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空间几何体的结构及其三视图和直观图


第 1讲

空间几何体的结构及其三视图和直观图

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形?长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合?的三视图, 能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间

图形的三视图与直观图, 了解空 间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图?在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等 没有严格要求?.

板块一 知识梳理· 自主学习

[必备知识] 考点 1 空间几何体的结构特征

考点 2 空间几何体的三视图 1.三视图的形成与名称 空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图、侧视图、俯视图 . 2.三视图的画法 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成 虚线 何体画出的轮廓线. .
正左

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、

方、

正上

方观察几

考点 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 1.画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴、y′ (或 135° ) ,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中 轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′= 45° 仍平行于 x′轴,长度 不变 ,平行于 y 轴的线段仍平行于 y′轴,长度 减半 . 2.画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于 x′O′y′平面,已 知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度 不变 . 画法来画,基本步骤是:

[必会结论] 1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变” 坐标轴的夹角改变, ? ? “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半, ? ?图形改变. 平行性不改变, ? ? “三不变”?与x,z轴平行的线段的长度不改变, ? ?相对位置不改变. 3.直观图与原图形面积的关系 2 S 直观图= 4 S 原图形(或 S 原图形=2 2S 直观图).

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.球的任何截面都是圆.( × ) 2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) 3.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( √ ) 4.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( × ) 5.上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.( × ) 6.用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.( √ ) 7.在用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A = 90° ,则在直 观图中∠A=45° .( × )

二、小题快练 1.[2014· 福建高考]某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱 )

解析

因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可能是三角形,而圆柱的正视图是矩形或圆,不可能为

三角形,所以选 A.

2.[课本改编]如图,长方体 ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中 EH∥A′D′.剩下的几何 体是( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体

解析 由空间几何体的结构特征知,该剩下部分为五棱柱 ABFEA′-DCGHD′.

3.[课本改编]如图,直观图所表示的平面图形是( A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

)

解析 由直观图中,A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴, 还原后如图 AC∥y 轴,BC∥x 轴. 所以△ABC 是直角三角形. 故选 D.

4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为(

)

①长方形 ②直角三角形 ③圆 ④椭圆 A.① C.③
解析

B.② D.④
当俯视图为圆时,由三视图可知为圆柱,此时正视图和侧视图应该相同,所以俯视图不可能是

圆,故选 C.

5.[2015· 宁德质检]如图是正方体截去阴影部分所得的几何体,则该几何体的侧视图是(

)

解析 此几何体侧视图是从左边向右边看,故 C 符合题意.

板块二 典例探究· 考向突破

考向 例 1 下列说法正确的是( )

空间几何体的结构特征

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
[解析] A 错,如图 1;B 正确,如图 2,其中底面 ABCD 是矩形,可证明∠PAB,∠PCB 都是直角, 这样四个侧面都是直角三角形;C 错,如图 3;D 错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的 情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.

【变式训练 1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 C.2
解析

)

B.1 D.3
命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是

垂直于两底的腰;命题③错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,命题④错,必须用平行于圆锥底面 的平面截圆锥才可以.

考向

空间几何体的三视图

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从近几年的高考来看,空间几何体的三视图与直观图的综合年年考查,题目难度不大 命题角度 1 由空间几何体的直观图识别三视图 例 2 [2014· 江西高考]一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

[解析] 由几何体的直观图知, 该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上, 因此它的俯视图应排除 A、 C、D,经验证 B 符合题意,故选 B.

命题角度 2 由空间几何体的三视图还原直观图 例 3 [2015· 北京高考]某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A.1 B. 2 C. 3 D.2 )

[解析] 四棱锥的直观图如图所示. 由三视图可知,SB⊥平面 ABCD,SD 是四棱锥最长的棱, SD= SB2+BD2= SB2+AB2+BC2= 3.

三视图问题的常见类型及求解策略 (1)在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几 何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. (2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,在还原空间几何体的实际形状 时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

【变式训练 2】 (1)[2016· 厦门模拟]如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 的中点,若用 过点 A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )

解析 结合原正方体先确定剩余几何体的形状,再确认其侧视图.

设过点 A,E,C1 的截面与棱 DD1 相交于点 F,且 F 是棱 DD1 的中点,该正方体截去上半部分后,剩 余几何体如图所示,则它的侧视图应选 C.

(2)[2014· 课标全国卷Ⅰ]如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则 这个几何体是( A.三棱锥 C.四棱锥
解析

) B.三棱柱 D.四棱柱

由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,

则这个几何体是三棱柱,故选 B.

考向 为( A. C. ) 3 2 a 4 6 2 a 8 B. D. 3 2 a 8 6 2 a 16

空间几何体的直观图

例 4 [2015· 桂林模拟]已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积

[解析] 如图①、②所示的平面图形和直观图. 1 3 由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a,在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′ = 2 6 O′C′= a. 2 8 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= A′B′· C′D′= ×a× a= a2. 2 2 8 16

延伸探究 若本例改为“△A1B1C1 是边长为 a 的正三角形, 且△A1B1C1 是△ABC 的直观图”, 则△ABC 的面积为多少?


a x 6 在△A1D1C1 中,由正弦定理 = ,得 x= a, sin45° sin120° 2 1 6 ∴S△ABC=2×a× 6a= 2 a2.

平面图形与其直观图的关系 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S 直观图= 2 S 4 原图形.

【变式训练 3】 (1)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,若 A1C1=2,△ABC 的面积为 2 2, 2 . 则 A1B1 的长为________

解析 由直观图可知 AC⊥BC,BC=2B1C1,AC=2, 1 1 又因为2AC· BC=2 2,所以 BC=2 2,则 B1C1=2BC= 2,
2 2 所以 A1B2 =2, 1=2 +( 2) -2×2× 2×cos45°

解得 A1B1= 2.

(2)如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6,O′C′=2, 24 2 . 则原图形 OABC 的面积为________

解析 由题意知原图形 OABC 是平行四边形,且 OA=BC=6,设平行四边形 OABC 的高为 OE,则 1 2 OE×2× 2 =O′C′, ∵O′C′=2,∴OE=4 2, ∴S?OABC=6×4 2=24 2.

核心规律 1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状. 3.三视图的画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;(2)理解“长 对正、宽平齐、高相等”. 满分策略 1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易忽视实虚 线的画法.

板块三 启智培优· 破译高考

易错警示系列 8——三视图识图不准致误 [2014· 湖北高考]在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0), (1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和② C.④和③

B.③和① D.④和②

[错解] 根据给出的空间直角坐标系,描出各点连接,可知 C 正确.
[正解] 在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体,设 A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),则 ABCD 即为满足条件的四面体,得出正视图和俯视图分别为④和②,故选 D.

[错因分析]

(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置.(2)不能借助于正方体,由空间几

何体的直观图得到它的三视图.(3)受思维定势的影响,直观感觉正视图为三角形,而无法作出选择.

答题启示 在三视图中,正视图、侧视图的高就是空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就是空间 几何体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时,分界线和可见轮 廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断 与识别中要特别注意其中的“虚线”.

跟踪训练 [2013· 课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

解析 在空间直角坐标系中,易知 O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点, 棱 BC 在 zOx 平面的投影是看得见的,而 OA 的投影即它本身,在投影面中是看不见的,故 A 项正确.

板块四 模拟演练· 提能增分

板块五 限时· 规范· 特训


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