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2016年百校联盟江苏省高考最后一卷(押题卷)(第四模拟)(解析版)


百校联盟 2016 年江苏省高考最后一卷(押题卷)(第四模拟)

一、填空题:共 14 题
1.已知集合 A={1,2},B={0,1,3},则 A∩B= .

【答案】{1} 【解析】本题考查集合的表示方法以及集合的交运算.解题时注意交集与并集的区别.根 据交集的概念,易得 A∩B={1}.

2.已知复数

z=

4?3i 1?2i

+2i3(i 是虚数单位),则其在复平面内对应的点位于第 象限.

【答案】四 【解析】本题考查复数的运算与复数的几何意义,考查考生的基本运算能力.由题意知,复
3 数 z=1?2i+2i =(1?2i)(1+2i)-2i=

4?3i

(4 ?3i)(1+2i)

10+5i 5

-2i=2-i,故其在复平面内对应的点位于第四象限.

3.已知一个正四棱锥的底面边长为 2,侧面积为 4 5,则该正四棱锥的高为

.

【答案】2 【解析】本题考查立体几何中的基本运算,解本题时应注意高与斜高的区别.设该正四棱 × 2h'=4 5,则 h'= 5.由 h2+12=(h')2,得 h=2. 锥的高为 h,斜高为 h',则 4× 2
1

4.为了引导学生树立正确的消费观,现随机抽取了 n 名小学生调查他们每天零花钱的数

量(取整数,单位:元),若样本中每天零花钱的数量在[6,10)内的小学生有 320 名,则样本中 每天零花钱的数量在[10,18)内的小学生的人数为 .

【答案】480 【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用,解题的关键是熟练掌握“频率分布直方图 中各个小长方形的面积之和为 1”这一结论.根据频率分布直方图可知,每天零花钱的数量 4=0.32,又每天零花钱的数量在[6,10)内的小学生有 在[6,10)内的小学生的频率为 0.08×

320 名,所以 n=0.32=1 000.又(0.02+0.08+x+0.03+0.03)× 4=1,所以 x=0.09,所以样本中每天 4× 1 000=480. 零花钱的数量在[10,18)内的小学生的人数为(0.09+0.03)×

320

5.阅读如图所示的算法流程图,运行相应的程序,则输出的结果是 .

【答案】64 【解析】本题考查基本算法语句,考查考生的阅读能力以及简单的数据处理能力.当 a=-1 时,满足 a<10,则 a=4;当 a=4 时,满足 a<10,则 a=9;当 a=9 时,满足 a<10,则 a=64.此时 a>10, 故输出的结果为 64.

6.设函数 f(x)=g(x)+

e ?1 e +1

+2,若 f(x)是奇函数,g(3)=1,则 g(-3)= .

【答案】-5 【解析】 本题主要考查函数的基本性质,解题时,利用函数的奇偶性进行求解.∵f(x)是奇函 数,∴f(-x)=-f(x),∴g(-x)+
e ? ?1 e ? +1

+2=-g(x)-

e ?1 e +1

-2,∴g(-x)=-g(x)-4,∴g(-3)=-g(3)-4=-5.

7.甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,则第 5 次接触毽

子时恰好是甲的概率为 . 【答案】8 【解析】本题考查古典概型的基本概念以及古典概型的概率计算.解决此类问题最有效 的方式是枚举法或树形图法.利用树形图法可知,总事件数为 16,其中第 5 次接触毽子时恰 好为甲的情况有 6 种,则其概率 P=16 = 8.
6 3 3

8. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,|φ|<2 ,ω>0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P( 6 ,1),

π

π

在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q(12 ,0),则 f( 3 )的值为 . 【答案】2 【解析】 本题主要考查三角函数的图象与性质.解题时,先根据条件求出 ω,φ 的值,得到 f(x) 的解析式,再求出 f( 3 )的值即可.由题意得,4 =
π π π π 5π π - , 12 6 1



