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2016年闵行高三二模


闵行区 2015 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(文理科)
考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题,第三大题为解 答题。 3.答卷前,务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。 4.作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区 域,第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 3 ( x ?1) 的定义域是 .

2.集合 A ? x | x ? 3 x ? 0 , B ? x x ? 2 ,则 A ? B 等于
2

?

?

?

?

. .

3.若复数

1? i 1 ? b ( i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 b 的值为 1? i 2

4.已知函数 f ( x) ?

log3 x 1 ,则 f ?1 (0) ? 2 1

. 倍. . .

5.若一个圆锥的母线长是底面半径的 3 倍,则该圆锥的侧面积是底面积的

? ? ? ? ? ? 6.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ? , a ? 1 , b ? (3,0) ,则 2a ? b ?

7.(理科)已知 △ ABC 的周长为 4 ,且 sin A ? sin B ? 3sin C ,则 AB 边的长为 (文科)在 △ ABC 中, AB ?
6

6 , A ? ??? , C ? 60? ,则 BC ? 2

.

1 ? ? 3 8.(理科)若 ? x ? ? 的展开式中的 x 项大于 15 ,且 x 为等比数列 ?an ? 的公比, x? ?
则 lim
n ??

a1 ? a2 ? ? ? an ? a3 ? a4 ? ? ? an
n

.

(文科)若 an 为 ?1 ? x ? 的展开式中的 x 项的系数,则 lim
2

n ??

2an ? n2 ? 1

.

9.若 m ? 0 , n ? 0 , m ? n ? 1 ,且

t 1 ? ( t ? 0 )的最小值为 9 ,则 t ? m n

.
2 2

10. (理科) 若以 x 轴正方向为始边, 曲线上的点与圆心的连线为终边的角 ? 为参数, 则圆 x ? y ? 2 x ? 0

的参数方程为

.?

? x ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? 2? ) ? y ? sin ?
. .

(文科)设点 ( x, y ) 满足 y ? x 且 y ? ? x ? 2 ,则 z ? 6 x ? y 的最大值为

11.若 AB 是圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 1的任意一条直径, O 为坐标原点,则 OA ? OB 的值为

??? ? ??? ?

12. (理科) 在极坐标系中, 从四条曲线 C1 : ? ? 1 ,C2 : ? ? ( ? ? 0 ) ,C3 : ? ? cos? ,C4 : ? sin ? ? 1 中随机选择两条,记它们的交点个数为随机变量 ? ,则随机变量 ? 的数学期望 E? = .

? ?

(文科)从集合 ?0,1,2,3? 的所有非空 子集中,等可能地取出一个,则取出的非空子集中所有元素之和恰 .. 为 5 的概率为 .

* 13. (理科) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,Sn = n2 + 2a | n - 2016 |( a ? 0 ) , 则使得 an ? an?1( n ? N )

恒成立的 a 的最大值为

.
*

(文科)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn = n2 + 2a | n - 2 | ( n ? N ),数列 ?an ? 为递增数列,则实 数 a 的取值范围 .

14. (理科)若两函数 y ? x ? a 与 y ? 1 ? 2 x 2 的图像有两个交点 A 、 B , O 是坐标原点, △OAB 是 锐角三角形,则实数 a 的取值范围是 .

(文科)若两函数 y ? x ? a 与 y ? 1 ? 2 x 2 的图像有两个交点 A 、 B , O 是坐标原点,当 △OAB 是直 角三角形时,则满足条件的所有实数 a 的值的乘积为 .

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.如果 a ? b ,那么下列不等式中正确的是( (A) ).

1 1 ? a b

(B) a ? b
2

2

(C) lg a ? 1 ? lg b ? 1

?

?

?

?

(D) 2 ? 2
a

b

16.(理科)若 l、 m 是两条直线, m ? 平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l // ? ”的( (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

).

(文科)若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形, 则其侧 .面 .积 .等于( (A) 2 3 (B) 3 ). (C) 6 (D) 2 1 1

D1 A1 E? A B1 D ?P B

C1

E 是 AA1 的中点, 17.(理科)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, P 为底面 ABCD 内一动点,设 PD1、PE 与底面 ABCD 所成的角分别
为 ?1、?2 ( ?1、?2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则动点 P 的轨迹为哪种曲 线的一部分( ).

