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数学文卷·2014届辽宁省新民市第一高级中学高三上学期期末考试(2013.12)


第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的。 1.复数 Z 满足 Z = A. 1 ? 2i

2+i , 则 Z 等于 i
B. 1 + 2i C. 2 ? i D. 2 + i





2.已知集合 A = {x ∈ Z ? A. {x 0 < x ≤ 2}

1 ≤ x ≤ 2}, B = {x x 2 ? 3 x < 0} ,则 A ∩ B = ( 2
C. {1,2} D. {x 0 ≤ x ≤ 2} (



B. {0,1,2}

3.已知向量 a = ( x,1), b = (1,3) ,满足 a ? b = 0 ,则 a =



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A.

10 3

B.

10

C.3

D.-3

4.命题“ ?x > 0 , x 2 + ax + 1 < 0 ”的否定是 A. ?x ≤ 0 , x 2 + ax + 1 < 0 C. ?x > 0 , x 2 + ax + 1 < 0 B. ?x > 0 , x 2 + ax + 1 ≥ 0 D. ?x > 0 , x 2 + ax + 1 ≥ 0 .





5.已知 θ ∈ ? , ?, sin 2θ = , 则 cosθ = 25 ?4 2? A.

?π π ?

24





3 5

B.

4 5

C.

7 4

D.

3 4
( )

?21? x ? 1 6.设 f ( x ) = ? ?1gx
A. (0,10)

x <1 若 f ( x 0 ? 1) < 1 ,则 xo 的取值范围是 x ≥1
C. ( ?∞, ?2) U ( ?1, 0)

B. ( ?1, +∞ )

D. (1,11)

?y ≥ x ? 2 2 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x + 2 y ≤ 2 ,则 z = x ? x + y 的最小值为( ? x ≥ ?2 ?



第 1 页 共 9 页

A.

17 36

B.

2 9

C.

1 8

D. ?

1 8

8.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定当且仅当 a = c, b = d 时(a,b)=(c,d);现定义 两种运算,运算“ ? ”为: ;运算“ ⊕ ”为:(a,b) ⊕ (a,b) ? (c,d)=( ac ? bd , bc + ad ) (c,d)=( a + c, b + d ).设 p 、 q ∈ R .若(1,2) ⊕ ( p , q ) =(5,0).则(1,2) ? ( p , q ) = ( ) C. (0,6) D. (0,-4) ( )

A. (4,0)B. (8,6)

9.函数 y = 2 x + 3 sin x 的图象大致是

10.已知四面体 P ? ABC , PA ⊥ 平面 ABC ,,若 PA = 2, AB = BC = AC = 四面体的外接球的体积为 A. 3π B. 2π C. 2 2π D. 4 3π

6 ,则该
( )

11.F1 , F2 分别是双曲线

x

2

?

y2 右焦点,A 是其右支上一点, = 1 的左、 若 AF1 ⊥ AF2 则 24
( B. ( x ? 2) 2 + ( y ± 2) 2 = 4 )

?AF1 F2 的内切圆方程是
2 2 A. ( x ? 2) + ( y ± 3) = 9

C. ( x ? 1) 2 + ( y ± 2) 2 = 4 D. ( x ? 1) 2 + ( y ± 3) 2 = 9 12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 不等式 f ( x ) > x 的解集是 A.( ? 1 , 0 )∪( 1 , + ∞ ) C. ( ? ∞ , ? 1 )∪( 1 , + ∞ ) B. ( ? ∞ , ? 1 )∪( 0 , 1 ) D. ( ? 1 , 0 )∪( 0 , 1 ) 第Ⅱ卷 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

f (1) = 1 ,当 x > 0 时,有 f ( x ) > xf ′( x ) 恒成立,则
( )

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13. 已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 图象 与直 线 y = 1 的 交点 中, 距离 最 近 两 点间 的 距离 为

π ,那么此函数的周期是_______. 3
14. 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 棱 柱 的 全 面 积 为

15. 对 于 任意 的 x ∈ R , 不 等 式 sin 2 x + m sin x + 是 .

m2 ? 3 ≤ 0 恒 成 立 ,则 m 的 取 值 范围 m

16. 设斜率为

? 2 的直线 l 过抛物线 y = ax 2 ( a ≠ 0) 的焦点 F,且和 x 轴交于点 A ,若△
.

