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2013高考数学二轮复习专题演练3.1 等差、等比数列的计算与证明


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2013 高考数学二轮复习专题演练

3.1
一、选择题

等差、等比数列的计算与证明
)

1.(2010· 全国Ⅱ)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 B.21 C.28 D.35

解析:由等差数列性质得 a3+a4+a5=3a4, 7?a1+a7? 由 3a4=12,得 a4=4,所以 a1+a2+?+a7= =7a4=28. 2 答案:C 2.(2010· 福建)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最 小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 ( )

解析:∵{an}是等差数列, ∴a4+a6=2a5=-6, a5-a1 -3+11 则 a5=-3,d= = =2,得{an}是首项为负数的递增数列,所有的非正 4 5-1 项之和最小.∵a6=-1,a7=1,∴当 n =6 时,Sn 取最小.故选 A. 答案:A 3.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13, T17,T25 中也是常数的项是 A.T10 B.T13
3 2+5+17 8 3

( C.T17
3

)

D.T25

解析:a3a6a18=a1 q

=(a1q ) =a9 ,即 a9 为定值,所以与 a1 下标和为 18 的项

积为定值,可知 T17 为定值. 答案:C 4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( A.80 B.26 C.30 D.16 )

3n S3n 14 1-q 解析: = = , Sn 2 1-qn

∴qn=2. 1-q4n ∴S4n=Sn· =30.故选 C. 1-qn 答案:C 5.(2010· 辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5= ( )

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15 A. 2

31 B. 4

33 C. 4

17 D. 2

解析:an>0, a2a4=a2q4=1① 1 S3=a1+a1q+a1q2=7② 1 1 解得 a1=4,q= 或- (舍去), 2 3 a1?1-q5? S5= = 1-q 答案:B 二、填空题 6.(2010· 福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an=________. a1?1-q3? - 解析:∵{an}是等比数列,q=4,S3= =21,∴a1=1,∴an=4n 1. 1-q 答案:4n
-1

1 4×?1-32? ? ? 31 = ,故选 B. 1 4 1- 2

7.(2009· 辽宁理)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 6S5-5S3=5,则 a4=________. 5×4 ? ? 3×2 ? 解析:由题意知 6?5a1+ d -5 3a1+ d =15a1+45d=15(a1+3d)=15a4=5, 2 ? ? 2 ? ? 1 故 a4= . 3 1 答案: 3 8.数列{an}满足:an+1=an(1-an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=anan+1,则数列{bn} 的前 10 项和 S10=________. 1 1 1 解析:由题可知 an+1=an(1-an+1),整理可得 - =1,则 =1+(n-1)=n,所 an an+1 an 1 1 1 1 1 10 以 an= ,bn=anan+1= = - ,故 S10=b1+b2+?+b10=1- = . n 11 11 n?n+1? n n+1 10 答案: 11
? ?n?n=1,2,3,4,5,6? 9.已知数列{an}(n∈N*)满足:an=? 则 a2 007=________. * ?-an-6?n≥7,且n∈N ? ?

解析:由 an=-an-6(n≥7,且 n∈N*)知 an+12=-an+6=an 从而知当 n≥7 时有 an+12=an 于是 a2 007=a167×12+3=a3=3. 答案:3 三、解答题

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10.如图给出了一个“等差数阵”:

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式. 解:(1)该等差数阵的第 1 列是首项为 4,公差为 3 的等差数列,a41=4+3×(4-1) =13,第 2 列是首项为 7,公差为 5 的等差数列,a42=7+5×(4-1)=22. ∵a41=13,a42=22, ∴第 4 行是首项为 13,公差为 9 的等差数列. ∴a45=13+9×(5-1)=49. (2)∵a1j=4+3(j-1),a2j=7+5(j-1), ∴第 j 列是首项为 4+3(j-1),公差为 2j+1 的等差数列. ∴aij=4+3(j-1)+(2j+1)· (i-1)=i(2j+1)+j. 11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

?a1= 2+1, (1)解:由已知得? ∴d=2, ?3a1+3d=9+3 2,
故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn= =n+ 2. n
2 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列,则 bq=bpbr,

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2), ∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0. ∵p,q,r∈N*,
?q2-pr=0, ? ∴? ? ?2q-p-r=0,

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∴?

p+r?2 2 ? 2 ? =pr,(p-r) =0,

∴p=r. 这与 p≠r 相矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 12.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项的和 Sn= (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}的首项为 b,公比为 2,前 n 项的和为 Tn.若对任意 n∈N*,Sn≤Tn 均成立,求实数 b 的取值范围. ?a1+1?2 解:(1)由 a1= ,解得 a1=1. 4 当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1= 得(an-an-1-2)(an+an-1)=0. 又因为 an>0,所以 an-an-1=2. 因此{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 即 an=2n-1(n∈N*). (2)因为 Sn=n2,Tn=b(2n-1), 所以 Sn≤Tn 对任意 n∈N*恒成立,
n 1 2 -1 当且仅当 ≤ 2 对任意 n∈N*均成立. b n

?an+1?2 , 4

?an+1?2-?an-1+1?2 , 4

2n-1 2n 1-1 2n-1 ?n2-2n-1?·n+?2n+1? 2 令 Cn= 2 ,因为 Cn+1-Cn= - 2 = , n n ?n+1?2 n2· ?n+1?2


所以 C1>C2,且当 n≥2 时,Cn<Cn+1. 1 3 4 因此 ≤C2= ,即 b≥ . b 4 3

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