C

1

(A)直线

(B)圆

(C) 椭圆

(D) 抛物线 ).

(文科)平面上有两个定点 A、B 和动点 P , PA ? 2 PB ,则动点 P 的轨迹为( (A)椭圆 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线

18.(理科)将函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 g ( x) 的图像 . 若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 4 的 x1、x2 ,有 x1 ? x2 的最小值为 (A)

? .则 ? ? ( ?
(D)

).

? ?

(B)

? ?

(C)

? ?? 或 ? ?

? ?? 或 ? ?

(文科)将函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? ( 0 ? ? ?

? )个单位后得到函数 g ( x) 的图像 . ? ? .则 ? ? ( ?
(D) ).

若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 4 的 x1、x2 ,有 x1 ? x2 的最小值为 (A)

? ?

(B)

? ?

(C)

? ?

?? ??

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 复数 z1 ? sin 2 x ? i ? cos 2 x , z2 ? sin 2 x ? i ? cos x (其中 x ? R , i 为虚数单位). 在复平面上,复数 z1 、 z2 能否表示同一个点,若能,指出该点表示的复数;若不能,说明理由.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. (理科)如图,在直角梯形 PBCD 中, PB // DC , DC ? BC , PB ? BC ? 2CD ? 2 ,点 A 是 PB 的中 点,现沿 AD 将平面 PAD 折起,设 ?PAB ? ? . (1)当 ? 为直角时,求异面直线 PC 与 BD 所成角的大小; (2)当 ? 为多少时,三棱锥 P ? ABD 的体积为

2 . 6

P P A D A B C B C D B P A C D

(文科)如图,在直角梯形 PBCD 中, PB // DC , DC ? BC , PB ? BC ? 2CD ? 2 ,点 A 是 PB 的中 点, E 是 BC 的中点,现沿 AD 将平面 PAD 折起,使得 PA ? AB . (1)求异面直线 PC 与 AE 所成角的大小; (2)求四棱锥 P ? AECD 的体积.

P P A D A B C B E C D

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型 (n ? N* ) :

? 200 ? n ? 2000, (1 ? n ? 8) ? n ?8 ? 以 f (n) ? ?360 ? 3 12 ? 3000, (9 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻进入园区的人数; ?32400 ? 720 ? n, (33 ? n ? 45) ? ?
0, (1 ? n ? 18) ? ? 以 g (n) ? ?500 ? n ? 9000, (19 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻离开园区的人数. ? 8800, (33 ? n ? 45) ?
设定以 15 分钟为一个计算单位,上午 9 点 15 分作为第 1 个计算人数单位,即 n ? 1 ; 9 点 30 分作为第 2 个 计算单位,即 n ? 2 ;依次类推,把一天内从上午 9 点到晚上 8 点 15 分分成 45 个计算单位(最后结果四舍 五入,精确到整数). (1)试计算当天 14 点至 15 点这一小时内,进入园区的游客人数 f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24) 、离开园 区的游客人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24) 各为多少? (2)(理科)从 13 点 45 分(即 n ? 19 )开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数 最多的时刻,并说明理由. (文科)假设当日园区游客总人数达到或超过 8 万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓 当天 16 点(即 n ? 28 )时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?说明理由.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点与短轴两端点构成一个面积 a 2 b2

为 2 的等腰直角三角形, O 为坐标原点. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)设点 A 在椭圆 ? 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB , 求证:

1 1 ? 为定值; 2 OA OB 2

(3)(理科)设点 C 在椭圆 ? 上运动, OC ? OD ,且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d ? 0 ? d ? 2? ,求动 点 D 的轨迹方程. (文科) 设点 C 在椭圆 ? 上运动, OC ? OD ,且点 O 到直线 CD 的距离为常数 3 ,求动点 D 的轨迹方 程.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 7 分.
* 已知 n ? N ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: an?1 ? an ? 1 , bn ?1 ? bn ?