π

∴T=π,∴ω=2, 将点 P(6 ,1)代入
π

π

y=sin(2x+φ)得,sin(2×6 +φ)=1,又|φ|<2 ,则 φ=6 ,即函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+6 )(x∈R), 故 f( 3 )=sin(2×3 +6 )=sin 6 = 2.
π π π 5π 1

9. B 两点,则双曲线的离心 已知直线 l:y=2x+3a 与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左支交于 A、


2 2

率 e 的取值范围是 . 【答案】(1, 5) 【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系,可用代数法和几何法求解.代数法是联立方 程,用根与系数的关系求解;几何法是通过比较直线的斜率与渐近线的斜率的关系,用双 曲线的性质得到 a,b 之间的关系,再化为关于 a,c 的齐次式,得到离心率的取值范围.通解设 A(x1,y1), B(x2,y2),联立
12 3

= 2 + 3
2 2

? 2 = 1
2 ?4 2

2

,消去 y 得(b2-4a2)x2-12a3x-9a4-a2b2=0,∴

x1+x2=

2 ?4 2

,x1x2=12 3

9 4 + 2 2

,∵直线 AB 与双曲线的左支交于 A、B 两点,∴

> 0

1 + 2 = 2 ?4 2 < 0 ,得 b2<4a2,即 c2-a2<4a2,∴c2<5a2,∴e2<5,故 1<e< .优解由题意知, 5 9 4 + 2 2 1 2 = ? 2 ?4 2 > 0

x,直线 l:y=2x+3a 过点(-2a,0),且与双曲线的左支交于 A、B 双曲线的渐近线方程为 y=±
2 2 2 2 2 2 2 2 两点,则直线 l 要比渐近线更陡,即 2> ,b<2a,即 b <4a ,c -a <4a ,∴c <5a ,∴e <5,故



3



1<e< 5.

1

10.已知函数 f(x)=

1 2 ? + 2, > 0 ,则满足不等式 f(f(x))≤2f(x)的 x 的取值范围是 2, ≤ 0 4

.

【答案】(-∞,0]∪[4,2+2 3] 【解析】本题考查分段函数与复合函数的基本应用,合理地进行分类讨论是解决本题的
2 2 2 关键.当 x>0 时,f(x)=4x -x+2=4(x-2) +1≥1,∴f(f(x))=4(f(x)) -f(x)+2,由 f(f(x))≤2f(x) 2 得,4(f(x)) -f(x)+2≤

1

1

1

1

1

1 2

f(x),解得 2≤f(x)≤4,故 2≤4x2-x+2≤4,得 4≤x≤2+2 3.当 x≤0 时,f(x)=2,f(f(x))=f(2)=1,符合题意.

1

∴x 的取值范围为(-∞,0]∪[4,2+2 3].

11.在斜三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若

1

tan tan

+

1

=

1 tan

,则 2 的最大值



为 . 【答案】2 【解析】本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的综合应用.合理变形是基础,结 合基本不等式求最值是解题的关键.由tan +tan = tan 可得, sin + sin =
sin cos +cos sin sin sin 1 1 1 cos cos cos sin 3

,即

=

cos sin

,∴

sin (+ ) sin sin

=

cos sin

,即

sin sin sin

=

cos sin

, ∴sin2C=sinAsinBcosC.根据正弦定理及余弦定

2 + 2 3

2 理可得,c =ab·

2 + 2 ? 2 2

,整理得 a2+b2=3c2. ∴ 2 =

=

3 3 2 + 2 ≤2

= ,当且仅当 a=b 时
2

3

等号成立.

