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第4单元-平面向量-数学(理科)-新课标


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第四单元 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
第24讲 第25讲 平面向量的概念及其线性运算 平面向量基本定理及坐标表示

第26讲
第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
数系的扩充与复数的引入

单元网络

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核心导语
一、向量 1.向量的有关概念——零向量、单位向量、共线向量、相 等向量. 2.向量的运算及向量共线——加法、减法、实数与向量的 乘积、平行四边形法则和三角形法则、向量共线. 3.向量的坐标运算. 4.向量的数量积——模、夹角、垂直的应用. 二、复数 1.复数的概念——实部、虚部、共轭复数、复数的模. 2.几何表示——复数与点、向量建立一一对应关系. 3.复数的运算——加法、减法、乘法、除法.
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使用建议
1.编写意图 平面向量和复数在高考中都会出现,平面向量一般为选 择题或者填空题,大题有时也会考查,复数一定会出现一道 选择题或填空题.编写时注意以下几点:(1)平面向量对运算 的考查有一定难度,对这方面要引起重视;复数考查基本运 算,要掌握常规方法和常规运算.(2)平面向量与三角函数、 解析几何联系密切,要加强该类问题的训练.(3)考虑到该部 分内容是第一轮初始阶段复习的知识,编写时尽量避免综合 性的题目,题目尽量为基础题、典型题.

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使用建议
2.教学指导 (1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在 复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升.(2)向量的数量积 在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉 及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练.(3) 复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本 概念的理解和基本运算的训练.

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使用建议

3.课时安排 本单元共4讲,一个突破高考解答题专项训练,一个三维 滚动复习卷,建议每讲1个课时完成,突破高考解答题专项训 练建议1个课时完成,大约共需5个课时.三维滚动复习卷建议 课下完成.

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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 易 错 易 混 透 析
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第24讲 平面向量的概念 及其线性运算

考试大纲
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共 线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

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第24讲 平面向量的概念及其线性运算 基 础 自 主 梳 理

—— 知识聚焦 ——
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示 用a,b,c,?或 → ,BC → ,?表示 AB

大小 又有 在平面中,既有________ 向量 方向 ________的量
向量 向量a的________,也就是表示向量a → 的________( 的模 的有向线段AB 长度 或称模) 零向 量

大小

|AB| ________或________
|a |
用________ 0 表示



0 长度为________ 的向量

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

名称 单位向量 平行向量

定义 1 长度等于________ 个单位的向量

表示

1 用e表示,|e|=________
a ∥b

相同 或相反的非零向量 方向________ 长度 相等且方向________ 相同 ________ 的
向量

相等向量

a=b 向量a的相反向量是

相反向量

长度 相等,方向________ 相反 ________ 的
向量

-a ________

不确定的 、________ 任意的 . 说明:零向量的方向是________ 平行 . 规定:零向量与任一向量________

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

2.向量的线性运算
向量运算 定义 求两个向 加法 量的 ________ 三角形 法则 _________ 的 和 运算 ________法则 平行四边形 减去一 个向量相当 减法 于加上这个 向量的 ________ 相反向量
三角形 法则 ________

法则(或几何意 义)

运算律 (1)加法交换律: a+b=________ b+a (2)加法结合律: (a+b)+c= ________ a +(b+c)

a-b=________ a+(-b)

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

向量运算

定义 实数λ与向量 a的积是一个 _________ 向量 , 这种运算叫

法则(或几何意 义) (1)|λa|=________ |λ||a| (2)当λ>0时,λa 与a的方向

运算律 (1)对向量加法 的分配律: λ (a+b)=

相同 ; ________
当λ<0时,λa与a

数乘

λa+λb ________

作向量的 (2)对实数加法 的方向 数乘 ________ , 相反 的分配律: ________;当λ= 记作 (λ1+λ2)a= 0时,λa= λa ________ ________ λ1a+λ2a 0 _______________

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

3.向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 ________ b=λa .

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

—— 正本清源 ——
? 链接教材

1.[教材改编] 如图 4241 所示,在平行四边形 ABCD → =a, → =b, → =________. 中, E 为 DC 边的中点, 且AB AD 则BE

1 [答案] b- a 2

[解析]

1→ 1 1 → → → BE=BA+AD+ DC=-a+b+ a=b- a. 2 2 2
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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

2.a表示向东走1 km,b表示向南走1 km,则a+b表示 向________方向走________ km.

[答案] 东南

2

[解析] 向东南方向走 2 km.

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

1→ → →| 3. [教材改编] 设四边形ABCD中,有 2DC =AB,且| AD → |,则这个四边形是________. =|BC

[答案] 等腰梯形
1→ → → ∥DC →, [解析] ∵AB= DC,∴AB 2 → |=|BC → |, ∴四边形ABCD为梯形.又|AD ∴四边形ABCD为等腰梯形.

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

→ =2a 4.[教材改编] 设a,b是两个不共线向量, AB → =a+b, CD → =a-2b.若A,B,D三点共线,则 +pb, BC 实数p=________.
[答案] -1

→ = BC → + CD → =2a-b,且A,B,D三点共 [解析] ∵ BD → =λBD →, 线,∴存在实数λ,使AB
? ?2=2λ, 即? ∴p=-1. ? ?p=-λ,

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算 易错易混
5.对向量有关概念理解的误区:相等向量;共线向

?

量. → = BC → ,则四边形ABCD是 (1)若四边形ABCD满足 AD ________. → =kBC → (k>0,k≠1),则四边形 (2)若四边形ABCD满足 AD ABCD是________.

[答案]

(1)平行四边形

(2)梯形

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

→ = BC → 表示AD∥BC且AD=BC,所以 [解析] (1) AD 四边形ABCD是平行四边形. → =k BC → (k>0,k≠1)表示AD∥BC,但AD与BC (2) AD 不相等,所以四边形ABCD是梯形.

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

6.处理向量问题时常见的错误:忽略零向量;滥 用结论. (1)若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c的 关系是________. ①共线;②不共线;③以上二者皆可能. (2)已知两向量a,b,若|a|=1,|b|=2,则|a+b|的 范围是________.
[答案] (1)③ (2)[1,3]

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

[解析] (1)若b=0,则a与c未必是共线向量;若b是 非零向量,则a与c是共线向量.在处理向量问题时不要 忽略零向量. (2)当a,b方向相同时,有|a+b|=3;当a,b方向相 反时,有|a+b|=1;当a,b不共线时,1<|a+b|<3.所以|a +b|的范围是[1,3].注意在一般情况下,|a+b|=|a|+ |b|不成立.

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算 通性通法

?

7.有关向量的几个结论:三点共线;向量的中线公 式;三角形重心的向量表示. (1)A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的 → =________. 任意一点O,存在实数t,使得OC → =λ(AC → +AB → ),则λ (2)△ABC中,D是BC的中点,若AD =________. → + OB → + OC → = (3)O为△ABC的重心的充要条件是 OA ________.

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第24讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的概念及其线性运算

→ +(1-t)OB → [答案] (1)tOA

1 (2)2

(3)0

[解析] (1)根据向量的共线定理,A,B,C 三点共线 → =tBA →, → -OB → =t(OA → 的充要条件是存在实数 t 使得BC 即OC → ),即OC → =tOA → +(1-t)OB →. -OB → =AB → +BD → ,AD → =AC → +CD →, (2)∵AD → =(AB → +AC → )+(BD → +CD → ). ∴2AD 1 → → → → → ∵BD+CD=0,∴AD=2(AB+AC). (3)取 BC 的中点 D, O 为△ABC 的重心的充要条件是 2→ 2 1 → → 1 → → 1 → → → AO = AD = ? ( AB + AC ) = ( AB + AC ) = ( OB - OA + 3 3 2 3 3 → -OA → ),整理即得OA → +OB → +OC → =0. OC
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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点一

平面向量的基本概念

考 点 互 动 探 究

例1 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大 小; ③若λ a=0(λ为实数),则λ必为零; ④λ ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[思路点拨] 掌握向量的一些概念,比如向量的模、 共线向量、零向量等.
考 点 互 动 探 究

[答案] C

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

[解析] ①错误,两向量是否共线要看其方向而不是 起点与终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,所以它们 不能比较大小,但它们的模均为实数,所以可以比较大 小. ③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0. ④错误,当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是 任意向量.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