OAF ( O 为坐标原点)的面积为1,则 a 为

三、解答题(本大题有 8 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m = ( 3 cos

x x x ,0), n = (sin , cos 2 ) , f ( x) = m ? (m + n) . 2 2 2

(I) 求 f ( x ) 的单调区间; (II)在锐角 ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 (2a ? c ) cos B = b cos C , 求函数 f ( A) 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 如图, 斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2, 侧面 AA1 BB1 ⊥ 底面 ABC ,D 为 CC1 中 点, E 为 A1 B1 的中点, ∠ABB1 = 60o 。 (1)求证: C1 E ∥ 平面 A1 BD ; (2)求证: AB1 ⊥ 平面 A1BD ; (3)求点三棱锥 A - A1 BD 的体积。 ·

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19.(本小题满分 12 分) 某产品原来的成本为 1000 元/件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾 客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的成 本将降低

3x 2 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升级 4 x

和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f ( x ) (单位:万元) . (纯利润=每件的利润× 年销售量-投入的成本) ⑴求 f ( x ) 的函数解析式; ⑵求 f ( x ) 的最大值,以及 f ( x ) 取得最大值时 x 的值.

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 与圆 C1 : ( x + 1) 2 + y 2 = 1 外切,与圆 C 2 : ( x ? 1) 2 + y 2 = 9 内切. (Ⅰ)求圆心 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)设 P ( ?2,0) , M 、 N 是轨迹 T 上不同两点,当 PM ⊥ PN 时,证明直线 MN 恒过 定点,并求出该定点的坐标.

21.(本小题满分 12 分)

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设 a ∈ R ,函数 f ( x) = ln x ? ax . (1) 若 a = 2 ,求曲线 y = f ( x ) 在 P (1, ?2 ) 处的切线方程; (2) 若 f ( x ) 无零点,求实数 a 的取值范围; (3)若 f ( x ) 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 > e 2

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABT 及其外接圆,过点 T 作圆的切线交 AB 的延长线于 P , ∠APT 的角平分线 分别交 TA, TB 于点 D , E ,若 PT = 2, PB = 1 .试求
T D E P A B

TE . AD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 : 3 x 2 + 4 y 2 = 1 , 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l :

ρ ( 2 cos θ ? sin θ ) = 6 。
(1) 将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)点 P 为曲线 C2 上一点,求点 P 到直线 l 的距离最大值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x ? 2 + 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x ) > 2 ; (2)若 ?x ∈ R ,不等式 f ( x ) <

1 2 m + m 成立,求 m 的取值范围。 2

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数学(文) 答案

18.(1) (2)略(3) V = 3 19.解:⑴依题意,

产品升级后,每件的成本为

1000 ?

3x 3x 200 + 4 元,利润为 4 元…………2 分,

年销售量为

1?

2 x 万件……………………………3 分,
3x 2 )(1 ? ) ? x 4 x ………………………………………5 分,

纯利润为
= 198.5 ?

f ( x) = (200 +

400 x ? x 4 (万元)……………………………………7 分



f ( x) = 198.5 ?

400 x 400 x ? ≤ 198.5 ? 2 × × x 4 x 4 ……9 分,

= 178.5 ……………………………………… …………10 分,
400 x = 4 ……11 分,即 x = 40 (万元)……12 分。 等号当且仅当 x
20.解:(Ⅰ) CC1 = r + 1 , CC 2 = 3 ? r ∴ CC1 + CC 2 =4 ……………………2 分

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∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点,长轴长 2a = 4 的椭圆 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是

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x2 y2 + =1 4 3

……………………5 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,直线 MN:x = my + b

……………………6 分

?x = my + b ? 2 2 由 ?3x + 4 y = 12 ,得 (3m 2 + 4) y 2 + 6mby + 3b 2 ? 12 = 0 ………………7 分 3b 2 ? 12 6mb 2 2 = 3m + 4 , y1 y 2 = 3m + 4
?

