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河北省冀州中学学高二数学下学期期中试题A理-课件


河北冀州中学 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二年级数学试题(理)
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题: (本大题共 15 个小题,每小题 4 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.)

? ? (A) ? x ?1 ? x ? 2? (B) ? x ?1 ? x ? 0? ?

/>2.设复数 z ? (

2 1.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A I B ?

?

(C) x 0 ? x ? 1 (D) x 1 ? x ? 2

?

?

?

?

a?i 2 ) 其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为 1? i

3 3 1 1 A.B. - i C. D. - i 2 2 2 2 3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x)



(B) y ? xf ( x) (C) y ? x2 ? f ( x) (D) y ? x2 f ( x) uur uuu r 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三角形,则 ( ) (B) m ? ?4 (C) m ? 1 (D) m ? R 图象过点 ,则 f(x)图象的一个对称中

(A) m ? ?4 5.已知函数 心是( A. )

B.

C.

D.

6.执行如图所示的程序框 图,如果输入 x ? 3 ,则输出 k 的值为

(A)6

(B)8

(C)10

(D)12 ,Q

7.已知三棱锥 S ﹣ABC,满足 SA⊥SB,SB⊥SC,SC⊥SA,且 SA=SB=SC,若该三棱锥外接球的半径为 是外接球上一动点,则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为( A. 3 B.2 C. D. )

8.已知满足

的实数 x、y 所表示的平面区域为 M、若函数

y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是( A.[3,5] B.[﹣1,1] C.[﹣1,3] D.



9.已知 p: “直线 l 的倾斜角 ? ? A、充分不必要条件 C、充要条件

?
4

” ;q: “直线 l 的斜率 k>1” ,则 p 是 q 的

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

1

14 x2 y 2 ? ? 1 的焦点重合, 它们的离心率之和为 , 则双曲线的渐近线方程为 ( ) 5 25 9 5 3 3 A、 y ? ? B、 y ? ? x C、 y ? ? x D、 y ? ? 3x x 3 5 3 11. f ( x ) 是定义在( 0 ,+ ? )上单调函数,且对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( f ( x) ? ln x) ? e ? 1 ,则方程 f ( x) ? f '( x) ? e 的实数解所在的区间是( ) 1 1 A、 (0, ) B、 ( ,1) C、 (1,e) D、 (e,3) e e
10.已知双曲线与椭圆 12. 设 平 面 向 量 OA 、 OB 满 足 | OA |=2 、 | OB |=1 , OA ? OB ? 0 , 点

P 满 足

OP ?

m 2m ? 2n
2 2

OA ?
2 2

2n m ? n2
C.
2

OB , 其中m ? 0, n ? 0 ,则点 P 所表示的轨迹长度为
2? 2

A.

1 2

B.

?
2

D.

第Ⅱ卷(共 90 分) (每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 二、填空题: 13.若 cos(? ?

?
5

)?

4 9? ) ? ____________. ,则 sin(2? ? 5 10

14.在报名的 5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,则不同的选取方法 的种数为 (结果用数值表示) 2 15.已知点 及抛物线 x =﹣4y 上一动点 P ( x, y) , 则|y|+|PQ|的最小值是 . 16.已知数列 ?an ? 满足 an ? 2n ? 1 2 ,其前 n 项和 Sn ?
n

?

?

.

三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,且 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ) f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

? ?? C? ? ? 2? ? ? 2sin ? x ? ? 在区间 ?0, 2 ? 上的值域. 2? ? ? ? 12 ?

18. (本小题满分 12 分)连续抛掷同一颗均匀的骰子,令第 i 次得到的点数为 a i ,若存在正整数 k ,使

a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 6 ,则称 k 为你的幸福数字.
(1)求你的幸运数字为 3 的概率; (2)若 k ? 1 ,则你的得分为 5 分;若 k ? 2 ,则你的得分为 3 分;若 k ? 3 ,则你的得分为 1 分;若抛掷 三次还没找到你的幸福数字则记 0 分,求得分 X 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱锥的侧棱 PD⊥底面 ABCD, 且底面 ABCD 是直角梯形, AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱上. (1)求证:BC⊥平面 BDP;

2

(2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余 弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 M::

+

=1(a>0)的一个焦点为 F(﹣1,0),左右顶点分别为

A,B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

ex , g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) . e2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在点 (4, f (4)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x ? (0, ??) ,不等式 g ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值的集合 M ; (Ⅲ)当 a ? M 时,讨论函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴 为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ = (1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|?|MB|= ,求点 M 轨迹的直角坐标方程. ,曲线 C 的参数方程为 .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.

3

高二理数参考答案 (A) CABBB CDDBD 13. CD 15. 2 (B) DCBBC CADBA CD
n ?1

7 25

14. 125

16. Sn ? 6 ? ? 2n ? 3? 2
2 2

17.(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab ,得 a ? b ? c ? ab
2

?2 分

? a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,∴在 ?ABC 中, C ? ????4 分 3 2ab 2 ? (Ⅱ)由( Ⅰ)可知 C ? , 3 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ∴ f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 2sin 2 ? x ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 6? 6? 6? ? ? ? ? 12 ? ? ?? ?? ? ? ???8 分 ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 6 6? 3? ? ? ? ? ? 2? 3 ?? ? ∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ,∴ ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 3 3 3 2 3? ? ?? ? ∴ 1 ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 3 ??????11 分 3? ? ∴函数 f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,3? ??????12 分 ? ?
∴ cos C ? 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)设连续抛掷 3 次骰子,和为 6 为事件 A,则它包含事件 A1,A2,A3,其中 A1:三次恰好均为 2,1 种情况; A2:一次为 1,一次为 2,一次为 3,有 10 种情况;,A3 两次为 1,一次为 4,有 3 种情况。共有 10 种情况。概 率为 P ? A ? ?

