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1.1.3 集合的基本运算 课件(人教A版必修1)


1.1

集合

1.1.3

集合的基本运算

第2课时 补集及集合的综合应用

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解在给定集合中一个子集的补集的含 义与性质是本节的重点,一定要重点掌 握. 2.并集、交集、补集的运算以及利用 Venn图表达

集合的关系与运算是考试的重 点又是难点,在学习时要用心哦.

研 习 新 知

? 新知视界 ? 1.全集 ? 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉 及的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作U.

2.补集 自然 语言 符号 语言 图形 语言 对于一个集合A,由全集U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于 全集U的补集,记作? UA ? UA={x|x∈U,x?A}

? 3.补集的性质 ? (1)?U?=U; ? (2)?UU=?; ? (3)?U(?UA)=A; ? (4)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U;
? (5)(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).

思考感悟 (1)全集一定包含任何一个元素吗? 提示:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部 元素,而非任何元素. (2)? AC与? BC相等吗? 提示:不一定.若A=B,则? AC=? BC,否则 不相等.

? ? ? ?

自我检测 1.设全集U={1,2,4,8},B={2,4},则?UB=( A.{1} B.{8} C.{1,8} D.?

)

? 答案:C

? 2.已知全集U={0,1,2},且?UA={2},则集合A的 真子集共有( ) ? A.3个 B.4个 ? C.5个 D.6个 ? 解析:∵U={0,1,2},且?UA={2}, ? ∴A={0,1}.∴A的真子集是{0},{1},?共3个, 故选A. ? 答案:A

? 3.设集合S={三角形},A={直角三角形},则?SA =__________. ? 解析:三角形中去掉直角三角形,∴?SA={斜三角 形}. ? 答案:{斜三角形}

? 4.设全集U=R,集合X={x|x≥0},Y={y|y≥1}, 则 ? ?UY与?UX包含关系?UX__________?UY. ? 解析:∵X={x|x≥0},Y={y|y≥1}, ? ∴?UX={x|x<0},?UY={y<1},∴?UX??UY.

答案:?

5.已知全集U={2,3,a2+2a-3},若A ={b,2},? UA={5},求实数a和b的值.
?a2+2a-3=5, ? 解析:由题意知? ?b=3. ? ??a+4??a-2?=0 ? ∴? ?b=3 ? ?a=2或a=-4 ? ,∴? ?b=3 ?



?a=-4或2 ? ∴所求a,b的值为? ?b=3 ?

.

答案:a=-4或2,b=3

互 动 课 堂

? 典例导悟 ? 类型一 补集的运算 ? [例1] 设U={x|2<|x|≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15 =0},B={-3,3,4},求?UA,?UB.

? ? ? ? ? ?

[解] 法1:∵2<|x|≤5,且x∈Z, 则x的值为-5,-4,-3,3,4,5; 方程x2-2x-15=0的解为5,-3, ∵A={5,-3},B={-3,3,4}, U={-5,-4,-3,3,4,5}, ∴?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.

法2:可用Venn图如图1表示

图1 [点评] 先化简集合U和集合A,然后根据定义 求解.

? 变式体验1 已知全集U,集合A={1,3,5,7,9}, ?UA={2,4,6,8},?UB={1,4,6,8,9},求集合B.

解:借助Venn图,如图2所示,

图2 得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∵? UB={1,4,6,8,9}, ∴B={2,3,5,7}.

? 类型二 交、并、补的综合运算 ? [例2] 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3}, B = {x| - 3<x≤3} . 求 ? UA , A∩B , ? U(A∩B) , (?UA)∩B. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息:①全集U, 集合A、B均为无限集;②所求问题为集合间交、 并、补运算.解答此题可借助数轴求解.

图3

? ? ? ? ? ?

[解] 把全集U和集合A,B在数轴上表示如图3: 由图可知?UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, A∩B={x|-2<x<3}, ?U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4}, (?UA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3}. [点评] 求解用不等式表示的数集间的集合运算时, 一般要借助于数轴求解,此法的特点是简单直观, 同时要注意各个端点的画法及取到与否.

? 变式体验2 已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2}, 且A∪(?RB)=R,则实数a的取值范围是( ) ? A.a≤2 B.a<1 ? C.a≥2 D.a>2

解析:∵B={x|1<x<2},∴? RB={x|x≤1或 x≥2}. 由A∪(? RB)=R,如图4所示.

图4 可知a≥2.

答案:C

? 类型三 Venn图的应用 ? 有些集合问题比较抽象,解题时若借助Venn图进 行分析或利用数轴、图象采取数形结合的思想方法, 往往可将问题直观化、形象化,使问题简捷地获 解.

? [例3] 已知集合U={x|x是不大于30的质数},A, B是U的两个子集,且满足A∩(?UB)={5,13,23}, B∩(?UA)={11,19,29},(?UA)∩(?UB)={3,7},求集 合A,B. ? [分析] 结合Venn图可把全集U划分为如下四部分, 全集U中的任一元素必在且只在图5四部分之一中, 由题意可知11、13不在前三部分内,必然在A∩B 内.

A∩? UB

B∩? UA

? UA∩? UB 或? U?A∪B? 图5

A∩B

[解]

∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},

A∩(? UB)={5,13,23},B∩(? UA)={11,19,29}, (? UA)∩(? UB)=?U(A∪B)={3,7}, ∴如图6所示,元素2,17应在A∩B中.

图6 ∴A={2,5,13,17,23},B={2,11,17,19,29}.

? 变式体验3 如图7(1)所示,设U为全集,M,P,N 是U的三个子集,则图中阴影部分表示的集合是 ( ) ? A.(M∩P)∩N B.(M∩P)∪N ? C.(M∩P)∩(?UN) D.(M∩P)∪(?UN)

图7

? 解析:首先我们画出M∩P帮助我们思考,如图7(2), 再结合图7(1),我们发现图中阴影部分为M∩P去掉 被集合N覆盖的部分,换句话说即是与? UN做交运 算 . 从 而 图 7(1) 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 (M∩P)∩(?UN),故选C. ? 答案:C

? 点评:对于给定集合求阴影部分所表示的集合问题, 可先确定两个主要的集合运算,对于去掉的部分可 用与补集相交的方法来解决. ?

? 思悟升华 ? 1.全集是相对于研究问题而言的一个相对概念, 它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素, 因此,全集因研究问题而异.例如在研究数集时全 集概念:在整数范围内研究问题,则Z为全集;而 当问题扩展到实数集时,则R为全集,这时Z就不 是全集.在立体几何中,三维空间是全集,这时平 面是全集的一个子集.而在平面几何中,整个平面 可以看做是一个全集.

? 2.补集符号:?UA表示U为全集时A的补集,如果全 集换成其他集合(如R)时,则记号中“U”也必须换成 相应的集合(即?RA). ? 3.集合运算问题多与方程、函数、不等式等有关, 在求解时,要注意等价转化思想的运用.常将集合 化简或转化为熟知的代数、几何问题等. ? 4.处理集合的有关问题时,首先要将集合进行简化, 在交、并、补的运算中,最容易被忽视、最常出错 的地方是空集.

课时作业(5)


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