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§2.3.2平面向量基本定理及坐标表示(3):平面向量的正交分解与坐标表示


平面向量的正交分解

及坐标表示与运算

1.向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做 把向量正交分解.

O F1 G F2

2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中, 我们分别 (1)取基底 : 取与x , y轴的方向相 同的两个单位向量 i , j作基底. ( 2)得实数对 : 对任一向量a ,由平 面向量的基本定理, 有且只有一 对实数x , y , 使得a ? xi ? y j .我们 把有序实数对( x , y )叫做向量a的 坐标, 记作a ? ( x , y ).其中x叫做a在x轴上的坐标, y叫 做 a在y轴上的坐标.a ? ( x , y )叫做向量的坐标表示.
j
o a y

i

x

注意: 1.以原点O为起点作OA ? a , 则点A的位置由 向量a唯一确定. 2.点A的坐标就是向量a的坐标.
y
A(x, y)

a

j
O

a i x

例1.分别用基底i , j表示向量a , b, c , d , 并求出 它们的坐标.
b
y 5 4 3 2 1 -2 -1
O

B

a
A

j

-4 -3

-1 -2

i1

2

3

4

x

c

d

3.平面向量的坐标运算 已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差)

? a ? (? x1 , ? y1 )
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标

已知A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去始点的坐标
A(x1,y1)

y
B(x2,y2)

O

x

例2.已知a ? ? 2,1? , b ? ? ?3, 4 ? .求a ? b, a ? b, 3a ? 4b 的坐标. 例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标 分别是 ? ?2,1?、 ? ?1, 3?、 ? 3, 4 ? , 试求顶点D的坐标.

练习 : 已知平面上三个点的坐标分别是A ? ?2,1?、 B ? ?1, 3?、C ? 3, 4 ? , 试点D的坐标, 使这四个点 构成平行四边形的四个顶点.

y
B C

D2

D1

A
D3

O

x

练习: 1.已知A( 2, 3), B ? ( ?3, 5), 求 BA的坐标. 2.已知 AB ? (1, ?2), A( 2,1), 求B的坐标. 3.已知 AB ? (1, ?2), B( 2,1), 求A的坐标.

课堂总结:

1.向量的坐标的概念: a ? xi ? y j ? ( x, y) 2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系;

(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: (1)若a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), ? a ? (? x1, ? y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), ? AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) 4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想


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