配方法: ②逆求法(反求法) : 练习 28. y ? 的取值范围 ③换元法: 练习 29 (1)y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____ (2) y ? 2x ? 1 ? x ?1 的值域为_____ (令 x ?1 ? t , t ? 0 。运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围) ; ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; 练习 30: y ?

?

?

?1 ? ? ?

3x x x 通过反解,用 y 来表示 3 ,再由 3 的取值范围,通过解不等式,得出 y x 1? 3
(答: (0,1) ) ;

[?4, (答:

17 ]) ; 8

(答: ?3, ?? ? )

2sin ? ? 1 的值域 1 ? cos ?

(答:(??, ] ) ;

3 2

⑤不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值。 练习 31 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 ____________.

(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围是 b1b2
(??,0] [4, ??) ) (答: 。

⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 练习 32:求值域(1) y ? x ? (3) y ? 2
x?2

? log 3 ? 5 ? x ?

1 9 2 (1 ? x ? 9) , (2) y ? sin x ? , x 1 ? sin 2 x 80 11 (答:(0, ) 、[ ,9] 、?0, ??? ) ; 9 2 y 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2

⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 练习 33:已知点 P( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求 (答: [?

3 3 ; , ] 、 [? 5, 5] ) 3 3
( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域
(答: [10, ??) ) ;

练习 34:求函数 y ? ⑧导数法;

练习 35:求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ? [?3,3] 的最小值。 综合练习 36:求下列函数的值域: (1) y ? (2) y ?

(答:-48)

3 ? 2x ( x ? [?1,1]) 3 ? 2x

x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) ; x

x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (3) y ? x ?1
⑨.恒成立问题: 分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立 ? a≥[f(x)]max,;a ≤f(x)恒成立 ? a≤[f(x)]min; ⑩利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递 推法、反证法等)进行逻辑探究。 练习 37(1)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x)

? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______ (2)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的
奇偶性是______ (答: 偶函数) ; (3) 已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时,

(答:奇函数) ; y

f ( x) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集
, ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2 ? ? ( 4 ) 设 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 x, y? R , 都 有 1 x f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 ,①求证 f ( x) 为减函数;②解 2 y
是_____________

(? (答:

?

?

O

1

不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 . 综合练习 38.已知函数 f(x)= ?

(答: ? 0,1?

2 x

. ?4,5? ) .

3

?3x ? 2, x ? 1, ? x ? ax, x ? 1,
2

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=

综合练习 39 直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

综合练习 40 设函数 f(x)=x(ex+ ae-x)(x ? R)是偶函数,则实数 a=_________ 38.(答: a=2)39.(答: (1,5/4)40.(答:a=-1)

五 解三角形
1.正弦定理:2R=
a b c = = ; sin A sin B sin C

余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc

1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A? ca sin B 2 2 2
例 1.在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos C 3a ? c ? , cos B b

(1)求 sin B 的值;(2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ?ABC 的面积。

练习 1.在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? ( 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3



练习 2(2012 年高考(重庆理) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ___ 5 13
练习 3. ( 2012 年 高 考 ( 北 京 理 ) ) 在 △ABC 中 , 若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

1 ,则 4

b ? ___________.

sin B ? 1 ? cos B ? 《例题答案》 例 1: (1)
2

1 1 2 2 2 。 (2) S ? ac sin B ? a sin B ? 8 2 。 2 2 3

《练习答案》1. A.2.14/5;3.4

六 解析几何
1.椭圆(焦点在 x 轴) ①方程
?x ? a cos? x 2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0);参数方程 ? 2 a b ? y ? b sin ?

②定义: e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c

③e= c ? 1 ? b 2 ,a =b +c
2 2

2

2

a

a

④长轴长为 2a,短轴长为 2b ⑤通径(最短焦点弦)
2b 2 a

⑥当 P 为短轴端点时∠PF1F2 最大,近地 a-c 远地 a+c; 2.双曲线(焦点在 x 轴) ①方程
x 2 y2 ? ? 1 (a,b>0) a 2 b2
2

②定义: e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c ③e= c ? 1 ? b 2 ,c =a +b
2 2 2

a

a

④四点坐标?x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心
b x 2 y2 ? ? 0 或 y ? ? x ;焦点到渐进线距离为 b; a a 2 b2 2b 2 ⑥通径(最短焦点弦) , a

⑤渐进线

3.抛物线(焦点在 x 轴正半轴) 2 ①方程 y =2px ②定义:|PF|=d ③顶点为焦点到准线垂线段中点;焦点 F( ④焦半径 AF ? x A ?
p p ,0),准线 x=2 2

2 p 2 ;焦点弦 AB =x1+x2+p;y1y2=-p ,x1x2= p 其中 A(x1,y1)、B(x2,y2) 2 4

⑤通径 2p,焦准距 p;

y 练习 1 抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ? 1 的渐近线的距离是( ) 3
2
2

2

A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3

练习 2 :已知抛物线 C : y 2 ? 8x 与点 M ? ?2, 2? , 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于

A, B 两点,若 MA MB ? 0 ,则 k ? (
A.