12.如图,在△ABC 中,设 = , = , = ,=x+y,则 x+y= .
3 3 3

1

1

1

【答案】13 【解析】本题考查平面向量的基础知识.解决本题的关键是要有基底的意识.通解 = +3 = +3(3 -)=+9 -3 = +9(-)-3(-)=3 +27 +9 ,所以27 = 9 +3 ,即 = 13 +13 , 故 x+y=13. 优解由题意 知, = -=x+(y-1), = 3 = 3(-)=9 -3 =(9-3)+9 ,所以 = -=(9-3)+9 +(-)=(9+3)+( 9 -1),又 3 = ,所以
9 1 2 1 1 1 1 1 12 1 1 2 1 2 26 2 2 3 9 1 1 1 1 1

12

,即 ? 1 = 3 ? 3 = 9

+ 3 = 3

2

=

3 13 9 ,即 13

x+y= .
13

12

13.在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操

作称为该数列的 1 次“H 扩展”.已知数列 1,2,第 1 次“H 扩展”后得到 1,3,2,第 2 次“H 扩展” 后得到 1,4,3,5,2,那么第 10 次“H 扩展”后得到的数列的项数为 . 【答案】1 025 【解析】本题考查了等比数列的判断与应用,解题的关键是构造出等比数列.设第 n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为 an,则第 n+1 次“H 扩展”后得到的数列的项数为 an+1=2an-1, ∴
+1 ?1 ?1

=2,又 a1-1=3-1=2,∴{an-1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴an-1=2· 2?1 ,∴

an=2n+1,∴a10=210+1=1 025.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,设将椭圆 +y2=1 绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域内
2

2

的点构成的集合为 A,B={(x,y)|(x-y+t)(x+y+t)≥0}.若 A?B,则实数 t 的取值范围为 【答案】(-∞,-1- 2]∪[3+ 2,+∞)

.

【解析】这是一道包含两个重要考点的综合题.解决此题的关键是能判断出集合 A、B 表
2 示的图形,然后研究两个图形之间的关系.由题意得,椭圆 +y =1 的左焦点为 F(-1,0),所以

2 2

2 2 集合 A 表示以 F(-1,0)为圆心, 2+1 为半径的圆面,即 A={(x,y)|(x+1) +y ≤( 2 + 1)2 }.集合

B={(x,y)|(x-y+t)(x+y+t)≥0},易知 t≠0,当 t>0 时,集合 B 表示两条直线 l1:x-y+t=0 与 l2:x+y+t=0 所围成的阴影区域(如图 1 所示),它们的交点为(-t,0).若 A?B,则圆面在阴影区 域内,从而两条直线与圆 F 相切或相离.由
|1? | 2

= 2+1 得,t=3+ 2,所以 P(-3- 2,0).当 t<0

时,同理可得图 2 中点 Q 的坐标为 Q(1+ 2,0).所以 t≥3+ 2或 t≤-1- 2.

图1

图2

二、解答题:共 12 题
15.已知 PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径,B,C 为不同于 P,Q 的两点,如图所示,记∠PAB=θ.

(1)若 BC= 2,求四边形 PBCQ 的面积的最大值; (2)若 BC=1,求· 的最大值. 【答案】(1)∵AB=AC=1,BC= 2,∴∠BAC=2 . 由∠PAB=θ 得∠CAQ=2 -θ. S 四边形 PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ=2sinθ+2+2sin( 2 -θ)= 2sin(θ+4 )+2.
2 1 1 1 π π 1 π π

∵0<θ<2 ,∴当 θ=4 时,S 四边形 PBCQ 取得最大值 (2)当 BC=1 时,∠ABC=3 ,∠PAC=3 +θ, (-) · =(-)· =· -· -· +· = 3sinθ+2cosθ-2
2 1 1 π π

π

π

2+1 2

.

=sin(θ+6 )-2.

π 1

∵0<θ< 3 ,∴· 的最大值为2. 【解析】这是一道平面向量与三角求值相结合的试题,主要考查平面向量的数量积、两 角和的正弦公式等知识. 【备注】两角和与差的正弦、余弦公式是三角恒等变换的重要工具,在江苏省高考数学 学科《考试说明》中都是 C 级考点,一直是高考命题的热点与重点内容,一般常将三角恒 等变换与平面向量、解三角形的知识交汇在一起进行设计,以解答题的形式出现,难度不 大.



