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二次函数专题20140608教师


专题复习:二次函数
1、 (2013?滨州)如图,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且对称轴为 x=1,点 B 坐标为(﹣1,0) .则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a﹣2b+c<0;③ac>0;④当 y<0 时,x<﹣1 或 x>2. 其中正确的个数是( B )
2

/>A. 1 B. 2 C. 3 D.4 2、 (2013?张家界)若正比例函数 y=mx(m≠0) ,y 随 x 的增大而减小,则它 2 和二次函数 y=mx +m 的图象大致是( A ) A. B. C. D.

3、 (2013?呼和浩特)在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=﹣mx +2x+2(m 是常数, 且 m≠0)的图象可能是( D ) A. B. C. D.
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2

4、 (2013?雅安)将抛物线 y=(x﹣1) +3 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位后所得 抛物线的解析式为( D ) A.y=(x﹣2)2 B.y=(x﹣2)2+6 C.y=x2+6 D.y=x2 5、 (2013?常州)二次函数 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如 下表: x 0 1 2 3 4 5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y 12 5 0 0 5 12 ﹣3 ﹣4 ﹣3 给出了结论: 2 (1)二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣3; (2)当 时,y<0;
2 2

2

(3)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧.

则其中正确结论的个数是( B ) A.3 B.2

C .1 D.0 6(2013?铁岭压轴题)某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为 40 元.经过 市场调查,一周的销售量 y 件与销售单价 x(x≥50)元/件的关系如下表: … 55 60 70 75 销售单价 x(元/件) … … 450 400 300 250 一周的销售量 y(件)… (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式: y=﹣10x+1000 (2)设一周的销售利润为 S 元,请求出 S 与 x 的函数关系式,并确定当销售单价在什么范 围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大? (3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家 购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元? 解答: 解: (1)设 y=kx+b, 由题意得, 解得: , ,

则函数关系式为:y=﹣10x+1000; (2)由题意得,S=(x﹣40)y=(x﹣40) (﹣10x+1000) 2 2 =﹣10x +1400x﹣40000=﹣10(x﹣70) +9000, ∵﹣10<0, ∴函数图象开口向下,对称轴为 x=70, ∴当 50≤x≤70 时,销售利润随着销售单价的增大而增大; (3)当购进该商品的贷款为 10000 元时, y= =250(件) ,

此时 x=75, 由(2)得当 x≥70 时,S 随 x 的增大而减小, ∴当 x=70 时,销售利润最大, 此时 S=9000, 即该商家最大捐款数额是 9000 元. 7、(2013 年武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植 物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表): …… …… 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数,且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的 理由; (2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm,那 么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果. ?c ? 49 ? a ? ?1 ? ? 2 解:(1)选择二次函数,设 y ? ax ? bx ? c ,得 ?4a ? 2b ? c ? 49 ,解得 ?b ? ?2 ?4a ? 2b ? c ? 41 ?c ? 49 ? ? 温度 x /℃ 植物每天高度增长量 y /mm …… -4 -2 0 2 4 4.5 ……

∴ y 关于 x 的函数关系式是 y ? ? x 2 ? 2x ? 49 . 不选另外两个函数的理由: 注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以 y 不是 x 的反比例函数;点(-4, 41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以 y 不是 x 的一次函数. (2)由(1),得 y ? ? x 2 ? 2x ? 49 ,∴ y ? ??x ? 1? ? 50 ,
2

∵ a ? ?1 ? 0 ,∴当 x ? ?1 时, y 有最大值为 50. 即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3) ? 6 ? x ? 4 . 8、 (2013? 德州压轴题) 如图, 在直角坐标系中有一直角三角形 AOB, O 为坐标原点, OA=1, 2 tan∠BAO=3,将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到△DOC,抛物线 y=ax +bx+c 经过 点 A、B、C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为 t, ①设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E,连接 PE,交 CD 于 F,求出当△CEF 与△COD 相 似点 P 的坐标; ②是否存在一点 P,使△PCD 得面积最大?若存在,求出△PCD 的面积的最大值;若不存 在,请说明理由.