1 2
2

B.

2 2

C. 2

D. 2

练习 3 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点, 3 3

2 练习 4 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直

径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为





A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

练习 5 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两 a 2 b2
4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5

点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

练习 6 设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点

Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.
练习 7 设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 渐近线方程为( )

(A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0 5. ①弦长公式 AB ?
1 ? k 2 ? x 2 ? x 1 ? (1 ? k 2 ) ?x | ax |

? 1?

?y 1 1 ? y 2 ? y1 ? (1 ? 2 ) 2 k | ay | k
2 2

②涉及弦中点与斜率问题常用 “点差法” .如: 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a,b>0)上 A(x1,y1)、 B(x2,y2)
a b
2 中点为 M(x0,y0),则 KABKOM= ? b 2 ;对抛物线 y =2px(p≠0)有 KAB= 2p
2

a

y1 ? y 2

6.解题注意: ①求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法 ②运用假设技巧以简化计算 .如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为 Ax +Bx = 1; 共渐进线 y ? ? b x 的双曲线标准方程可设为 x2
2 2
2

a

a

?

y2 ? ? (? b2

为参数 , ? ≠ 0); 抛物线

y =2px 上点可设为(

2

2 y0 ,y0);直线的另一种假设为 x=my+a; 2p

③解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.
2 2 P F2 = 60 0 , 练习 8 已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1

则 | PF 1 | | PF2 |? ( (A)2 (B)4

) (C) 6 (D) 8

《练习答案》1.B;2.D 3.6;4.C;5.

5 ;6. ?1 ;7.C;8.B;9. 7



数列

? ?S1,n=1, 1.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 注意验证 a1 是否包含在 an 的 ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

公式中。当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________________.
?2,n=1 ? 答案 an=? ? ?6n-5,n≥2

2. 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3. 等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 例 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 答案 15 4. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(A、B 为常数). 5. 等差数列的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__ 小__值. 例(1). 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是 答案:7 (2) 设等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于 _____ 答案 6

6. 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (2012· 辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于___________ 答案 88 (3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等 差数列. 已知等差数列{an}的公差 d=-2,a1+a4+a7+?+a97=50,那么 a3+a6+a9+?+a99 的

值是_________

答案: -82

(5)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列. (2012· 江西)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=____. 答案 35 7. 等差数列与函数 在 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数,一次项系数为 d;Sn 是关于 n 的二次函数,二次 d 项系数为 ,且常数项为 0. 2 8.
{an}等差 ? an ? an?1 ? d (常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *中项)

? an ? an ? b(一次) ? sn ? An2 ? Bn(常数项为0的二次); a, b, A, B ? ?
9. 等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn 1.


10. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 1 答案 1 或- 2 11. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn m,(n,m∈N*).


_________

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an. 如(1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___ ( 答 : 512 );( 2 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

l o 3ga 1?

l o3a g? 2

?

la o 3 g1? 0

(答:10) 。 )

(2012· 课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( 答案 -7
? n? ? n?

?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比 n},{an·

数列.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0 且 c ? 1)等差。
?1? 已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 28S3=S6,则数列?a ?的前 4 ? n?

项和为 ________ (4)等比数列前 n 项和的性质

答案

40 27

公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其 公比为__qn__.如:公比为-1 时, S4 、 S8 - S4 、 S12 - S8 、?不成等比数列 在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则 a7+a8=________. 答案 240 12.

?a n 2 ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2,n ? N) a {a n }等比 ? ? ? n ? q(定); an?1 an ? 0 ?
? a n ? a1 ? q n?1 ? sn ? m ? m ? q n ; m ? ?