1

16.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,平面 BB1C1C⊥底面 ABC,点 M、D 分别是线段

AA1、BC 的中点.

(1)求证:AD⊥CC1; (2)求证:AD∥平面 MBC1. 【答案】(1)∵AB=AC,点 D 是线段 BC 的中点, ∴AD⊥BC. 又平面 BB1C1C⊥底面 ABC,AD?平面 ABC, 平面 BB1C1C∩底面 ABC=BC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 又 CC1?平面 BB1C1C, ∴AD⊥CC1. (2)连接 B1C,与 BC1 交于点 E,连接 EM,DE. 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 E 为 B1C 的中点.

∵点 D 是 BC 的中点, ∴DE∥B1B,DE=2B1B. 又点 M 是 AA1 的中点,AA1∥BB1,
1

∴AM∥B1B,AM=2B1B. ∴AM∥DE,AM=DE. ∴四边形 ADEM 是平行四边形. ∴EM∥AD. 又 EM?平面 MBC1,AD?平面 MBC1, ∴AD∥平面 MBC1. 【解析】本题考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识,考查 考生的空间想象能力和推理论证能力.

1

17.如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 C 的右顶点


2

2

和上顶点,M 是线段 AB 的中点,连接 MO 并延长交椭圆 C 于点 P,PF1 与 x 轴垂直.

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若直线 PF2 与椭圆 C 的另一个交点为 Q,且四边形 OAQB 的面积为 ,求椭圆 C 的方程; 5 (3)线段 AB 与以 PB 为直径的圆有几个交点?请说明理由. 【答案】(1)由题意知 M(2 ,2 ),P(-c,- ),
2 16

由 kOP=kOM 得 b=c,∴e= =
2 故椭圆 C 的离心率为 . 2



2 2

,

(2)由(1)可设椭圆 C 的方程为

2 2 2

+ 2 =1,即 x2+2y2=2c2,


2

2 2 由 P(-c,- c),F2(c,0)得直线 PF2 的方程为 y= (x-c). 2 4 2 4



=
2

( ? ),
2 2

+ 2 = 2 ,

解得

= ,
5

7

= ?, 或 = ?
2 2

=

2 10



,

2 所以点 Q 的坐标为(5c, c). 10

7

连接 OQ,因为 A( 2c,0),B(0,c),
2 c× c= c2, 所以 S 四边形 OAQB=S△OAQ+S△OQB=2 × 2c× c+2× 5 5 10
2 由5c = 5 ,得 c=2,

1

1

7

4

4

16

故椭圆 C 的方程为 + =1.
8 4

2

2

(3)因为 A( 2c,0),B(0,c),P(-c,- 2c),
2 2 ( 2c,-c)=(1- 2)c2>0,即∠PBA 为锐角, 所以· =(-c,- 2 c-c)· 2 2 (- 2c,c)=(2+ 2)c2>0,即点 A 在以 PB 为直径的圆的外部. · =(-c- 2c,- 2 c)· 2

故线段 AB 与以 PB 为直径的圆有 2 个交点. 【解析】本题考查椭圆的方程、几何性质,直线与椭圆、圆的位置关系,向量的数量积等 知识,考查考生的运算能力. 【备注】解析几何包含两个主要问题,即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对 解析几何的复习,要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念的基础上, 把上述两个问题 作为复习和研究的重点,把握坐标法思想的精髓,同时要狠抓运算关,提高运算能力.

18. 某西瓜种植大棚的轴截面如图 1 所示,下面是 1 米高的防固墙 AB,CD,上面是半径为 5

米的半圆弧 BC,为了能通风透气和方便进出,在大棚一端留有一扇如图 2 所示的矩形门 MNPQ,其中 M,N 在半圆弧上,P,Q 在线段 AD 上,O 为 BC 的中点,设∠MON=2θ.