[总结反思] 解决与平面向量概念有关的真假命题的 判定问题,其关键在于理解平面向量的概念,应注意零 向量的特殊性,以及相等向量必须满足的条件:①模相 等;②方向相同.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

变式题 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b;
考 点 互 动 探 究

→ = DC → ”是 ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“ AB “四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中真命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤

[答案]

A

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[解析] ①不正确,两个向量的长度相等,它们的方向 不一定相同. → =DC → ,∴|AB → |=|DC → |且AB → ∥DC →, ②正确,∵AB
考 点 互 动 探 究

又A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形ABCD为平行四边形. 反之,若四边形ABCD为平行四边形, → ∥DC → 且|AB → |=|DC → |,即AB → =DC →. 则AB ③正确,∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同, 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

④不正确,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不 能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条 件,而是必要不充分条件. ⑤不正确,应考虑b=0这种特殊情况. 综上所述,真命题的序号是②③.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点二
例2

平面向量的线性运算

(1)如图4242所示,正方形ABCD中,点E是

考 点 互 动 探 究

→ 等于 DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么 EF ( )

图4242 1→ 1 → 1→ 1 → A.2AB-3AD B.4AB+2AD 1→ 1 → 1→ 2 → C.3AB+2DA D.2AB-3AD

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =c,AC → =b,若点D满足BD →= (2)在△ABC中,AB → ,则AD → 等于( 2DC
考 点 互 动 探 究

)

2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C.3b-3c D.3b+3c

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[思路点拨] 形法则求解.
考 点 互 动 探 究

结合图形,运用三角形法则和平行四边

[答案] (1)D (2)A

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

→ = EC → + CF → .因为点E为 [解析] (1)在△CEF中,有 EF 1→ → DC的中点,所以EC=2DC. 2→ → 因为点F为BC的一个三等分点,所以CF=3CB. → =1DC → +2CB → =1AB → +2DA →= 所以EF 2 3 2 3 1→ 2 → 2AB-3AD. → =2 DC → ,∴ AD → - AB → = BD → =2 DC → =2( AC →- (2)∵ BD → ),∴3AD → =2AC → +AB →, AD 2 → 1→ 2 1 → ∴AD=3AC+3AB=3b+3c.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

[总结反思] (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的 相等向量,并运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的步骤:①观 察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运 用法则找关系;④化简结果.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

变式题

(1)已知O,A,B是平面上的三个点,直线 ) → +2OB → B.-OA 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3

→ +CB → =0,则OC → 等于( AB上有一点C,满足2AC
考 点 互 动 探 究

→ -OB → A.2OA 2→ 1→ C. OA- OB 3 3

→ +BA → =2BP →, (2)设P是△ABC所在平面内的一点,BC 则( ) → +PB → =0 A.PA → +PC → =0 C.PB → +PA → =0 B.PC → +PB → +PC → =0 D.PA

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案]

(1)A

(2)B

考 点 互 动 探 究

→ + CB → =0,得2 AO → +2 OC → + CO → + OB → [解析] (1)由2 AC → =-2AO → -OB → =2OA → -OB →. =0,∴OC → + BA → (2)如图所示,根据向量加法的几何意义可知 BC → ?P是AC的中点,故PA → +PC → =0. =2BP

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点三
例3

向量的共线定理及应用

设两个非零向量a与b不共线.

考 点 互 动 探 究

→ =a+b, BC → =2a+8b, CD → =3(a-b),求 (1)若 AB 证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[思路点拨] 利用向量的共线定理求解.

考 点 互 动 探 究

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =a+b, BC → =2a+8b, CD → =3(a 解:(1)证明:∵ AB -b), → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b ∴BD
考 点 互 动 探 究

→, =5(a+b)=5AB → ,BD → 共线,又它们有公共点B, ∴AB ∴A,B,D三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λ k-1)b. ∵a,b是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=± 1.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

考 点 互 动 探 究

[总结反思] (1)可以利用向量的共线定理证明向量共 线,也可以利用向量共线求参数的值. (2)若a,b不共线,则“λa+μb=0”的充要条件是 “λ=μ=0”,这一结论的应用非常广泛. → =λ AC → ,则A,B,C三点 (3)证明三点共线的方法:若 AB 共线.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

变式题

如图4243所示,设O是△ABC内部一点,

→ + OC → =-2 OB → ,则△AOB与△AOC的面积之比为 且 OA ________.
考 点 互 动 探 究

图4243
1 [答案] 2

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ + OC →= [解析] 如图所示,设M是AC的中点,则 OA → ,又OA → +OC → =-2OB →, 2OM
考 点 互 动 探 究

→ =-OB → ,即O是BM的中点, ∴OM S△AOB 1 1 ∴S△AOB=S△AOM= S△AOC,即 = . 2 S△AOC 2

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

?

误区警示

9.向量共线中参数求值问题的易错点

【典例】 [2014· 哈尔滨四校联考] 在△ABC中,N 1→ → →= 是AC边上一点,且 AN = 2 NC ,P是BN上一点,若 AP 2→ → mAB+9AC,则实数m的值为( ) 1 1 A.9 B.3 C.1 D.3
易 错 易 混 透 析

【答案】

B

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

1→ → → [解析] 如图4244所示,因为 AN = NC ,所以 AN 2 1→ 2→ 2→ → → → = 3 AC ,所以① AP =mAB + 9 AC =mAB + 3 AN .因为B, 2 1 P,N三点共线,所以 ②m+3=1 ,所以m=3.

易 错 易 混 透 析

图4244

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ 转 【易错点析】本题有两个易误点,①不能把 AP 2→ → → 化为AP=mAB+3AN的形式;②不能应用三点共线,即 2 m+3=1这一条件.

易 错 易 混 透 析
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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

【跟踪练习】

→ =a+2b, BC → =-5a+ (1)已知 AB

→ =7a-2b,则下列三点一定共线的是( 6b,CD ) A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D (2)如图4245所示,在△ABC中,点O是BC的中点, 过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若 → =mAM → ,AC → =nAN → ,则m+n的值为( AB
易 错 易 混 透 析

)

A.1 B.2

图4245 C.3 D.4
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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] (1)B

(2)B

→ =BC → +CD → =2a+4b=2AB → ,∴BD →∥ [解析] (1)∵BD → ,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. AB 1 → → → (2)∵O是BC的中点,∴AO=2(AB+AC). m → n→ → → → → → 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= 2 AM+2AN. m n ∵M,O,N三点共线,∴ 2 +2=1,即m+n=2.

易 错 易 混 透 析

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

—— 教师备用例题 ——

例1 【配例1使用】给出下列六个命题: ①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相 同; ②若|a|=|b|,则a=b; → = DC → ,则A,B,C,D四点构成平行四边 ③若 AB 形; → =DC →; ④在平行四边形ABCD中,一定有AB ⑤若m=n,n=p,则m=p; ⑥若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中假命题为________(填序号).
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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] ①②③⑥
[解析] 两向量起点相同,终点相同,则两向量相 等;但两相等向量不一定有相同的起点和终点,故①不 正确;|a|=|b|,由于a与b方向不确定,所以a,b不一定 → = DC → ,A,B,C,D可能在一条 相等,故②不正确; AB 直线上,所以③不正确;零向量与任一向量平行, a∥b,b∥c时,若b=0,则a与c不一定平行,故⑥不正 确.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

例2 【配例2使用】在平行四边形ABCD中,AC与 BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交 → =a,BD → =b,则AF → 等于( 于点F,若AC ) 1 2 1 1 A.4a+2b B.3a+3b 1 1 1 2 C.2a+4b D.3a+3b

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] B
[ 解析 ] DF∶AB, 如图所示,由题易知, DE∶BE = 1∶3 =

1→ → ∴DF=3AB, 1→ 1→ 1 → → 1→ → → → ∴AF=AD+DF=2AC+2BD+3(AC+CB)=2AC+ 1 → 11 → 1 → 1 1 11 1 2 1 2BD+32AC-2BD=2a+2b+32a-2b=3a+3b.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =a,OB → 例3 【配例3使用】已知a,b不共线,OA → =c, OD → =d, OE → =e,设t∈R,如果3a=c,2b =b, OC =d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条 直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理 由.