如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1) 13.首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前 n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
?an ? 0 ?an ? 0 由此你能求一般数列中的最大或 (或? ) ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?), ? ?an?1 ? 0 ?an?1 ? 0

最小项吗?如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求 此 最大 值。 (答:前 13 项 和最大 ,最 大值为 169 ) ; ( 2 ) 若 {an } 是等 差数列, 首项

a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) 14.等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,,a+d,a+3d; 3 3 等比三数可设 a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q ,a/q,aq,aq (为什么?) 如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的 和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)
15.等差数列{an},项数 2n 时,S 偶-S 奇=nd;项数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an ; 项数为 2n 时, 则 项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . 16.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. n n 分组法求数列的和:如 an=2n+3 、 错位相减法求和: 如 an=(2n-1)2 、裂项法求和:如求和:
S偶 S奇 ?q;

1?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?

(答:

2n ) 、 5. (2012· 大纲全国) n ?1

? 1 ? 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为 ? n n+1?

________

答案

100 101

倒序相加法求和: 已知 f ( x) ?

1 1 1 x2 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 2 3 4 1? x

=___(答:

7 ) 2

17.求数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想) :

?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ?

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 如 an= -2n +29n-3 ② an ?? 1 ?
2

(an>0) ③ an=f(n) 研

究函数 f(n)的增减性 如 an=

n n ? 156
2

18. 求 通 项 常 法 : ( 1 ) 已 知 数 列 的 前 n 项 和 s n , 求 通 项 a n , 可 利 用 公
?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 式: (n ? 1) (n ? 2)

n - 例设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n 1an= ,n∈N*. 3 (1)求数列{an}的通项; 1 (an= n). 3 ?2n-1?3n 1 3 (Sn= + .) 4 4


n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an

如:数列 {an } 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 14, n ? 1 a ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) n n 2 ,n ? 2 2

?

(2)猜想 (3)递推式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); a n+1 = a n ×f(n) (采用累积法); 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________ (答:

an ? n ? 1 ? 2 ? 1)
( 4 )构造法形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列如①已知 ; a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2 3n?1 ?1 ) an ?1 ( 5 ) 倒 数 法 形 如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 k an ?1 ? b 1 an ?1 , 求 an ( 答 : an ? ); ② 已 知 数 列 满 足 a1 =1 , a1 ? 1, an ? 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) n 2 2 2 19.常见和: 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6

八 导 数
单调性①定义法;②导数法. 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是____(答: (??,3] )); 注意①: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在

(??,??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。
注意②: 函数单调性与奇偶性的逆用了吗? (①比较大小; ②解不等式; ③求参数范围) . 如已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 (答: ?

1 2 ?m? ) 2 3
导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=nxn
-1

基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=xn (n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3) ? ′ = ?g?x?? [g?x?]2 (g(x)≠0).

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y= f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x= y′u· u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

(2009)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x ?x (2010)已知函数 f ( x) ? xc ( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 2 (2011)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax , x ? 0. (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间;

(2012)已知函数 f (x)=x ? ln (x+a) 的最小值为 0 ,其中 a >0 .(Ⅰ)求 a 的值; (2013)已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间;

(2013 山东)设函数 f ( x) ?

x ? c(e ? 2.71828 e2 x

是自然对数的底数, c ? R) .

(1)求 f ( x ) 的单调区间,最大值; (2012 山东)已知函数 f(x) =

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828??是自然对数的底数) ,曲 ex

线 y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (2013 重庆)设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处
2

?

?

的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2013 全国)已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ? 最小值;

x ?1 ? ? x ? . (I)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 ? 的 1? x

导数应用:?过某点的切线不一定只有一条; 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程______ (答: 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 ) 。 / ?研究单调性步骤 : 分析 y=f(x) 定义域 ; 求导数 ; 解不等式 f (x)≥0 得增区间 ; 解不等式
/ / f (x)≤0 得减区间;注意 f (x)=0 的点; 如:设 a ? 0 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 [1,??) 上单调 函数,则实数 a 的取值范围______(答: 0 ? a ? 3 ) ; ?求极值、最值步骤:求导数;求 f ?( x ) ? 0 的根;检验 f ?( x ) 在根左右两侧符号,若左正右负,则

f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值 比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如: (1)函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]
3 2

上的最大值、最小值分别是______(答:5; ? 15 ) ; (2)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d
3 2

在 区 间 [ - 1,2 ] 上 是 减 函 数 , 那 么 b + c 有 最 __ 值 __ 答 : 大 , ?

15 ) (3)方程 2

x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__(答:1)
特别提醒: (1)x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号, 而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件。 (2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑

f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一
点一定要切记!如:函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1 处有极小值 10,则 a+b 的值为
3 2 2

____(答:-7)


a ? n am , a
m n

指数式、对数式

a0 ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1, , , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loge x ? ln x , ? 1 m n a b a ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N 。 1 log 8 1 如 ( ) 2 的值为________(答: ) 2 64
换底公式: log a b ?