图1

图2

(1)试把矩形门 MNPQ 的面积 S 表示成 θ 的函数; (2)为能达到最佳通风效果(矩形门的面积最大),应把门的高度设计为多少米?( 201≈14.2, 结果精确到 0.1 米) 5sinθ=10sinθ,MQ=1+5cosθ, 【答案】(1)由题意知,PQ=2× (1+5cosθ)=10(sinθ+5sinθcosθ),其中 于是 S=10sinθ· θ∈(0,2 ]. (2)由(1)知,S=10(sinθ+5sinθcosθ),
2 2 2 则 S'=10(cosθ+5cos θ-5sin θ)=10(10cos θ+cosθ-5),

π

令 S'=0,
2 即 10(10cos θ+cosθ-5)=0,

又 θ∈(0,2 ],则 cosθ∈[0,1),所以 cosθ= 设 θ0∈(0,2 ]且 cosθ0=
π 201 ?1 20

π

201 ?1 20

.

,

则 S,S'随 θ 的变化情况如表所示:

所以当 θ=θ0 时,面积 S 取得极大值,亦为最大值. 此时门的高度为 MQ=1+5cosθ=1+
201 ?1 4

≈4.3(米).

所以门的高度设计约为 4.3 米时,通风效果最佳. 【解析】本题是一道以三角函数求导为背景的实际应用题,意在考查考生的抽象概括能 力、运算求解能力、数学建模能力. 【备注】 解实际应用问题时,应强化审题能力及建模能力.审题时要抓住题目中的关键字、 词、 句,结合所给图形,弄清题中的已知条件,初步了解题目中讲的是什么事情,要求的结果 是什么.

19.已知公差为 d(d>0)的等差数列{an},其前 n 项和为 Sn,数列{ + }也是公差为 d 的

等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记集合 P={n| ≥λ,n∈N*,n≠4},若集合 P 中有且仅有四个元素,求实数 λ 的取值范围.
2 =S +n, 【答案】(1)设 bn= + ,则 n 2 =S +1=a +1, 当 n=1,2,3 时,1 ① 1 1

(1 + )2 =S2+2=2a1+d+2,② (1 + 2)2 =S3+3=3a1+3d+3,③
2 +d, 联立①②消去 a1,得(1 + )2 =21 ④ 2 +3d, 联立①③消去 a1,得(1 + 2)2 =31 ⑤ 2 -2b d+d2=0, 3-⑤得,1 ④× 则 b1=d,⑥ 1

将⑥代入⑤解得 d=2(d=0 舍去), 从而解得 a1=-4,所以 an=2n-4. 此时 bn= + = 2n 对于任意的正整数 n 满足题意.
(2)设 g(n)= = 2 ?4 ,

1

3

1

5

1



2?5

则当 n=1,2,3 时,g(1)=1,g(2)=4,g(3)=-3. 当 n≥5 时,g(n+1)-g(n)= 2 ?2?3- 2 ?4 = ( 2 ?2?3)( 2 ?4 )<0,
2?3 2?5 ?2 2 +8?15

1

1

* 函数 g(n)= 2 ?4 在 n≥5 且 n∈N 时单调递减,

2?5

因为 g(5)=1,g(6)=12,g(7)=7,g(8)=32, 因此要使集合 P 中的元素有且仅有四个,则 P={1,5,6,7}, 所以实数 λ 的取值范围为(32,7]. 【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,考查考生的运算求解、探究 分析、推理论证等综合能力. 【备注】近几年江苏数学高考卷总是将数列题,特别是以等差、等比数列为背景的数列 题作为难题出现,这是江苏高考试卷的一个特点.针对这种情况,在高三复习中,一是要特 别关注等差、等比数列中的一些基本问题及性质;二是要培养观察、分析问题的能力,即 不仅仅要会简单模仿,更要学会从多角度分析题目的条件和结论,拓宽视野.
11 3

7

3

11

20.已知函数 f(x)=lnx-ax2-x+1,其中 a∈R.