1 an ,记 cn ? an 2 ? 4bn . 2

(1)若 a1 ? 1 , b1 ? 0 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:数列 ?cn ? 是等差数列; (3)(理科)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在 k ? N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 fk ( x) 有两个
*

整数零点,则必有无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点. (文科)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,在(1)的条件下,是否存在 n ,使得 f n ( x) 有两个整数零点,如果 有,求出 n 满足的集合,如果没有,说明理由.

参考答案与评分标准
一、填空题(第 1 题至第 14 题)每题正确得 4 分,否则一律得 0 分. 1. ?1, ?? ? ; 4. 9 ; 7. 1 ; 10.理: ? 2. ? ?2,3? ; 5. 3 ; 8. 1 ; 3. 2 ; 6. 19 ; 9. 4 ; 11. 8 ; 12.理: 1 、文:

? x ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? 2? )、文: 5 ; y ? sin ? ?
1 1 1 、文: ( ? , ) ; 2016 2 2
14.理: ?

2 ; 15

13.理:

? 6 2 3? 2 2 ? 3 , 3 ? ? 、文: 3 . ? ?

二. 选择题(第 15 题至 18 题)每题正确得 5 分,否则一律得 0 分. 15.D; 16.C; 17.B; 18. C

三、解答题(第 19 题至 23 题) 19.(本题满分 12 分) 解:设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ?
2

????????3 分

1 , 2

????????????7 分 ?????9 分 ?????11 分 ?????12 分

当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i ; 当 cos x ? ?

3 1 1 3 2 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i ; 4 2 2 4
3 1 ? i. 4 2

综上,复平面上该点表示的复数为 i 或

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 解:理:(1)当 ? 为直角时,即 AB, AD, AP 两两互相垂直,以点 A 为坐标原点, AB, AD, AP 为坐标轴建 立空间直角坐标系, ??????1 分 ??3 分

??? ? ??? ? 则 B(1,0,0) C (1,2,0) D(0,2,0) P(0,0,1) , PC ? (1,2, ?1) , BD ? (?1,2,0)
设异面直线 PC 与 BD 所成角为 ? ,则

z P

??? ? ??? ? PC ? BD 30 cos ? ? ??? ? ??? ? ? 10 PC ? BD

??????5 分

故异面直线 PC 与 BD 所成角为 arccos

30 .?7 分 10

A B x C P

D y

(2)? 沿 AD 将平面 PAD 折起的过程中,始终 有 PA ? AD , AB ? AD ,? AD ? 面PAB ,由

A B C

D

VP? ABD ? VD? PAB 得
?

????????9 分 ????????12 分

1 1 2 1 2 ? ? S△ PAB ? DA ? ? 2 ? ?1?1? sin ? ,? sin ? ? 3 2 6 3 2

?? ?

?
4



3? . 4

???????????14 分

(文)(1)取 AD 中点 F ,连 CF ,则 CF // AE ?PCF 是异面直线 PC 与 AE 所成角(或补角)?1 分

△PCF 中, CF ? AE ? 2 , PF ? 2 , PC ? 6 ?3 分

P

cos ?PCF ?

2?6?2 3 ? 2 2? 2 ? 6

?????5 分

A

所以异面直线 PC 与 BD 所成角为

? .????7 分 6

B

F E C

D

(2)易知:四棱锥 P ? AECD 的高 PA ? 1 ,底面四边形为直角梯形, 其面积 S AECD ?

1 3 (1 ? 2) ? 1 ? 2 2

?????????????10 分

1 1 ? VP ? AECD ? ? S AECD ? PA ? , 3 2
从而四棱锥 P ? AECD 的体积为

????????????12 分 ?????????????14 分

1 . 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 解:(1)当天 14 点至 15 点这一小时内进入园区人数为 f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24)

? 360 ? [312 ? 312 ? 312 ? 312 ] ? 3000 ? 4 ? 17460 (人)
离开园区的人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24)=9000 (人)

13

14

15

16

???????3 分 ??????6 分

(2)(理)当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递增;当 f (n) ? g (n) ? 0 时, 园内游客人数递减.
n?8

