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【选修2-3课件】1[1].7组合(一)


情境创设 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题1
从已知的 3 个

不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.

问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解

组合定义:

一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点?

概念讲解
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

1)元素相同; 2)元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成,先取后排;而构造 组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合是选择的结果,排列 组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有 多少种分法?? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次?? 组合问题

(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.

a

b

c
d

b c d

c

d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数,用符号 C n 表示.
注意: m 是一个数,应该把它与“组合”区别开来. Cn 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合个数是: C2 ? 3
3

如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是:C4 ?6

练一练

1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d

abc , abd , acd , bcd .

组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc

排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

bcd

你发现了 什么bcd ?

不写出所有组合,怎样才能知道组合的种数?

求 A4可分两步考虑:
第一步, C 4 ( ? 4)个;
第二步, A3 ( ? 6)个;
根据分步计数原理, A4
3

3

3

3

?C?A
3 4

3 3

.

A 从而C ? A
3 4

3 4 3 3

如何计算:

C

m n

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分 为以下2步:
m 第1步:先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 Cn . m 第2步:求每一个组合中m个元素的全排列数 An .

m m m A ? C ? A 根据分步计数原理,得到: n n m

m A n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m n 因此: Cn ? ? m Am m!

这里 m、n ? N *,且 m ?

n ,这个公式叫做组合数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ?A
n n

m

m

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例题分析
例1计算:⑴

C

4 7



C

7 10

(3) 已知

C

3 n

?

A

2 n

,求 n .

38-n 3n (4)求 C3n +C21+n的值.

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛,

(1)列出所有各场比赛的双方;
(2)列出所有冠亚军的可能情况. 解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 (2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

例3

m ? 1 m?1 求证 : C ? ? Cn . n?m
m n

n! 证明: ? C ? , m( ! n ? m) !
m n

m ? 1 m?1 m ? 1 n! ?Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)( n ? m ? 1)!
n! m ? ? Cn . m ! ( n ? m) !

例题分析

例4.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端 点的线段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条?

例5.(1)凸五边形有多少条对角线?
(2)凸n( n>3)边形有多少条对角线?

课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果,排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念


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