(1)若 a 非负,求函数 f(x)的极值点; (2)若 f(1)=0,不等式 k(x-1)2≤(x2-1)[f(x)+x-1]对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【答案】(1)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)= -2ax-1=当 a=0 时,f'(x)=?1 1 2 2 +?1

.

,

易知 f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数, 所以此时 f(x)的极大值点为 x=1,无极小值点.
2 当 a>0 时,令 g(x)=2ax +x-1,g(x)的图象开口向上,对称轴为 x=-4 <0,

1

因为 Δ1=1+8a>0,所以 g(x)=0 的两根为 x= 易知 f(x)在(0,
?1+ 1+8 4

?1± 1+8 4 1+8

,

)上为增函数,在(?1+
?1+ 1+8 4

4

,+∞)上为减函数,

所以此时 f(x)的极大值点为 x=

,无极小值点.

综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)的极大值点为 x=1,无极小值点; 当 a>0 时,函数 f(x)的极大值点为 x= (2)因为 f(1)=0,所以 a=0.
2 2 2 2 不等式 k(x-1) ≤(x -1)[f(x)+x-1]化为 k(x-1) ≤(x -1)lnx. 2 2 当 0<x<1 时,x -1<0,lnx<0,则(x -1)lnx>0; 2 2 当 x≥1 时,x -1≥0,lnx≥0,则(x -1)lnx≥0. 2 所以当 x>0 时,(x -1)lnx≥0 恒成立. 2 又当 k≤0 时,k(x-1) ≤0,故当 k≤0 时符合题意.

?1+ 1+8 4

,无极小值点.

下面讨论 k>0 的情况.
2 2 2 当 x>0 且 x≠1 时,(x -1)lnx-k(x-1) =(x -1)[lnx-

(?1) +1

]. .

设 h(x)=lnx-

(?1) +1

(x>0 且 x≠1),则 h'(x)= -

1

2

( +1)2

=

2 +2(1? ) +1 ( +1)2

2 2 2 方程 x +2(1-k)x+1=0 的判别式 Δ2=4(1-k) -4=4(k -2k).

①当 Δ2≤0,即 0<k≤2 时,h'(x)≥0 恒成立, 故 h(x)在(0,1)及(1,+∞)上单调递增. 又 ln 1 (1?1) 1+1

=0,

2 2 于是当 0<x<1 时,h(x)<0,又 x -1<0,故(x -1)h(x)>0, 2 2 即 k(x-1) <(x -1)lnx. 2 2 当 x>1 时,h(x)>0,又 x -1>0,故(x -1)h(x)>0, 2 2 即 k(x-1) <(x -1)lnx. 2 2 又当 x=1 时,k(x-1) =(x -1)lnx. 2 2 因此当 0<k≤2 时,k(x-1) ≤(x -1)lnx 恒成立. 2 ②当 Δ2>0,即 k>2 时,设 x +2(1-k)x+1=0 的两个不相等的实根分别为 x1,x2(x1<x2). 2 令函数 φ(x)=x +2(1-k)x+1,其图象的对称轴为 x=k-1>1,

又 φ(1)=4-2k<0,于是 x1<1<k-1<x2. 故当 x∈(1,k-1)时,φ(x)<0,即 h'(x)<0,故 h(x)在(1,k-1)上单调递减,又 ln 12 2 所以当 x∈(1,k-1)时,h(x)<0,此时 x -1>0,于是(x -1)h(x)<0, 2 2 即 k(x-1) >(x -1)lnx. 2 2 因此当 k>2 时,k(x-1) ≤(x -1)lnx 对一切正实数 x 不恒成立.

