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等差数列的通项公式


溧水县第二高级中学(数学苏教版必修五)

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等差数列 等差数列的通项公式

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第 10 课时 第 2 课时

掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法,掌握等差数列通项公 教学目标 式,并能用公式解决一些简单的问题;掌握等差数列前 n 项和的通 项公式以及推导该公式的方法,并能解决简单问题. 重点难点 掌握等差数列的通项公式. ?引入新课 1.引例:观察等差数列 ?an ? ,4,7,10,13,16,…,如何写出它的第 100 项 a100 呢?
2.等差数列 ?an ? 的通项公式:

an ? a1 ? ?n ? 1?d ,其中 a1 为首项, d 为公差; an ? am ? ?n ? m?d ,其中 a m 为首项, d 为公差;

3.等差数列的有关性质: (1)若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ; (3)数 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; (5) ?an ? 的公差为 d ,则:

(2)下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成等差数列; (4) ?an ? 和 ?bn ? 均为等差数列,则 ?a n ? bn ?也为等差数列; ① d ? 0 ? ?an ? 为递增数列;② d ? 0 ? ?an ? 为递减数列;③ d ? 0 ? ?an ? 为常数列;

?例题剖析
例 1 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次,奥运会如因 故不能举行,届数照算. (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2) 2008 年北京奥运会是第几届? 2050 年举行奥运会吗?

例2

在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 10, a9 ? 28 ,求 a12 .

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例3

已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求首项 a1 和公差 d .

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?巩固练习
1.求下列等差数列的第 n 项: (1) 13 , 9 , 5 ,…; (2) ?

1 1 3 , , ,…. 2 2 2

2. (1)求等差数列 8 , 5 , 2 ,…的第 20 项; (2)等差数列 ? 5 , ? 9 , ? 13 ,…的第几项是 ? 401 ? (3) ? 20 是不是等差数列 0 , ?

7 , ? 7 ,…的项?若是,是第几项? 2

3.诺沃尔在 1740 年发现了一颗彗星,并推算出在 1823 年, 1906 年, 1989 年人们都可 以看到这颗彗星,即彗星每隔 83 年出现一次. (1)从发现那次算起,彗星第 8 次出现是在哪一年? (2)你认为这颗彗星在 2500 年会出现吗?为什么?

4.某滑轮组由直径成等差数列的 6 个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15 cm 和 25cm ,求中间 4 个滑轮的直径.

5.已知等差数列的通项公式为 a n ? 1 ?

1 n ,求它的首项和公差. 2

6. 一个等差数列的第 40 项等于第 20 项与第 30 项的和, 且公差是 ? 10 , 求首项和第 10 项.

?课堂小结
等差数列的通项公式及其运用;等差数列的有关性质。
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?课后训练
班级:高一( )班 姓名:____________ 一 基础题 1.已知等差数列 ?an ? 中, a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 20 ,则 a2 ? a10 ?

2 2.已知等差数列 ?an ? ,数列① ?2a n ?;② ?an ? 2?;③ ?a2n ? 1?;④ an 中,

? ?



一定是等差数列的是 3.在等差数列 ?an ? 中, (3)已知 d ? ?

(填序号) .

(1)已知 a1 ? ?1 , d ? 4 ,求 a8 ; (2)已知 a 4 ? 4 , a8 ? ?4 ,求 a12 ;

1 , a7 ? 8 ,求 a1 . 3

4.在等差数列 ?an ? 中, (1)已知 a3 ? 31 , a7 ? 76,求 a1 和 d ; (2)已知 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 a9 .

5.一种变速自行车后齿轮组由 5 个齿轮组成,它们的齿数成等差数列,其中最小和最大 的齿轮的齿数分别为 12 和 28 ,求中间三个齿轮的齿数.

二 提高题 6.三个数成等差数列,它们的和是 15 ,它们的平方和等于 83 ,求这三个数.

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7.如果 a , A , b 这三个数成等差数列,那么 A ? 的等差中项.试求下列各组数的等差中项: (1) 7 ? 3 5 和 7 ? 3 5 ;

a?b a?b ,我们把 A ? 叫做 a , b 2 2
2 2

(2) ?m ? n? 和 ?m ? n? .

三 能力题 8.在等差数列 ?an ? 中,已知 a p ? q , aq ? p

? p ? q? ,求 a p?q .

9.已知 ?an ? 是等差数列,当 m ? n ? p ? q 时,是否一定有 am ? an ? a p ? aq ?

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