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第24讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =d-c=2b-3a, CE → =e-c=(t 解:由题可知, CD -3)a+tb,“C,D,E三点在一条直线上”的充要条件 → =kCD → ”,即(t-3)a+tb=-3ka 是“存在实数k,使得CE +2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ? ?t-3+3k=0, 因为a,b不共线,所以? ? ?2k-t=0, 6 解得t=5. 6 故存在实数t=5,使C,D,E三点在一条直线上.

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基 础 自 主 梳 理
考 点 互 动 探 究 高 考 热 点 解 读
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第25讲 平面向量基本定理 及坐标表示

考试大纲
1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

—— 知识聚焦 ——
1.平面向量的基本定理 不共线 向量,那么对 如果e1,e2是一个平面内的两个________ 有且只有 于这一平面内的任意向量a, ________一对实数λ1,λ2,使a =λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内 基底 . 所有向量的一组________

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法及数乘 (x1+x2,y1+y, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=_____________ 2) (λx1,λy1) a-b=( _______________ . x1-x2,y1-y2) ,λa=_______________ (2)向量的模 → =______________ →| (x2-x1,y2-y1) ,| AB 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = (x2-x1)2+(y2-y1)2.

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,则

x1y2-x2y1=0 . 向量a与b共线?b=λa?__________

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

—— 正本清源 ——
? 链接教材

→ =(-2,-5),B(3,-7),则点 1.[教材改编] 已知AB A的坐标为________.

[答案] (5,-2)
[解析] 设点A的坐标为(x,y),则(-2,-5)=(3 -x,-7-y), ? ? ?-2=3-x, ?x=5, 则? 解得 ? 故点A的坐标为(5, ? ? ?-5=-7-y, ?y=-2, -2).

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

→ =(2,3),CA → =(4,7),则BC → 2.[教材改编] 若向量BA 等于________.

[答案] (-2,-4)

→ =(2,3),CA → =(4,7),所以BC → =BA → [解析] 由于BA → =(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4). +AC

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

3.[教材改编] 若向量a=(2,3),b=(x,-9),且 a∥b,则实数x=________.

[答案] -6
[解析] -6. 因为a∥b,所以2?(-9)-3x=0,解得x=

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

4.[教材改编] 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), → =2 AD → ,则顶点D的坐标为 B(-1,-2),C(3,1),且 BC ________.

7 [答案] (2, ) 2
→ =2AD → ,得(4,3)=2(x, [解析] 设D(x,y),则由BC ? ? ?x=2, ?2x=4, y-2),得? 解得? 7 ? y= . ?2(y-2)=3, ? ? 2

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示
易错易混
5.向量易忽略的两个问题:向量的夹角;单位向量.

?

→ =a, BC → =b,则a,b的夹 (1)等边三角形ABC中,若 AB 角为________. → 共线的单位向 (2)已知A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 量为________.

[答案] (1)120°

3 4 3 4 (2) (5,-5)或(-5,5)

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)求两向量的夹角时要求两向量的起点是同一 点,本题a,b的夹角易错误地认为是60°. → =(3,-4),所以| AB → |=5,因此与 AB →共 (2)由已知得 AB 1→ 3 4 3 4 线的单位向量为± AB,即( ,- )或(- , ). 5 5 5 5 5

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示
通性通法
6.三点共线:转化为向量共线求解. 1 若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则 a +

?

1 b的值为________.

1 [答案] 2

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

→ =(-2,b-2),依题 → =(a-2,-2), AC [解析] AB 意,得(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即ab-2a-2b=0,所以a+b=2.

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

7.向量相等的两种常见形式:用基底表示的向量相 等;用坐标表示的向量相等. (1)a,b不共线,若λ1a+b=-a+μ 1b,则λ1= __________,μ1=________. (2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),若c= λa+μb,则2λ+μ =________.

[答案] (1)-1 1 (2)0

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第25讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)根据平面向量基本定理,用一组基底表示一 个向量,基底的系数是唯一的,所以λ1=-1,μ1=1. (2)由c=λ a+μb,得(3,4)=λ(1,2)+μ(2,3)=(λ+ 2μ,2λ +3μ), ? ? ?λ +2μ=3, ?λ =-1, ∴? 解得? 故2λ+μ=0. ? ? 2 λ + 3 μ = 4 , μ = 2 , ? ?

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点一
例1

平面向量基本定理

→ =2 BC → , OA → = (1)如图4251所示,已知 AB )

→ =b,OC → =c,则下列等式中成立的是( a,OB
考 点 互 动 探 究

3 1 A.c= b- a 2 2 C.c=2a-b

B.c=2b-a 3 1 D.c=2a-2b

图4251
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

(2)如图4252所示,在四边形ABCD中,AC和BD相 → =a, AB → =b,若 AB → =2 DC → ,则 AO →= 交于点O,设 AD ________.(用向量a和b表示)
考 点 互 动 探 究

图4252

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

[思路点拨] (1)从选项可以看出,应把向量 a,b 作为 基底表示向量 c,依据图形及向量加减法的三角形法则求
考 点 互 动 探 究

→ =2DC → 知此四边形为梯形,利用AO → 与AC → 共线, 解.(2)由AB 通过转化再用向量 a 和 b 表示.

2 1 [答案] (1)A (2)3a+3b

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

→ =OA → +AC → =OA → +3AB → =OA → +3(OB →- [解析] (1)∵OC 2 2 1→ 3→ → OA)=-2OA+2OB, 3 1 ∴c= b- a. 2 2 → =2DC →, (2)∵AB OC 1 ∴△DOC∽△BOA,且 OA =2, 2→ 2 → → 2 1 → ∴AO=3AC=3(AD+DC)=3a+2b= 2 1 a + 3 3b.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

[总结反思] (1)用基底向量表示平面上其他向量的做 法是:先选择一组不共线的基底,通过向量的加、减、 数乘运算,把其他相关的向量用这一组基底表示出来, 有时还利用向量相等建立方程组,解出某些相关的值. (2)要熟练运用平面几何的一些性质定理.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示
→ =a, AD →= (1)在平行四边形ABCD中, AB )

变式题

→ =4MC → ,P为AD的中点,则MP → =( b,AM

考 点 互 动 探 究

4 3 4 13 A.5a+10b B.5a+10b 4 3 3 1 C.-5a-10b D.-4a-4b (2)[2014· 福建卷] 在下列向量组中,可以把向量a= (3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

[答案]

(1)C

(2)B

1→ 4→ 1 → → → [解析] (1)如图所示, MP= AP-AM = 2AD -5 AC =2
考 点 互 动 探 究

→ -4(AB → +BC → )=1b-4(a+b)=-4a- 3 b. AD 5 2 5 5 10

(2)由向量共线定理,选项A,C,D中的向量组是共 线向量,不能作为基底;而选项B中的向量组不共线,可 以作为基底,故选B.

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平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点二

平面向量的坐标运算

例2 已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(- 2,3).
考 点 互 动 探 究

→ +2BD → -3BC →; (1)求AD → =3 CA → , CN → =-2 BC → ,求 MN → 及M,N两点 (2)设 CM 的坐标.

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平面向量基本定理及坐标表示

→ ,BD → ,BC → 的坐标,然后进 [思路点拨] (1)直接计算AD 行运算;(2)根据向量的坐标相等列方程求点M,N的坐 标.
考 点 互 动 探 究

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:(1)∵A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2, 3),
考 点 互 动 探 究

→ =(-2-1,3+2)=(-3,5), ∴AD → =(-2-2,3-1)=(-4,2), BD → =(3-2,2-1)=(1,1), BC → +2BD → -3BC → =(-3,5)+2(-4,2)-3(1,1)= ∴AD (-3-8-3,5+4-3)=(-14,6).