(1?1) 1+1

=0,

综上,实数 k 的取值范围是(-∞,2]. 【解析】本题考查导数的运算、导数符号与函数单调性之间的关系、函数的极值、不等 式恒成立问题等,考查考生的运算能力、综合运用知识分析问题和解决问题的能力,重点 考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等. 【备注】函数是高中数学的主线,在历年江苏卷中,考查比重较大,且常常与导数知识相结 合,而且解答题的难度不小.在复习冲刺阶段,对函数与导数要加以重点关注,同时也应该 根据自身的基础,确定复习的难度和广度.

21. 如图所示,PA,PB 分别切圆 O 于 A,B 两点,过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD,连接 PC,OD,

求证: = . MD=AM· BM. 【答案】连接 OA,OB,由相交弦定理知 CM· 由题意知 OA⊥PA,OB⊥PB, ∴O,A,P,B 四点共圆, MB=PM· MO. ∴AM· MD=PM· MO, ∴MC· 即 = ,又∠OMD=∠CMP, ∴△ODM∽△CPM,∴ = . 【解析】本题考查圆的基本性质、相似三角形等基础知识,考查考生的推理论证能力. 【备注】对于平面几何的复习,一要关注圆中的角、弧、线段等元素的关系及转换;二要 从文字语言、图形语言两个角度认识和理解一些常见的定理.






22.已知矩阵 A=

3 ,A2= 9 , A-1. 求 8 2

【答案】由 A=
2 得A=

3 , 2

9 + 23 + 9 3 3 , = = 8 6 + 22 + 2 2 2

所以

= 1, 9 + 2 = 9, 3 0 . 所以 即 A= = 0, 6 + 2 = 8, 2 1

-1 设 A = , -1 因为 AA =

3 0 10 , = 01 2 1
1

= , 3 = 1, 3 3 = 0, = 0, 所以 解得 2 2 + = 0, = ? 3 , 2 + = 1, = 1,
1

所以 A =

-1

3

0
2 3

? 1

. 10 -1 计算出 A . 01

2 1 【解析】本题考查矩阵的运算.由 A 可求出 A,再由 A A =

-

【备注】对于矩阵的复习,要在对基本概念的理解上下工夫,如理解矩阵的乘法与变换的 关系、逆矩阵的意义、特征值和特征向量的含义等.同时,还要掌握与矩阵有关的基本计 算,提高运算能力.

23. 在极坐标系中,设直线 l 过点 A( 3, 3 ),B(3, 2 ),且直线 l 与曲线 C:ρ=asinθ(a>0)有且只有



π

一个公共点,求实数 a 的值.
3 【答案】依题意,A( 3, 3 ),B(3,2 )的直角坐标分别为 A(- ,2),B(0,3),从而直线 l 的直角坐标 2 2π π 3

方程为 3x-y+3=0.
2 2 曲线 C:ρ=asinθ(a>0)的直角坐标方程为 x +(y-2 ) = (a>0),



2 4

因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, 所以 2
| ?3| 2


= (a>0),解得 a=2. 2

【解析】本题考查极坐标的基本概念、极坐标与直角坐标之间的转化、直线与圆的位置 关系等,考查考生的化归与转化能力及运算求解能力.

24.求函数 y= ? 7+ 9 ? 的最大值.

【答案】 解法一由柯西不等式得 ? 7+ 9 ? ≤ 12 + 12 · ( ? 7) + (9 ? ) =2,当且仅 当 9 ? = ? 7,即 x=8 时取等号, 故函数 y= ? 7+ 9 ? 的最大值为 2. 解法二因为 ? 7≥0, 9 ? ≥0,所以 y= ? 7+ 9 ? ≥0.
2 又 y =( ? 7 + 9 ? )2 =x-7+9-x+2 ? 7· 9 ? ≤2+x-7+9-x=4,当且仅当 x-7=9-x,即

x=8 时等号成立, 所以 y≤2,所以函数 y= ? 7+ 9 ? 的最大值为 2. 【解析】本题考查不等式等基础知识,考查考生的推理论证能力. 【备注】对不等式选讲的复习,一方面要关注对柯西不等式的理解,另一方面要注意从目 标出发,从等号成立的条件出发,合理地使用公式,减少盲目性.