解答: 解: (1)在 Rt△AOB 中,OA=1,tan∠BAO=

=3,

∴OB=3OA=3. ∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的, ∴△DOC≌△AOB, ∴OC=OB=3,OD=OA=1, ∴A、B、C 的坐标分别为(1,0) , (0,3) (﹣3,0) . 代入解析式为



解得:



∴抛物线的解析式为 y=﹣x ﹣2x+3; (2)①∵抛物线的解析式为 y=﹣x ﹣2x+3, ∴对称轴 l=﹣ =﹣1,
2

2

∴E 点的坐标为(﹣1,0) . 如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点 P 在对称轴上,即点 P 为抛物线的 顶点,P(﹣1,4) ; 当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,则△EFC∽△EMP. ∴ ,

∴MP=3EM. ∵P 的横坐标为 t, ∴P(t,﹣t ﹣2t+3) . ∵P 在二象限, ∴PM=﹣t ﹣2t+3,EM=﹣1﹣t, 2 ∴﹣t ﹣2t+3=3(﹣1﹣t) , 解得:t1=﹣2,t2=3(舍去) , 2 ∴t=﹣2 时,y=﹣(﹣2) ﹣2×(﹣2)+3=3. ∴P(﹣2,3) . ∴当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为: (﹣1,4)或(﹣2,3) ; ②设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,由题意,得 ,
2 2

解得:



∴直线 CD 的解析式为:y=

1 x+1. 3 1 t+1) , 3

设 PM 与 CD 的交点为 N,则点 N 的坐标为(t, ∴NM=

1 t+1. 3
2

∴PN=PM﹣NM=-t ﹣2t+3﹣( ∵S△PCD=S△PCN+S△PDN, ∴S△PCD= =

1 2 t+1)=﹣t ﹣ 3

+2.

1 1 PM?CM+ PN?OM 2 2

1 PN(CM+OM) 2 1 = PN?OC 2 1 2 = ×3(﹣t ﹣ +2) 2

3 7 2 (t+ ) + , 2 6 7 ∴当 t=﹣ 时,S△PCD 的最大值为 6
=﹣ 9、 (2013 泰安压轴题)如图,抛物线 y=



1 2 x +bx+c 与 y 轴交于点 C(0,﹣4) ,与 x 轴交于 2

点 A,B,且 B 点的坐标为(2,0) (1)求该抛物线的解析式. (2)若点 P 是 AB 上的一动点,过点 P 作 PE∥AC,交 BC 于 E,连接 CP,求△ PCE 面积 的最大值. (3)若点 D 为 OA 的中点,点 M 是线段 AC 上一点,且△ OMD 为等腰三角形,求 M 点的 坐标.

考点:二次函数综合题. 分析: (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)首先求出△ PCE 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值; (3)△ OMD 为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论. 解答:解: (1)把点 C(0,﹣4) ,B(2,0)分别代入 y=

1 2 x +bx+c 中, 2





解得 ∴该抛物线的解析式为 y=
2

1 2 x +x﹣4. 2

(2)令 y=0,即 x +x﹣4=0,解得 x1=﹣4,x2=2, ∴A(﹣4,0) ,S△ ABC=

1 AB?OC=12. 2

设 P 点坐标为(x,0) ,则 PB=2﹣x. ∵PE∥AC, ∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA, ∴△PBE∽△ABC,



,即



1 2 (2﹣x) . 3 1 1 1 2 S△ PCE=S△ PCB﹣S△ PBE= PB?OC﹣S△ PBE= ×(2﹣x)×4﹣ (2﹣x) 2 2 3 2 8 = x2﹣ x+ 3 3
化简得:S△ PBE= = (x+1) +3
2

∴当 x=﹣1 时,S△ PCE 的最大值为 3. (3)△ OMD 为等腰三角形,可能有三种情形: (I)当 DM=DO 时,如答图①所示. DO=DM=DA=2, ∴∠OAC=∠AMD=45°, ∴∠ADM=90°, ∴M 点的坐标为(﹣2,﹣2) ;

(II)当 MD=MO 时,如答图②所示. 过点 M 作 MN⊥OD 于点 N,则点 N 为 OD 的中点, ∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3, 又△ AMN 为等腰直角三角形,∴MN=AN=3, ∴M 点的坐标为(﹣1,﹣3) ; (III)当 OD=OM 时, ∵△OAC 为等腰直角三角形, ∴点 O 到 AC 的距离为 ×4= ,即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 .

∵ >2,∴OD=OM 的情况不存在. 综上所述,点 M 的坐标为(﹣2,﹣2)或(﹣1,﹣3) .


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