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ =3CA → ,CN → =-2BC →, (2)∵CM → =CN → -CM → =-2BC → -3CA → =-2BC → +3AC →. ∴MN
考 点 互 动 探 究

→ =(2,4),BC → =(1,1), 由A,B,C三点坐标可得AC → =-2(1,1)+3(2,4)=(4,10). ∴MN 设M(xM,yM),N(xN,yN),O为坐标原点. → =3CA → ,∴OM → -OC → =-3AC →, ∵CM ∴(xM,yM)-(3,2)=-3(2,4)=(-6,-12). ∴xM=-3,yM=-10,即M(-3,-10). → =-2BC → ,∴ON → -OC → =-2BC →, 又CN ∴(xN,yN)-(3,2)=-2(1,1), ∴xN=1,yN=0,即N(1,0).
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

[总结反思] 向量的坐标运算主要利用加、减、数乘 的运算法则进行运算.解题过程中要注意方程思想的运 用及正确使用运算法则.
考 点 互 动 探 究

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

变式题

已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-

考 点 互 动 探 究

→ =a,BC → =b,CA → =c,且CM → =3c,CN → =-2b. 4).设AB (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; → 的坐标. (3)求M,N的坐标及向量MN

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平面向量基本定理及坐标表示

解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1, 8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)= (15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5), ? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ? ∴ 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. → =OM → -OC → =3c, (3)设O为坐标原点,∵CM → =3c+OC → =(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴OM → =ON → -OC → =-2b, ∴M(0,20).又∵CN → =-2b+OC → =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴ON → =(9,-18). ∴N(9,2),∴MN

考 点 互 动 探 究

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点三

平面向量共线的坐标表示

考 点 互 动 探 究

例3 (1)已知梯形 ABCD 中, AB∥CD, 且 DC=2AB, 三个顶点为 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D 的坐标 为________. π (2)[2014· 陕西卷] 设 0<θ<2, 向量 a=(sin 2θ, cos θ), b=(cos θ,1),若 a∥b,则 tan θ=________.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

[思路点拨] (1)根据向量共线列方程求相关点的坐 标;(2)根据向量共线求参数.
考 点 互 动 探 究

[答案]

(1)(2,4)

1 (2)2

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

[解析] (1)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,AB∥CD, → =2AB →. ∴DC 设点 D 的坐标为(x,y), → =(4-x,2-y),AB → =(1,-1), 则DC ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,- 2), ? ? ?4-x=2, ?x=2, ∴? 解得? 故点 D 的坐标为(2,4). ? ? ?2-y=-2, ?y=4, (2)因为向量 a∥b, 所以 sin 2θ-cos θ· cos θ=0, 又 cos 1 θ≠0,所以 2sin θ=cos θ,故 tan θ=2.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形 式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则“a∥b”的充要条 件是“x1y2-x2y1=0”;②若a∥b(a≠0),则b=λa. (2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平 行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实 数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

变式题 (1)[2014· 临沂重点中学月考] 如果向量 a= (k,1)与b=(4,k)共线且方向相反,则k=( ) A.±2 B.-2 C.2 D.0 (2)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( ) A.2 B.-2 C.-3 D.3

[答案]

(1)B

(2)C

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

考 点 互 动 探 究

[解析] (1)若a=(k,1)与b=(4,k)共线,则有k2=4, 得k=± 2.当k=2时,b=2a,方向相同,故舍去;当k=- 2时,b=-2a,方向相反. (2)a+b=(2,m+1),a∥(a+b),故-(m+1)-2= 0,解得m=-3.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

创新应用

2.向量坐标化在解题中的应用

→ 和OB →, 【典例】 给定两个长度为 1 的平面向量OA 2π 它们的夹角为 3 .如图 4253 所示, 点 C 在以 O 为圆心, → =xOA → +yOB →, 1 为半径的圆弧 AB 上运动. 若OC 其中 x, y∈R,求 x+y 的最大值.

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图 4253

[思路] 建立平面直角坐标系,求出A,B的坐标, 用三角函数表示出C的坐标,最后转化为三角函数求最 值.
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ 所在的直线为 x 轴建 【解析】 以 O 为坐标原点, OA 1 立平面直角坐标系,如图 4254 所示,则 A(1,0),B-2, 3 . 2 ? 2π? ? 设∠AOC=α α∈ 0, 3 ?,则 C(cos α,sin α), ? ?
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图 4254

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ =xOA → +yOB →, 由OC 1 ? ?cos α=x-2y, 得? ?sin α= 3y, 2 ? 3 ? ?x=cos α+ 3 sin α, 所以? ?y=2 3sin α, 3 ?
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π 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sinα+6. ? 2π ? π ? ? 又 α∈ 0, 3 ,所以当 α=3时,x+y 取得最大值 2. ? ?
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

[方法解读] 本题考查了平面向量基本定理,在求 解过程中转化为坐标运算,能起到简化运算的作用.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

【跟踪练习】

(1)如图4255所示,将两块斜边长相

→ 等的直角三角板ABC和直角三角板BDE拼在一起.若 AD → +yAC → ,则x=________,y=________. =xAB

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图4255

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

(2)如图4256所示,在四边形ABCD中,AB=BC= → =a, CD=1,且B=90°,∠BCD=135°,记向量 AB → =b,则AD → =( AC )

图4256
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2 A. 2a-1+ 2 b

2 B.- 2a+1+ 2 b 2 2 C.- 2a+1- 2 b D. 2a+1- 2 b
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示
[答案] 3 (1)1+ 2 3 2 (2)B

[解析] (1)方法一:以AB所在直线为x轴,以A为原点 建立平面直角坐标系(如图所示).

→ =(2,0), AC → =(0,2),过点D作 令AB=2,则 AB DF⊥AB交AB的延长线于点F.由题易得DF=BF= 3 ,则 → =(2+ 3 , 3).∵ AD → =xAB → +yAC → ,∴(2+ 3 , 3) AD
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3 ? ?x=1+ 2 , =(2x,2y),得? ?y= 3. 2 ?
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

方法二:过D点作DF⊥AB交AB的延长线于点F.由已 3 3→ → → → 知可求得BF=DF= 2 AB,∴ AD = AF + FD =1+ 2 AB 3→ 3 3 + 2 AC,∴x=1+ 2 ,y= 2 .

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

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(2)根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形, 由∠BCD =135°,得∠ACD=135°-45°=90°.以 B 为原点, BA 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,建立如图所示 的平面直角坐标系,并作 DE⊥y 轴于点 E,则△CDE 也 2 为等腰直角三角形. 由 CD=1, 得 CE=ED= 2 , 则 A(1, 2 2 → =( -1, 0),B(0,0),C(0,1),D( 2 ,1+ 2 ) ,∴AB 2 2 → → 0),AC=(-1,1),AD=( 2 -1,1+ 2 ).

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ =λAB → +μAC →, 令AD 2 2 则 2 -1,1+ 2 =(-λ,0)+(-μ,μ), 2 ? λ =- 2, ?-λ-μ= 2 -1, ? ? 则? 得? 2 μ=1+ , ? ?μ=1+ 2, 2 ? 2 ? 2 → ∴AD=- 2a+1+ 2 b.
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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

—— 教师备用例题 ——
【配例1使用】如图所示,在梯形ABCD中, 1 AD∥BC,且AD= 3 BC,E,F分别为线段AD与BC的中 → =a, BC → =b,试将a,b作为基底表示向量 EF →, 点.设 BA → ,CD →. DF 例1

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ =EA → +AB → +BF → =-1b-a+1b=1b-a, 解:EF 6 2 3 1 1 1 → → → DF=DE+EF=-6b+3b-a=6b-a, 1 1 2 → → → CD=CF+FD=-2b-6b-a=a-3b.

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示

例2 b).

【配例3使用】已知A(1,1),B(3,-1),C(a,

(1)若A,B,C三点共线,求a,b满足的关系式; → =2AB → ,求点C的坐标. (2)若AC

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第25讲

平面向量基本定理及坐标表示
→ =(2,-2),AC → =(a-1,b-1), 解:(1)由已知得AB → ∥AC →, ∵A,B,C三点共线,∴AB ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2. → =2AB → ,∴(a-1,b-1)=2(2,-2), (2)∵AC
? ? ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3.

∴点C的坐标为(5,-3).

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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 易 错 易 混 透 析
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第26讲 平面向量的数量积与 平面向量应用举例

考试大纲
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题.

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 知识聚焦 ——
1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a________ ||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a· b,并规定零向 量与任一向量的数量积为0.

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ是a与b的夹角. (1)e· a=a· e.
0 (2)a⊥b?a?b=________ . |a||b| (3)当a与b同向时,a· b=________ ;当a与b反向时, |a||b| a?b=- ________ ;特殊地,a· a=|a|2或|a|= a?a.

(4)cos θ =________. (5)|a· b|≤|a|· |b|.

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.向量数量积的运算律 (1)交换律:a· b=b· a. a· c+b· c. (2)分配律:(a+b)· c=________ (3)数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λ b).