?m n

log c b 1 1 ,特别是 log a b ? ? log 1 ? log an bn . logb a log c a a b
)(答:D) C.2 D.4 1 B. 2

如 (log29)· (log34)等于 ( 1 A. 4

十 坐标系与参数方程(理科)
1. 点 M 的极坐标: 设 M 是平面内一点, 极点O与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径, 记为 ? ; 以极轴Ox 为始边,射线 OM 为终边的∠XOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做 点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 2.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ?cos ? , y ? ?sin? , tan ? ?

y ( x ? 0) x

? ; ? ? 2asin? ; 3。圆的极坐标方程: ? ? r ; ? ? 2acos
4 在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线.在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是

?cos? ? a .
? ?? (2013) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则 |CP| ? 3? = .

十一 几何证明选讲
1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上 截得 的线段也相等. 推论 1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论 2: 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等 于相似比; 相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比; 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方; 4. 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 5.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等。 o 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是直径。 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理: 圆的内接四边形的对角互补;圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆; 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 7.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 8.相交弦定理:圆内两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理: 切割线定理: 切线长定理: (2012) 如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦. 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点E,

FB =1 , AF =3 , EF = 与 AB 相交于点 F,
则线段 CD 的长为

3 , 2 4 . 答: 3

(2013) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . 答:

十二 、集合 1、 区分集合中元素的形式: 如:?x | y ? lg x?—函数的定义域;?y | y ? lg x?—函数的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集,
2 如(1)设集合 M ? {x | y ? x ? 3} ,集合 N= y | y ? x ? 1, x ? M ,则 M

?

?

N ? ___(答:

; [1, ??) ) (2)设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} , 则 M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} ) 2、条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况 如: A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。 (答:a≤0) 3、 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ; A ? B ? {x | x ? A或x ? B} CUA={x|x∈U 但 x ? A}; A ? B ? x ? A则x ? B ;真子集怎定义?
n n 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,真子集个数为 2 -1;如满足 {1, 2} ? ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集

合 M 有______个。 (答:7) 4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=? 5、A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B ? CUB ? CUA ? A∩CUB= ? ? CUA∪B=U 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c , 使
2 2

3 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 (答: ( ?3, ) ) 2 十三、三角
2 1、终边相同(β =2kπ +α ); 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,

2

2

1 弧度(1rad) ? 57.3 . ? ? x ? ? ) ? b( ? ? 0, A ? 0 ) 2、函数 y= A sin( ①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期 T=
2? ? ,频率?φ =kπ 时奇函数;φ =kπ + 时偶函数. 2 ?

③对称轴处 y 取最值,对称中心处值为 0;余弦正切可类比. 如(1)函数 y ? sin ?

? 5? ? ; ? 2 x ? 的奇偶性是______(答:偶函数) ? 2 ?

3 ) ? ______ (2) 已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) , 且 f ( 5 ) ? 7, 则 f( ?5 (答:

-5) ;

x ? c o sx) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ( 3 ) 函 数 y ? 2 c o sx( si n
21

____________(答: (

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) ; 2 8 2 8

( 4 ) 已 知 f ( x?)

s i? n?( ? x 3 )

为( 偶 ?? cos x函数 ) , 求 ? 的 值 。( 答 :

? ? k? ?

?
6

( k ? Z ))

④变换:φ 正左移负右移;b 正上移负下移;
|?| ? y ? sin x ?左或右平移 ??? ? ? y ? sin(x ? ?) ??????? ?? y ? sin( ?x ? ?) 1 ? 左或右平移 | | 横坐标伸缩到原来的 1 倍

? ? ? y ? sin( y ? sin x ??????? ?? y ? sin?x ????? ?x ? ?)
A倍 |b| ?纵坐标伸缩到原来的 ?????? ?? y ? A sin( ?x ? ?) ?上或下平移 ??? ? ? y ? A sin( ?x ? ?) ? b

横坐标伸缩到原来的



4、同角基本关系:如:已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =____; tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 13 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =_________(答: ? ; ) ; 3 5
2
2

5、重要公式: sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? 1 ? cos2? . ;
n a t

? 1?o s c ? n is ? 1?o s c ? ; 1 ? sin? ? (cos? ? sin? ) 2 ? cos? ? sin? ?? ? ? 2 1?o s c ? 1?o s c ? n is ? 2 2 2 2

如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? (答: [ k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12 12 巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 等) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ? , , 2 2 2 2 2 ? 1 ? 3 如(1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; 5 4 4 4 22 3 (2)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为 5 3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) ______(答: y ? ? 5 5 5 b 2 2 6、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a ? b sin ? x ? ? ? (其中 tan ? ? ) a 3 如: (1)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ? ); 2 (2)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (答:-2); ,k? ?