∴ y1 + y 2

∵PM⊥PN, PM = ( x1 + 2, y1 ), PN = ( x 2 + 2, y 2 ) ∴ PM · PN = ( x1 + 2)( x 2 + 2) + y1 y 2 = (my1 + b + 2)(my2 + b + 2) + y1 y 2 = 0……9 分 整理,得 ( m 2 + 1) y1 y 2 + m(b + 2)( y1 + y 2 ) + (b + 2) 2 = 0 ……………………10 分
3b 2 ? 12 6mb ? 2 2 2 ∴ ( m + 1) · 3m + 4 + m (b + 2)·( 3m + 4 ) + (b + 2) 2 = 0
2 化简,得 7b + 16b + 4 = 0

……………………11 分

解得 b =

?

2 7 或 b = -2(舍去) 2

……………………12 分

? 2 故直线 MN: x = my ? 过定点 ( 7 , 0 ) 7

1 1 ? ax ?a = x . 21.解:在区间(0,+∞)上,f′(x)= x
(1)当 a=2 时,f′(1)=1-2=-1,则切线方程为 y-(-2)=-(x-1) , 即 x+y+1=0 (2)①若 a<0,则 f′(x)>0,f(x)是区间(0,+∞)上的增函数, ∵f(1)=-a>0,f( e a )=a-a e a =a(1- e a )<0, ∴f(1) ?f( e a )<0,函数 f(x)在区间(0,+∞)有唯一零点. ②若 a=0,f(x)=lnx 有唯一零点 x=1.

1 ③若 a>0,令 f′(x)=0 得:x= a .

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1 在区间(0, a )上,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数; 1 在区间( a ,+∞)上,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数; 1 故在区间(0,+∞)上,f(x)的极大值为 f( a )=?lna?1. 1 由于 f(x)无零点,须使 f( a )=?lna?1 < 0. 1 . 解得:a> e 1 ,+∞ 故所求实数 a 的取值范围是( e )
(3)设 x1 > x 2 >0,∵f( x1 )=0,f( x 2 )=0,∴ln x1 -a x1 =0,ln x 2 -a x 2 =0, ∴ln x1 -ln x 2 =a( x1 - x 2 ) ,ln x1 +ln x 2 =a( x1 + x 2 )

ln x1 ? ln x 2 2 > x1 ? x 2 x1 + x 2 原不等式 x1 ? x 2 > e 2 等价于 ln x1 +ln x 2 >2?a( x1 + x 2 )>2? x1 2( x1 ? x 2 ) x x + x2 ?ln 2 > 1 x1 x1 2( x1 ? x 2 ) 2(t ? 1) x x x + x 2 令 2 =t,则 t>1,于是 ln 2 > 1 ?lnt> t + 1 .
2(t ? 1) 设函数 g(t)=lnt? t + 1 ,(t>1),

1 4 (t ? 1) 2 ? = t (t + 1) 2 t (t + 1) 2 >0, 求导得:g′(t)=
故函数 g(t)是(1,+∞)上的增函数,∴g(t)>g(1)=0

2(t ? 1) 即不等式 lnt> t + 1
成立,故所证不等式 x1 ? x 2 > e 2 成立.

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TE PT 1 = = PA 2 22.由 PT = PA ? PB ,得 PA = 4 ,由 ?PTE ~ ?PAD 可知 AD
2

23.解: (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0。 设 M ( x, y ) 为曲线 C2 上任一点, N ( x ' , y ' ) 为曲线 C1 上对应的点,

? x' = ? ? ? ? x = 3 x' ?y = ? ? y = 2 y ' 依题意 ? ,所以 ?

x 3 y 2 ,
2 2

? x ? ? y? 3? ? + 4? ? = 1 ? ? ?2? 因为 N ( x ' , y ' ) 在曲线 C1 上,所以 ? 3 ? 。 ? x = cos θ ? y = sin θ ( θ 为参数) 。 ∴曲线 C2 的参数方程为: ?
(2)圆 C2 的圆心为(0,0)圆心到直线的距离为

d=

6 5 5

6 5 +1 C 因此曲线 2 上点 P 到直线 l 的距离最大值为 5 。 1? ? 1 ? ? ? ? ∞, ? ∪ ? ,+∞ ? 3? ? 2 ? 24.(1) ?

? ?3 x ? 3, x > 2 ? 1 ? f ( x) = ? x + 1, ≤ x ≤ 2 2 ? 1 ? 3 3 ? 3 x, x < ? ? 2 可知 f ( x ) 的最小值为 2 (2)
3 1 2 < m +m 故2 2 ,解得: m > 1 或 m < ?3 .

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