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

4.平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+ y1y2,故a⊥b?x1x2+y1y2=0. (2)设a=(x,y),则|a|=________. (3)若两个非零向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)的夹角 a?b x1x2+y1y2 为θ,则cos θ = = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1? x2+y2

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 正本清源 ——
? 链接教材

1.[教材改编] 若向量a=(3,m),b=(2,-1),a· b= 0,则实数m的值为________.

[答案] 6
[解析] 由a· b=3?2+m?(-1)=0,解得m=6.

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.[教材改编] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a· b =2,则a与b的夹角为________.

π [答案] 3 a· b 1 π [解析] ∵cos〈a,b〉= =2,∴〈a,b〉=3. |a||b|

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.[教材改编] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b 的夹角为60°,则|a-b|=________.

[答案]

3
a2+b2-2a· b =

[解析] |a-b|= (a-b)2 = 12+22-2?1?2cos 60°= 3.

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

易错易混

4.与平面向量的数量积有关的易错点:投影;向量夹 角;运算律. 给出下列说法: ①向量b在向量a方向上的投影是向量; ②若a· b>0,则a和b的夹角为锐角,若a· b<0,则a和b 的夹角为钝角; ③(a· b)c=a(b· c); ④若a· b=0,则a=0或b=0. 其中正确的说法有________个.

[答案] 0

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] ①向量b在a方向上的投影是一个数量|b|cos θ ,它可以为正,可以为负,也可以为0. ②a?b>0与a和b的夹角为锐角不等价,a· b>0还包 含a和b同向的情况.同样a· b<0不仅包含a和b的夹角为 钝角的情况,还包含a和b反向的情况. ③由于(a· b)c表示一个与c共线的向量,a(b· c)表示一 个与a共线的向量,因此(a· b)c与a(b· c)不一定相等,故数 量积运算不满足结合律. ④a?b=0?|a||b|cos θ =0?|a|=0或|b|=0或cos θ =0,因此,若a· b=0,则a=0或b=0或a⊥b.

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

5.分类不全致错 → =(2,3), AC → =(1,k), 在直角三角形ABC中,已知 AB 则k的值为________.

2 11 3± 13 [答案] - 或 或 3 3 2

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] 当A=90°时, → ⊥ AC → ,∴AB → ?AC → =0,∴2?1+3k=0,解得k= AB 2 -3. → ⊥BC →, 当B=90°时,AB → =AC → -AB → =(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∵BC 11 → → ∴AB?BC=2?(-1)+3?(k-3)=0,解得k= 3 . → ⊥BC → ,∴1?(-1)+k(k-3)=0, 当C=90°时,AC 3± 13 即k -3k-1=0,∴k= 2 .
2

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基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

通性通法

6.与向量的数量积有关的运算:可转化为坐标形 式求解. 在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,若点 E在线段AB上运动,则 ________. → EC ? → EM 的取值范围是

[答案]

?1 3? ? , ? ?2 2?

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第26讲
基 础 自 主 梳 理

平面向量的数量积与平面向量应用举例

建立如图所示的平面直角坐标系,设E(x, 1 0),0≤x≤1.因为M1,2,C(1,1), → =1-x,1,EC → =(1-x,1), 所以EM 2 1 1 2 → → 所以 EM ? EC =1-x, 2 ?(1-x,1)=(1-x) + 2 .因 1 1 3 2 为0≤x≤1,所以2≤(1-x) +2≤2, ?1 3? → ?EC → 的取值范围是? , ?. 即EM ?2 2?

[解析]

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点一
例1

平面向量数量积的运算
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则

考 点 互 动 探 究

→ ?AC → 等于( AB ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 (2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的 → ? CB → 的值为________, DE → ? DC → 的最大值 动点,则 DE 为________.

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

→ , CB →作 [思路点拨] (1)∠C=90°,故可将向量 CA 为基底表示向量,或利用数量积的几何意义求解; (2)建立坐标系求向量的坐标,也可利用数量积的几 何意义.

[答案] (1)D (2)1 1

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ ? AC → =( CB → - CA → )· → )=- [解析] (1)方法一: AB (- CA → ?CA → +CA → 2=16. CB
考 点 互 动 探 究

→ 在 AC → 方向上的投影是AC,∴ AB → ? AC → 方法二:∵ AB → |2=16. =|AC → , AD → 的方向为x (2)方法一:以A为原点,分别以 AB 轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1). → =(t,-1), CB → =(0,- 设E(t,0),t∈[0,1],则 DE 1), → ?CB → =(t,-1)· 所以DE (0,-1)=1.

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ =(1,0),所以 DE → ? DC → =(t,-1)· 因为 DC (1,0)= t≤1, →· → 的最大值为1. 故DE DC
考 点 互 动 探 究

→ 在 CB → 方法二:由图可知,无论E点在哪个位置, DE 方向上的投影都是CB=1,

→ ?CB → =|CB → |2=1. ∴DE → 在DC → 方向上的投影最大,为 当点E运动到B点时,DE → ?DC → )max=|DC → |2=1. DC=1,∴(DE

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[总结反思] 求两个向量的数量积有三种方法:利用 定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.
考 点 互 动 探 究

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

变式题 (1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3, 2),则(a+2b)· c=( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 → |=3,| BC → |=4,| CA → |=5, (2)已知点A,B,C满足| AB → ?BC → +BC → ?CA → +CA → ?AB → 的值是________. 则AB

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] (1)C

(2)-25

考 点 互 动 探 究

[解析] (1)a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴ (a+2b)· c=(-5,6)· (3,2)=-3. (2)方法一:根据题意可得△ABC 为直角三角形, π 3 4 且 B=2,cos A=5,cos C=5, →· → +BC →· → +CA →· →= ∴AB BC CA AB →· → +CA →· → =4× BC CA AB 5cos(π-C)+5× 3cos(π-A)= 4 3 -20cos C-15cos A=-20× - 15× 5 5=-25.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ +BC → +CA → =0, 方法二:易知AB → 2+ BC → 2+ CA → 2+2( AB → ? BC →+ 将其两边平方可得 AB
考 点 互 动 探 究

→ ?CA → +BC → ?CA → )=0, AB → ?BC → +AB → ?CA → +BC → ?CA → =-1(AB → 2+BC → 2+CA → 2) 故AB 2 =-25.

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点二

向量的夹角与向量的模

? 考向一 平面向量的模
考 点 互 动 探 究

例 2 (1)[2014· 江西卷] 已知单位向量 e1,e2 的夹角 1 为 α, 且 cos α=3.若向量 a=3e1-2e2, 则|a|=________. (2)[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,O 为原点, → |=1, A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD → +OB → +OD → |的最大值是________. 则|OA

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思路点拨] (1)依据|a|= a2 ,再利用向量数量积公式 → + OB → + OD → ,再结合公 求解;(2)先用坐标表示出向量 OA 式求解向量的模.
考 点 互 动 探 究

[答案] (1)3 (2)1+ 7

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

[ 解 析 ] (1) 因 为 |a|2 = 9|e1|2 - 12e1· e2 + 4|e2|2 = 9× 1- 1 12× 1× 1× 1=9,所以|a|=3. 3+4× → |=1,得动点 D 在以 C 为圆心,半径为 1 的 (2)由|CD 圆上,故可设 D(3+cos α,sin α), 所以 OA+OB+OD=(2+cos α, 3+sin α),所以|OA + OB + OD|2 = (2 + cos α)2 + ( 3 + sin α)2 = 8 + 4cos α + 2 3sin α=8+2 7sin(α+φ), → +OB → +OD → |)2 → +OB → +OD → 所以(|OA 7, 即|OA max=8+2 |max= 7 +1.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[总结反思] (1)在数量积的基本运算中,经常用到数 量积的定义、模和夹角等计算公式,对|a|=
考 点 互 动 探 究

a·a 要引

起足够重视,它是求距离的常用公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联 系.在向量的运算中,灵活运用运算律,可达到简化运 算的目的.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

变式题 (1)[2014· 惠州调研] 已知向量p=(2,-3), q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为( ) A. 5 B. 13 C.5 D.13 1 (2)已知向量a,b都是单位向量,且a· b= 2 ,则|2a- b|的值为________.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] (1)B
[解析]
考 点 互 动 探 究

(2) 3

(1)p∥q?2?6+3x=0?x=-4?|p+q|=|(2, 4a2-4a· b+b2 =

-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|= 13. (2)|2a-b|= (2a-b)2 = 4-2+1= 3.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