??????7 分

①当 19 ? n ? 32 时,由 f (n) ? g (n) ? 360 ? 3 12 ? 500n ? 12000 ? 0 ,可得: 当 19 ? n ? 28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;?9 分 当 29 ? n ? 32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ??11 分 ( f (28) ? g (28) ? 246.49 ? 0 ; f (29) ? g (29) ? ?38.13 ? 0 ) ②当 33 ? n ? 45 时,由 f (n) ? g (n) ? ?720n ? 23600 递减,且其值恒为负数. 进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少. ??????13 分

综上,当天下午 16 点时( n ? 28 )园区内的游客人数最多,此时计算可知 园区大约共有 77264 人. (文)当天下午 16 点( n ? 28 )时 进入园区人数为 S28 ? [ f (1) ? f (2) ? ? ? f (8)] ? [ f (9) ? f (10) ? ? ? f (28)] ??????14 分

8? 7 360 ? 312 ? (312 ? 1) ? [2200 ? 8 ? ? 200] ? [ ] ?3000 ? 20 1 2 12 (3 ? 1)

1

20

? 23200 ? 21563.5 ? 60000 ? 104764 (人)
此时,离开园区的人数

???10 分

T28 ? g (19) ? 9(20) ? ? ? g (28) ? 500 ?10 ?

10 ? 9 ? 500 ? 27500 人???12 分 2
???13 分 ???14 分

此时,园区共有游客为 S28 ? T28 ? 77264 (人) 因为 77264 ? 80000 ,所以当天不会采取限流措施.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 解:(1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为

2 ,a ? 2,

??????????3 分

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 4 2

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) ?7 分 x0

?

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .?10 分 ? = ? = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4( x0 ? y0 ) 4 y0 OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0


(3)(理科)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得: 联立①②可得 x0 ?
2

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2



4 y2 4 x2 2 , y0 ? 2 2 x2 ? y 2 2x ? y2



??????????12 分

2 2 2 2 2 由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC ? OD =(OC +OD ) ? d

可得

1 1 1 ? ? , 2 2 d OC OD 2

?????????????????????14 分

1 1 1 1 1 将③代入得: 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? 2 ? x ? y2 4( x 2 ? y 2 )

化简得 D 点轨迹方程为: (

1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .??????????16 分 2 d 2 d 4


(文科)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得:

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2



联立①②可得 x0 2 ?

4 y2 4 x2 2 , y ? 0 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2



??????????12 分

由 OC ? OD 得 OC ? OD= 3CD ,即 OC 2 ? OD2 =3(OC 2 +OD2 ) 可得

1 1 1 ? = , ???????????????????????14 分 2 2 OC OD 3

将③代入得:

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 OC OD x0 ? y0 x ? y2

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2 x2 ? y 2

?

1 2 x2 ? y 2 ? 4 1 ? = . x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 ) 3

化简得 D 点轨迹方程为:

y 2 x2 ? ? 1 .?????????????????16 分 12 6

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 7 分. 解: (1) an ? n , ????????????????????????2 分

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2

? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 )

???????4 分

1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .??????????????6 分 2 4
(2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ?????????????????8 分

1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2

? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.????????????????????11 分
(3)(理科)由解方程得: x ?

?an ? cn ?ak ? ck ,由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 2 2
????12 分

为整数,则 ? ? ck 必为完全平方数,不妨设 ck ? m2 (m ? N) , 此时 x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,???13 分 ? 2 2

由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?
此时 x ?

2

????????????15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2

? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, ?17 分
所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.????????????18 分

(文科)由(1)(2)得 cn ? an 2 ? 4bn ? n ,??????????????12 分 函数的零点为 x ? 此时 x ?

?an ? cn ?n ? n ,要想为整数,则 n 必为完全平方数,不妨设 n ? m2 (m ? N* ) , ? 2 2

?m2 ? m ?m ? m ? 1? ? ,???????????14 分 2 2 ?m2 ? m ?m ? m ? 1? ? 为整数,????????????16 分 2 2

又因为 m与m ? 1 是连续的两个整数,? ?m(m ? 1) 能被 2 整除, 即函数的零点 x ?

? 所求 n 的集合为 ?n | n ? m 2 , m ? N* ? .?????????????????18 分


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