10 5 ? ????..4 分 216 108 P ? X ? 1? ? 5 108

(2)由已知 X 的可能取值为 5,3,1,0

1 5 P ? X ? 3? ? 6 36 1 5 5 35 P ? X ? 0? ? 1 ? ? ? ? 6 36 108 54 P ? X ? 5? ?

19.(1)证明:由已知可算得 ,∴BD2+BC2=16=DC2, 故 BD⊥BC,又 PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,故 PD⊥BC, 又 BD∩PD=D,所以 BC⊥平面 BDP; ?6 分 (2)解:如图,取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,BM∥AN, 则∠PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角; 又 PA⊥底面 ABCD, ∴∠PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成角, 即 ,∴ ,即 ,

4





,则在△PAN 中, . ?12 分.
2



即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为

20.解:(I)因为 F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1,又 b =3, 所以 a =4,所以椭圆方程为
2

=1;.........2 分

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45°,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到 ,消掉 y,得到 7x2+8x﹣8=0,

所以△=288,x1+x2= 所以|CD|=

,x1x2=﹣ , × = ;.........6 分

|x1﹣x2|=

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=﹣1, 此时 D(﹣1, ),C(﹣1,﹣ ),△ABD,△ABC 面积相等,|S1﹣S2|=0, 当直线 l 斜率存在(显然 k≠ 0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k≠0), 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 和椭圆方程联立得 到 ,消掉 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

显然△>0,方程有根,且 x1+x2=﹣

,x1x2=



此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|

?

12 k 12 12 12 ? ? ? ? 3 2 3 3 ? 4k ,(k= 3 2 12 ?4 k 2 ?4 k k k
................12 分

时等号成立)

所以|S1﹣S2|的最大值为 . 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f '( x ) ?

ex 2 2 ,∴ f '(4) ? e ,又∵ f (4) ? e , e2 2 2 2 2 ∴函数 f ( x ) 在点 (4, f (4)) 的切线方程为 y ? e ? e ( x ? 4) ,即 y ? e x ? 3e ;??3 分
(Ⅱ)由 g (1) ? 0 及题设可知,对任意 x ? (0, ??) ,不等式 g ? x ? ? g ?1? 恒成立, ∴函数 g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) 必在 x ? 1 处取得极小值,即 g ?(1) ? 0 , ∵ g ?( x) ? ln x ? 1 ? a ,∴ g ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 , ?4 分 ?????5 分

当 a ? 1 时, g ?( x) ? ln x ,∴ x ? (0,1) , g ?( x) ? 0 ; x ? (1, ??) , g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增, 则 g ( x)min

? g ?1? ? 0

????????6 分 ????????7 分

∴对任意 x ? (0, ??) ,不等式 g ( x) ? g (1) ? 0 恒成立,符合题意,即 a ? 1 , ∴ M ? {1} ; (Ⅲ)由(Ⅱ) a ? 1 ,

5

ex ? x ln x ? x ? 1 ,其定义域为 (0, ??) , e2 ex ex 求得 h?( x) ? ( 2 ? x ln x ? x ? 1)? ? 2 ? ln x , ???????8 分 e e x e 1 令 m( x) ? h?( x) , m?( x) ? 2 ? 为区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,???9 分 e x e2 e x0 1 设 x0 为函数 m?( x) 的零点,即 2 ? ,则 x0 ? x , e0 e x0
∴函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ∵当 0 ? x ? x0 时, m?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, m?( x) ? 0 , ∴函数 m( x) ? h?( x) 在区间 (0, x0 ) 上为减函数,在区间 ( x0 , ??) 上为增函数,

e x0 1 e2 1 ? ln x0 ? ? ln x0 ? ? x0 ? 2 ? 0 , e2 x0 e x0 所以函数 h( x) 在区间 (0, ??) 上为增函数. ????????12 分
∴ h?( x) ? h?( x0 ) ? 22.(Ⅰ)证明:连接 DE,∵ACED 是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△C BA,即有 ,

又∵AB=2AC,∴BE=2DE,∵CD 是∠AC B 的平分线, ∴AD=DE,∴BE=2AD;?5 分 (Ⅱ) 解: 由条件知 AB=2AC=6, 设 AD=t, 则 BE=2t, BC=2t+6, 根据割线定理得 BD?BA=BE?BC, 即 (6﹣t) ×6=2t? (2t+6) , 即 2t2+9t﹣18=0, 解得 或﹣6(舍去),则 . ?10 分 ,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x;

23. 解:(1)直线 l 的极坐标方程为 θ = 曲线 C 的参数方程为 可得曲线

.消去参数 θ , ?4 分

(2)设点 M(x0,y0)及过点 M 的直线为

由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

,即:

,x2+2y2=6 表示一椭圆?8 分

取 y=x+m 代入

得:3x +4mx+2m ﹣2=0

2

2

由△≥0 得

故点 M 的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 之间的两 段弧 ?10 分 24.解:(1)由 ||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3,得不等式的解为﹣2<x<4 ?4 分 (2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)}, ............6 分 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|,

6

g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5, 所以实数 a 的取值范围为 a≥﹣1 或 a≤﹣5. ?10 分

7


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