? 考向二
例 3
考 点 互 动 探 究

平面向量的夹角
(1)[2014· 山东卷] 已知向量 a=(1, 3),b )

π =(3,m),若向量 a,b 的夹角为6,则实数 m=( A.2 C.0 3 B. 3 D.- 3

(2)[2014· 江西卷] 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α, 1 且 cos α=3, 向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β, 则 cos β=________.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思路点拨] (1)利用平面向量数量积公式的坐标表示求 解;(2)利用夹角公式求解.
考 点 互 动 探 究

2 2 [答案] (1)B (2) 3

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

3+ 3m π a· b 3 [解析] (1)由题意得 cos6= = ,即 2 = |a||b| 2 9+m2 3+ 3m ,解得 m= 3. 2 9+m2 (3e1-e2) a· b (3e1-2e2)· (2)cos β= = = |a||b| |3e1-2e2||3e1-e2| 2 9e1 -9e1· e2+2e2 2 2 2 2 2= 9e1-12e1· e2+4e2 9e1-6e1· e2+e2 1 9-9× +2 3 8 2 2 = = . 3 1 1 3× 2 2 9-12× +4· 9-6× +1 3 3
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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[总结反思] 解决向量的夹角问题时要注意方法的选 择,可以用定义法、坐标法以及图形法求解,在用定义 法求解的过程中要注意运算的准确率.
考 点 互 动 探 究

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

π (1)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 , 3 |a|=2,|b|=3,则 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值等于 ( ) 1 1 A.26 B.-26 1 1 C. D.- 12 12 (2)已知两单位向量 a,b 的夹角为 60° ,则两向量 p= 2a+b 与 q=-3a+2b 的夹角为________. 变式题

[答案] (1)B

(2)120°

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

[解析] (1)记向量 2a-b 与 a+2b 的夹角为 θ, 因为(2a π - b)2 = 4× 22 + 32 - 4× 2× 3× cos 3 = 13 , (a + 2b)2 = 22 + 4× 32 π +4× 2× 3× cos3=52,(2a-b)· (a+2b)=2a2-2b2+3a· b =8 (2a-b)· (a+2b) 1 -18+9=-1, 所以 cos θ= =-26, |2a-b||a+2b| 1 即向量 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值是-26.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

(2)p· q = (2a + b)· ( - 3a + 2b) =- 6a2 + a· b + 2b2 =- 7 2 2 6a +|a||b|cos 60° +2b =-2,|p|=|2a+b|= (2a+b)2 = 4a2+4ab+b2= 4a2+4|a||b|cos 60° +b2= 7,|q|=|-3a+2b|= (-3a+2b)2= 9a2-12ab+4b2= 9a2-12|a||b|cos 60° +4b2= 7, p· q 1 所以 cos 〈p,q〉= =- ,即 p 与 q 的夹角为 120° . 2 |p||q|

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

? 考向三互相垂直的平面向量
例4
考 点 互 动 探 究

→ 与AC → 的夹角为 120° → |=3, (1)已知向量AB , 且|AB

→ |=2.若AP → =λAB → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 |AC ________. (2)[2014· 湖北卷] 设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若 (a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=________.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ ⊥BC → 知AP → ?BC → =0,利用向量的 [思路点拨] (1)由AP 数量积公式求解;(2)先用坐标分别表示出向量a+λb,a -λb,再利用向量数量积公式,建立关于λ的方程,求出
考 点 互 动 探 究

λ.

7 [答案] (1)12

(2)± 3

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

→ ⊥ BC → 知 AP → ? BC → =(λ AB → + AC → )· →- [解析] (1)由 AP ( AC 1 2 2 → → → → → AB)=(λ-1)AB?AC-λAB +AC =(λ-1)?3?2?- - 2 7 λ?9+4=0,解得λ=12. (2)因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+ λ), 又(a+λb)⊥(a-λb), 所以(a+λb)· (a-λb)=(3+λ)(3-λ )+(3-λ)(3+λ)= 0,解得λ=± 3.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

[总结反思] 在计算数量积时要注意方法的选择:一 种方法是把两个向量的坐标求出来,再计算数量积;另 一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算,将其 转化为简单的向量数量积的计算.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例
变式题

考 点 互 动 探 究

已知向量 a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=(cos π π (2-θ) ,sin(2-θ) ). (1)求证:a⊥b; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t, 使 x=a+(t2+3)b, y k+t2 =-ka+tb 满足 x⊥y,试求此时 t 的最小值.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

π π 解: (1)证明: ∵a· b=cos(-θ)· cos(2-θ)+sin(-θ)· sin(2 -θ)=sin θcos θ-sin θcos θ=0, ∴a⊥b. (2)由 x⊥y,得 x· y=0, 即[a+(t2+3)b]· (-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a· b=0, ∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0. 又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,即 k=t3+3t, k+t2 t3+t2+3t 2 12 11 ∴ t = = t + t + 3 = t + + . t 2 4 k+t2 1 11 故当 t=- 时, t 取到最小值 . 2 4

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点三
例5 0<α<π.

平面向量与三角函数的综合

已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α),且

考 点 互 动 探 究

→ +OC → |= 7,求OB → 与OC → 的夹 (1)O 为坐标原点,若|OA 角; → ⊥BC → ,求 tan α 的值. (2)若AC

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思路点拨] (1)根据已知条件求出 cos α, 然后利用各角 的关系求解;(2)根据已知条件得到三角关系,化简求解.
考 点 互 动 探 究

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平面向量的数量积与平面向量应用举例
→ +OC → |= 7, 解:(1)因为|OA 1 所以(2+cos α) +sin α=7,解得 cos α=2. π 因为 α∈(0,π),所以 α=∠AOC=3. π → 与OC → 的夹角为π. 又因为∠AOB=2,所以OB 6 → =(cos α-2,sin α),BC → =(cos α,sin α-2). (2)AC → ⊥BC → ,所以AC →· → =0, 因为AC BC 1 所以 cos α+sin α= ,① 2 1 所以(cos α+sin α)2=4, 3 所以 2sin αcos α=-4,
2 2

考 点 互 动 探 究

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
π 又因为 α∈(0,π),所以 α∈ ,π. 2

考 点 互 动 探 究

7 因为(cos α-sin α) =1-2sin αcos α=4,cos α-sin 7 α<0,所以 cos α-sin α=- 2 .② 1- 7 1+ 7 由①②得 cos α= 4 ,sin α= 4 , 4+ 7 所以 tan α=- . 3
2

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

[总结反思] 向量与三角函数的交汇问题是高考最常 见的题型之一,利用向量运算进行转化,化归为三角函数 问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法.以向 量为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定 理、面积公式的应用.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

变式题 设向量 a=(4cos α, sin α), b=(sin β, 4cos β), c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考 点 互 动 探 究

解: (1)因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a· (b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)- 8cos(α+β)=0, 因此 tan(α+β)=2. (2)由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得 |b+c|= (sin β+cos β)2+(4cos β-4sin β)2= 17-15sin 2β≤4 2, π 当 β=kπ- (k∈Z)时,等号成立. 4 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明:由 tan αtan β=16, 4cos α sin α 得 sin β =4cos β,所以 a∥b.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

误区警示

10.处理向量夹角问题时的易错点

【典例】设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1, e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为 钝角,求实数t的取值范围.

易 错 易 混 透 析
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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
1 因为e1·e2=|e1||e2|cos 60°=2?1? 2 =

【解析】 1,

易 错 易 混 透 析

2 2 所以(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 1+7te2+(2t +7)e1·e2= 8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.因为向量2te1+7e2与向量e1+ te2的夹角为钝角,所以(2te1+7e2)· (e1+te2)<0, 1 2 即2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2 ①当向量2te1+7e2与向量e1+te2反向时, 设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,

? ?2t=λ, 则? ?2t2=7?t=- ? ?λt=7

14 14 或t= . 2 2

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
因为向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角, 14 所以t≠± 2 , 14 14 1 故t的取值范围为(-7,- 2 )∪(- 2 ,-2).

易 错 易 混 透 析
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[易错点析] 由向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为 钝角,可得(2te1+7e2)· (e1+te2)<0,①处易忽略共线反向 的情况导致出错.