?

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ 2

?

??

?

十四、 平面向量
1、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB 2、 a ? b ? a ? b ? a ? b , 3、向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则:
22

① a ? b ? a ?b ? 0; ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ; 当 a 与 b 反向时, a ? b =- a b ; 当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件; 当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; ③ | a ? b |?| a || b | 。 如 (1) 已知 a ? (? ,2? ) ,b ? (3? ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围是______ (答: ? ? ?
? ?
? ?

2

2

2

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3
a ?b a
? ? ?

4、向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =
? ?

5、 e1 和 e 2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一) 特别:. OP = ?1OA ? ?2 OB 则 ?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、A、B 共线的充要条件 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足

OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(答:直线
AB) 6 、 在 ?ABC 中 , ① PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的 重 心 , 特 别 地

? ??

? ??

? ??

3 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; ② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ③向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0)所在直线过 ?ABC 的内心 ( 是 ?BAC 的角平分线所在直 | AB | | AC |
线); ④ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心; 如: (1)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的形状为____(答:直角三角形) ; ( 2 ) 若 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足

P A? B P ? CP ? 0 ,设

| AP | ; ? ? ,则 ? 的值为___(答:2) | PD |

120 ) (3) 若点 O 是 △ ABC 的外心, 且 OA ? OB ? CO ? 0 , 则 △ ABC 的内角 C 为____ (答: ;
7、 P 分 P 1P 2 的比为 ? ,则 P 1P = ? P P 2 , ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分. 若λ =1 则 OP =
1 ( OP + OP2 );设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)则 1 2

23

x ? x2 ? x ? x 2 ? x3 ? x? 1 , x? 1 , ? ? ? ? 2 3 中点 ? 重心 ? ?y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? y ? y1 ? y 2 . ? ? 3 ? 2 ?

十五、 不等式
1.①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分 类讨论。

1? x ? y ? 3, 1 ? 3x ? y ? 7 ) 如: 已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 则 3x ? y 的取值范围是______ (答: ;
2、比较大小的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法 ; (8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 如 ( 1 ) 设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 , 比 较

1 t ?1 l oga t和 l oga 的大小(答:当 a ?1 时, 2 2 1 t ?1 1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ;当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等 2 2 2 2

号) ) ;
2 1 , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小(答: p ? q ) a?2 3、常用不等式:若 a, b ? 0 ,

(2)设 a ? 2 , p ? a ?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (当且仅当 a ? b 时取等号) ; 2 2 1?1 a b 2 2 2 (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; b b?m (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m 如:如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________(答: ?9, ?? ? )
(1) 基本变形:① a ? b ? ;(

a?b 2 ) ? 2



注意:①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 y ? 4 x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 。 (答:8) 2 ? 4x 2 x y ②若若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 1 1 ③正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y

4、 a ? b ? a ? b ? a ? b (何时取等?);|a|≥a;|a|≥-a 5、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比
24

②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。 ⑤放缩法方法有: ?添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n
2

?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ? (

n(n ? 1) ?

n ? (n ? 1) 2

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

?利用常用结论: Ⅰ、 k ? 1 ? k ?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

Ⅲ、

6、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 A, B 与 PQ 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一: ①

?

?

?

AB // AC ; ② 存 在 实 数 ?, 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数
给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 , 给 出

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(7) 锐角,

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是
? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 , 等于已知 ABCD 是
菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是 矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形 外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ;
25
2 2 2

(13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; ( 14 )在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ?

?(

AB AC ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 | AB | | AC |

?ABC 的内心;
(15) 在 ?ABC 中, 给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心 (三 角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ? 线;

1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中 2

?

?

十六 立体几何
如图,在三棱锥 S ? ABC 中,SA ? AB ? AC ? BC ? 2SB ? 2SC , O 为 BC 的中点.设

SB ? 2
(I)求证: SO ? 面 ABC; (II)求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值; (III) 求直线 SC 与面 SAB 所成角的正弦值; (Ⅳ)求点 C 到面 SAB 的距离; (Ⅴ)在线段 AB 上是否存在一点 E,使二面角 B ? SC ? E 的平面角的余弦值为 在,求 BE : BA 的值;若不存在,试说明理由。

15 ;若存 5

26


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