2 25. 已知抛物线 y =2px(p>0),过点(4,0)作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆

过原点 O. (1)求抛物线的方程; (2)过抛物线上的定点 M(1, 2)作两条关于直线 x=1 对称的直线,分别交抛物线于 C,D 两 点,连接 CD,试问:直线 CD 的斜率是否为定值?请说明理由.
2 【答案】(1)当直线 l 的斜率不存在时,A(4,4),B(4,-4)或 A(4,-4),B(4,4),代入 y =2px 得 p=2.

当直线 l 的斜率存在时,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x-4)(k≠0),联立

= ( ? 4) ,消去 y 得 2 = 2

2 2 =4p2x x =64p2, k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=16,所以1 所以 2 1 2

y1y2=-8p,由题意知· =0,故 x1x2+y1y2=0,即 16-8p=0,所以 p=2.
2 综上可知,所求抛物线的方程为 y =4x.

(2)由(1)知 M(1,2),设直线 CD 的方程是 x=my+n(m≠0),显然直线 CD 不过点 M.联立 + 4 = 4 2 = 4 ,消去 x 得 y2-4my-4n=0,设 C(x3,y3),D(x4,y4),则 3 ,由题意 3 4 = ?4 = + ( ≠ 0) 直线 MC,MD 关于直线 x=1 对称,则直线 MC,MD 的倾斜角互补,即 kMC+kMD=0,也即
3 ?2 4 ?2 3 ?1 4 ?1

+

=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即 x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将

3 = 3 + 3 + 4 = 4 (m+1)(n+2m-1)=0, 4 = 4 + 和 3 4 = ?4 代入上式化简得 要使上式恒成立,当且仅当 m+1=0 或 n+2m-1=0. ①当 m+1=0,即 m=-1 时,直线 CD 的方程为 x=-y+n,即直线 CD 的斜率恒为定值-1; ②当 n+2m-1=0 时,将 n=1-2m 代入直线 CD 的方程得 x=my+1-2m,即 x-1=m(y-2),此时直线 CD 过点 M(1,2),与题意矛盾. 所以直线 CD 的斜率恒为定值-1. 【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.

26.已知数列{an}满足:a1=3,an=3 ?1 (n≥2).

(1)求证:对任意的 n∈N*,存在 mn∈N,使 an=4mn+3; (2)求 a2 019 的末位数字. 【答案】(1)当 n=1 时,a1=3,存在 m1=0,使得 a1=4m1+3, 假设当 n=k 时,ak=4mk+3,mk∈N, 则当 n=k+1 时,ak+1=3 = 34 +3 = (4 ? 1)4 +3 =
4 +2 1 4 +3 0 0 1 4 +3 4 +2 C4 × (-1)0+C4 × (-1)1+…+C4 (?1)4 +2 +C4 +3 4 +3 4 +3 4 × +3 4 ×

(?1)4 +3 =4T-1=4(T-1)+3,
4 +2 * 0 1 4 +2 4 +1 4 +2 × (-1)0+C4 × (-1)1+…+C4 其中 T=C4 ∈N . +3 4 +3 4 +3 × (?1)

所以存在 mk+1=T-1∈N,使 ak+1=4mk+1+3,所以当 n=k+1 时,结论也成立,
* 所以对任意的 n∈N ,存在 mn∈N,使 an=4mn+3.

(2)由(1)可知 an+1=3 = 34 +3 = (81) × 27, 故 a2 019 的末位数字是 7. 【解析】本题主要以数列为载体,考查组合数和数学归纳法的知识,考查考生的推理论证 能力与逻辑思维能力.


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