易 错 易 混 透 析
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

【跟踪练习】 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 1,则 → ?BC → +BC → ?CA → +CA → ?AB → 的值是________. AB (2)已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i +λj, 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数λ 的取值范围是( ) 1 A.(-∞,-2)∪(-2,2) 1 B. (2,+∞) 2 2 C.(-2, )∪( ,+∞) 3 3 1 D.(-∞,2)
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易 错 易 混 透 析

第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

易 错 易 混 透 析

3 [答案] (1)-2 (2)A → ? BC → + BC → ? CA → + CA → ? AB → = | AB → || BC → |cos [解析 ] (1) AB 1 1 1 → → → → 120°+|BC||CA|cos 120°+|CA||AB|cos 120°=- - - 2 2 2 3 =-2. (2)a 与 b 的夹角为锐角等价于 a· b>0 且 a 与 b 的方向 不相同.当 a· b>0 时,有(i-2j)· (i+λj)=1-2λ>0,得 λ 1 <2, 又当 λ=-2 时, i-2j 与 i+λj 方向相同, 所以λ ∈(- 1 ∞,-2)∪(-2,2).

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 教师备用例题 ——
【配例1使用】如图所示,在平面四边形ABCD → + DC → )· → + BD → )= 中,若AC=3,BD=2,则( AB ( AC ________. 例1

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] 5

→ =AC → +CB → ,DC → =DB → +BC →, [解析] 由于AB → +DC → =AC → +CB → +DB → +BC → =AC → -BD →, 所以AB → +DC → )· → +BD → )=(AC → -BD → )· → +BD → )=|AC → |2 故(AB (AC (AC → |2=9-4=5. -|BD

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

例2 【配例2使用】已知a=(3,4),b=(4,3),求 x,y的值,使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

解:由a=(3,4),b=(4,3),得xa+yb=(3x+4y, 4x+3y). (xa+yb)⊥a?(xa+yb)· a=0?3(3x+4y)+4(4x+3y)= 0,即25x+24y=0.① 又|xa+yb|=1,所以|xa+yb|2=1, 即(3x+4y)2+(4x+3y)2=1, 整理得25x2+48xy+25y2=1, 即x(25x+24y)+24xy+25y2=1.② 由①②得24xy+25y2=1,③ 5 将①变形代入③可得y=± 7, 24 ? 24 ? ?x=35, ?x=-35, 所以? 或? 5 ?y=- ?y=5. 7 ? ? 7
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

例 3 【配例 4 使用】设 i,j 是互相垂直的单位向量, 向量 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,若(a+b)⊥(a-b), 则实数 m 的值为( ) A.-2 B.2 1 C.-2 D.不存在

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] A

[解析] 分别以 i,j 方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平 面直角坐标系,则由题易知 a=(m+1,-3),b=(1,m- 1),∴a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-m-2). ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0, ∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0, 解得 m=-2.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

例 4 【配例 5 使用】[2014· 泰州期末] 已知向量 a =(cos λθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ,θ∈ R. (1)求|a|2+|b|2 的值; (2)若 a⊥b,求 θ; π (3)若 θ=20,求证:a∥b.

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第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

解:(1)∵|a|= cos2λθ+cos2(10-λ)θ, |b|= sin2(10-λ)θ+sin2λθ,∴|a|2+|b|2=2. (2)∵a⊥b,∴a· b=0, ∴cos λθ· sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ· sin λθ=0, ∴sin[(10-λ)θ+λθ]=0,即 sin 10θ=0, kπ ∴10θ=kπ,k∈Z,∴θ= ,k∈Z. 10 π (3)证明:∵θ=20, ∴ cos λθ· sin λθ - cos(10 - λ)θ· sin[(10 - λ)θ] = λπ λπ π λπ π λπ λπ λπ cos 20 · sin 20 - cos 2 - 20 · sin 2 - 20 = cos 20 · sin 20 - λπ λπ sin20· cos20=0,∴a∥b.
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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 易 错 易 混 透 析
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第27讲 数系的扩充与复数的 引入

考试大纲
1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

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第27讲
基 础 自 主 梳 理

数系的扩充与复数的引入

—— 知识聚焦 ——
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的 实部和________ .若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi 虚部 a=0且b≠0 为虚数;若___________ ,则a+bi为纯虚数.
a=c且b=d (2)复数相等:a+bi=c+di?________

(a,b,c,

d∈R). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭?________________(a, b,c,d∈R). (4)复数的模 → =(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模, 向量 OZ 2 2 a + b 记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=________.
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a=c,b=-d

第27讲
基 础 自 主 梳 理

数系的扩充与复数的引入

2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
→ OZ 平面向量________.

(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (a+c)+(b+d)i ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=________________ ; (a-c)+(b-d)i ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=________________ ; (ac-bd)+(ad+bc)i ③乘法:z1?z2=(a+bi)· (c+di)=________________ ; z1 a+bi (a+bi)(c-di) ac+bd bc-ad ④除法: z = = = 2 2+ 2 c + d i ( c + d i )( c - d i ) c + d c +d2 2 i(c+di≠0).

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数系的扩充与复数的引入

(2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意 z1,z2,z3∈ z1+(z2+z3) . z2+z1 ,(z1+z2)+z3=________ C,有 z1+z2=________

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—— 正本清源 ——
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1.[教材改编] 复数z= 2+i的共轭复数为________.

[答案]

2-i

[解析] ∵z= 2+i,∴z= 2-i.

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2.[教材改编] ________.

设i为虚数单位,则复数

3+4i i



[答案]

4-3i

3+4i (3+4i)i 3i-4 [解析] = = =4-3i. i i2 -1

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数系的扩充与复数的引入

3.[教材改编] 已知z=(a-i)(1+i)(a∈R,i为虚数单 位),若复数z在复平面内对应的点在实轴上,则a= ________.

[答案]

1

[解析] z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,∵z在复平 面内对应的点在实轴上,∴a-1=0,得a=1.

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数系的扩充与复数的引入

4.[教材改编] ________.

设(1+2i)z=3-4i(i为虚数单位),则|z|=

[答案]

5

[解析] 由已知,得|(1+2i)z|=|3-4i|, 即 5|z|=5,∴|z|=|z|= 5.

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数系的扩充与复数的引入

?

易错易混

5.复数的概念:复数为实数. m(m+2) 已知m∈R,复数z= +(m2+2m-3)i是实 m-1 数,则m的值为________.

[答案] -3

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[解析]

2 ? m ? +2m-3=0, 由z∈R,得? 解得m=-3. ? m - 1 ≠ 0 , ?

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数系的扩充与复数的引入
通性通法

?

6.掌握复数运算中常用的几个结论 在进行复数的运算时,记住以下结论,可提高计算 速度. 1+i 1-i (1)(1± i) =________; =________; = 1-i 1+i
2

________. (2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+ 1 +i4n+2+i4n+3=________,n∈N*.

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[答案]

(1)± 2i

i

-i

(2)0

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?

探究点一
例1

复数的有关概念
(1)[2014· 安徽江南十校联考] ) 若a+bi=

考 点 互 动 探 究

5 (i是虚数单位,a,b∈R),则ab=( 1+2i A.-2 B.-1 C.1 D.2

(2)[2014· 江苏卷] 已知复数z=(5-2i)2(i为虚数单 位),则z的实部为________.

[思路点拨] (1)利用复数相等求解;(2)先将复数z化为z =a+bi(a,b为实数)的形式,实部即为a.

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[答案]

(1)A

(2)21

考 点 互 动 探 究

5 [解析] (1)a+bi= =1-2i,所以a=1,b=-2, 1+2i ab=-2. (2)根据复数的乘法运算公式知,z=(5-2i)2=52- 2?5?2i+(2i)2=21-20i,故实部为21,虚部为-20.

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考 点 互 动 探 究

[总结反思] 解决复数概念问题的方法及注意事项: (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复 数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为a +bi(a,b∈R)的形式,列出实部和虚部满足的方程(不等 式)组即可; (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 式,以确定实部和虚部.

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考 点 互 动 探 究

变式题 (1)[2014· 湖北八校联考] 设x∈R,则“x= 1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设复数 ________. i-1 1+ i =a+bi(a,b∈R),则a+b=

[答案]

(1)C

(2)1

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[解析] (1)由纯虚数的定义知

2 ? ?x -1=0, ? 解得x=1, ? ?x+1≠0,

考 点 互 动 探 究

故为充分必要条件. i-1 (1-i)2 2i (2)由 =- = 2 =i,得a=0,b= 1+i (1+i)(1-i) 1,所以a+b=1.

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?

探究点二

复数的几何意义

例2 (1)如图4271所示,在复平面内,点A表示 复数z,则图中z的共轭复数对应的点是( )
考 点 互 动 探 究

图4271 A.A B.B C.C D.D (2)[2014· 郑州质检] 复数z1=3+i,z2=1-i,则z= z1 的共轭复数在复平面内对应的点位于( z2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

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第27讲

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[思路点拨] 复数与复平面内的点一一对应.

考 点 互 动 探 究

[答案]

(1)B

(2)D

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考 点 互 动 探 究

[解析] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则a<0,b>0,z的共 轭复数为a-bi,其中a<0,-b<0,故对应的点为B点. 3+i (3+i)(1+i) 2+4i (2)z= = = 2 =1+2i,因此 1-i (1-i)(1+i) z1 复数z= 的共轭复数1-2i在复平面内对应的点的坐标是 z2 (1,-2),该点位于第四象限.

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考 点 互 动 探 究

→ 是一 [总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ 一对应的. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关 系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题 时运用数形结合的方法,可使问题的解决更加直观.

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考 点 互 动 探 究

变式题 (1)已知i是虚数单位,z=1+i,z为z的共轭复 z2 数,则复数 z 在复平面上对应的点的坐标为________. (2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们 → =λ OA → +μ OB → 在复平面上对应的点分别为A,B,C,若 OC (O为坐标原点,λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.

[答案]

(1)(-1,1)

(2)1

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考 点 互 动 探 究

(1+i) z2 2i [解析] (1)z=1+i,则 z = = = 1-i 1-i 2i(1+i) =-1+i, (1-i)(1+i) z2 故复数 z 在复平面上对应的点的坐标为(-1,1). → =(3,-4), OA → =(-1,2), OB → = (2)由条件得 OC (1,-1), → =λ OA → +μ OB → ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1, 由 OC -1)=(-λ+μ,2λ-μ), ? ? ?-λ+μ=3, ?λ =-1, ∴? 解得? ∴λ +μ=1. ? ? 2 λ - μ =- 4 , μ = 2 , ? ?
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2

第27讲

数系的扩充与复数的引入

?

探究点三
例3

复数的运算
(1)[2014· 安徽卷] 设i是虚数单位, - z 表示

考 点 互 动 探 究

z 复数z的共轭复数.若z=1+i,则 i +i?- z =( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 1 (2)[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设z= +i,则|z|= 1+i ( ) 1 2 3 A. B. C. D.2 2 2 2

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[思路点拨] (1)复数z=1+i的共轭复数为1-i,结合复 数的运算法则进行计算;(2)将分子、分母同乘分母的共 轭复数,化简z,再求模.
考 点 互 动 探 究

[答案]

(1)C

(2)B

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数系的扩充与复数的引入

z [解析] (1)因为z=1+i,所以 +i?z=(-i+1)+i+1 i =2.
考 点 互 动 探 究

1-i 1 1 1 2 (2)z= +i= 2 +i=2+2i,则|z|= 2 . 1+i

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第27讲

数系的扩充与复数的引入

[总结反思] 复数的加法、减法、乘法运算可以类比 多项式的运算,除法运算的关键是分子与分母同乘分母 的共轭复数,解题时要把i的幂写成最简形式.
考 点 互 动 探 究

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第27讲

数系的扩充与复数的引入

考 点 互 动 探 究

变式题 (1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位), 则z的共轭复数z为( ) A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i (2)设复数z的共轭复数为z,若z=1-i(i为虚数单位), z 2 则z+z 的值为( ) A.-3i B.-2i C.i D.-i

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数系的扩充与复数的引入

[答案]

(1)D (2)D

考 点 互 动 探 究

5 [解析] (1)由(z-3)(2-i)=5,得z=3+ =3+ 2-i 5(2+i) =3+2+i=5+i,所以z=5-i. (2-i)(2+i) 2 ( 1 + i ) z 2 1+i (2) z +z = +(1-i)2= -2i=i- 1-i (1-i)(1+i) 2i=-i.

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第27讲
?

数系的扩充与复数的引入

误区警示

11.对复数的概念理解不清致误

【典例】设i为虚数单位,则(1+i)5的虚部为 ________.

【答案】

-4

【解析】
易 错 易 混 透 析

因为(1+i)5=(1+i)4(1+i)=(2i)2(1+i)=

-4(1+i)=-4-4i,所以 ①它的虚部为-4 .

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第27讲

数系的扩充与复数的引入

【易错点析】处理复数的基本概念问题,关键是找 准复数的实部和虚部,①处往往由于对虚部的概念理解 不准导致出错.

易 错 易 混 透 析
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第27讲

数系的扩充与复数的引入

1 1 【跟踪练习】 (1)复数 + 的虚部是( -2+i 1-2i 1 1 A.5i B.5 1 1 C.-5i D.-5 a-i (2)已知a是实数, 是纯虚数,则a=( 1+i
易 错 易 混 透 析

)

)

A.1 C. 2

B.-1 D.- 2

(3)设复数z满足|z|=|z-1|=1,则复数z的实部为 ________.

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数系的扩充与复数的引入

[答案]
[解析] (1)∵

(1)B

(2)A

1 (3) 2

1 1 1 1 1 + =- + i,∴虚部为 . 5 5 5 -2+i 1-2i a-i (a-i)(1-i) a-1 a+1 (2) = = 2 - 2 i是纯虚数, 1+i (1+i)(1-i) a- 1 a+1 则 2 =0且 2 ≠0,故a=1. (3)设z=a+bi(a,b∈R),∵复数z满足|z|=|z-1|=
易 错 易 混 透 析

1,
? ? ∴? ? ?

1 解得a=2, 2 2 (a-1) +b =1, 1 ∴复数z的实部为2.
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a2+b2=1,

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数系的扩充与复数的引入

—— 教师备用例题 ——

m2-7m+6 例1 【配例1使用】已知复数z= +(m2 2 m -1 -5m-6)i(m∈R),试求实数m分别取什么值时,z分别为 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.

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数系的扩充与复数的引入

解:(1)当z为实数时, 2 ? ?m -5m-6=0, ? ?m=-1或m=6, 有? 2 得? ? ? 1, ?m -1≠0, ?m≠± 所以m=6,即当m=6时,z为实数. 2 m -7m+6 2 (2)当z为虚数时,m -5m-6≠0且 有意 m2-1 义,所以m≠-1且m≠6且m≠1, 即当m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞) 时,z为虚数.

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数系的扩充与复数的引入

?m2-5m-6≠0, ? 2 (3)当z为纯虚数时,有?m -7m+6 =0, 2 ? m - 1 ? ? ?m≠-1且m≠6, 所以? 故不存在实数m使z为纯虚数. ? 1, ?m=6且m≠±

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数系的扩充与复数的引入

例2 【配例2使用】平行四边形OABC如图所示, 顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试 求: → ,BC → 所对应的复数; (1)AO → 所对应的复数; (2)对角线CA (3)B点对应的复数.

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数系的扩充与复数的引入

→ =- OA → =(-3,-2),所以 AO → 所对应的复数为- 解:(1) AO 3-2i. → =AO → ,所以BC → 所对应的复数为-3-2i. 因为BC → = OA → - OC → =(3,2)-(-2,4)=(5,-2),所以 CA →所 (2) CA 对应的复数为5-2i. → =OA → +AB → =OA → +OC → =(1,6),所以OB → 对应的复数为 (3)OB 1+6i, 即B点对应的复数为1+6i.

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数系的扩充与复数的引入

(-1+i)(2+i) 例3 【配例3使用】计算:(1) ; i3 (1+2i)2+3(1-i) 1-i 1+i (2) ;(3) + ; 2+i (1+i)2 (1-i)2 1- 3i (4) . ( 3+i)2

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数系的扩充与复数的引入

(-1+i)(2+i) -3+i 解:(1) = =-1-3i. i3 -i (1+2i)2+3(1-i) -3+4i+3-3i i (2) = = = 2+i 2+i 2+i i(2-i) 1 2 = + i. 5 5 5 1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + = + =-1. 2i 2 (1+i)2 (1-i)2 -2i -2 1- 3i ( 3+i)(-i) -i (4) = = = ( 3+i)2 ( 3+i)2 3+i (-i)( 3-i) 1 3 =- - i. 4 4 4

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