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2016延庆一模数学文


延庆区 2015—2016 学年度一模统一考试 高三数学(文科)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 2016 年 3 月

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B

? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
2





A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 0 或 x ? ?1} D. {x | 0 ? x ? 2}

2.复数

2i ? 1? i A. 1 ? i


B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ? 1 ? i



3.已知两条直线 a , b 和平面 ? ,若 a ? b, b ? ? ,则“ a ? ? ”是“ b / /? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
开始



4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
俯 视 图 (4 题图) 2 正(主)视图 1 1 1 1 侧(左)视图





i ? 0, a ? 0

a ? 2a ? 1
i??
是 输出 否

i ? i ?1

a
(5 题图)

结束

5.若执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为 15 ,则判断框应填写 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5





6.已知双曲线的离心率 e ? A. 6

5 ,且焦点到渐近线的距离为 4 ,则该双曲线实轴长为( 3 B. 5 C. 4 D. 3
( )



7.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,则下面说法中不正确 的是 ... A. ?an?2 ? an ? 是等比数列 C.对于 n ? ? ,都有 an an?2 ? 0
? ? B.对于 k ? ? , k ? 1 , ak ?1 ? ak ?1 ? 2ak

D.若 a2 ? a1 ,则对于任意 n ? ? ,都有 an?1 ? an

?

8.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%) 的折线统计图, 据该市统计局初步核算,2015

增长率/%

年一季度全区生产总值为 1552 . 38 亿元,与去年同一时期相比增长 12 . 9%(如图,折线图中 其它数据类同).根据统计图得出正确判断是 A.近三年该市生产总值为负增长 B.近三年该市生产总值为正增长 C.该市生产总值 2013 年到 2014 年为 负增长,2014 年到 2015 年为正增长 D.以上判断都不正确 ( )

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (2, m) 到焦点的距离为 3 ,则 p ? 10. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, A ? 30 , cos B ?
?

.

4 , b ? 2 ,则 a ? 5



11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a ? (1, 2) , a ? 12.已知 ?

?

?

1? ? ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? 2




?x ? y ? 5 ,则 z ? x ? 4 y 能取得最 ?x ? 2 y ? 3

(大或小)值为
频率 组距

13.在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个 长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数, 若样本容量为 1600, 则中间一组(即第五组)的 频数为 .

样本数据

14. 已知偶函数 f ( x ) ,奇函数 g ( x) 的图像分别如图( 1) 、图(2)所示,若 f ( y0 ) ? 0 且

y0 ? g ( x0 ) ,则 x0 的值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? . 2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)当 x ? [ ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值. 12 12

? 5?

16.(本小题满分 13 分) 在一次水稻试验田验收活动中,将甲、乙两种水稻随机 抽取各 6 株样品,单株籽粒数制成如图所示的茎叶图: (Ⅰ)运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数 更稳定一些?(不需说明理由)

甲 8 16



9 6 17 1 5 8 6 18 2 4 6 5 19 4

(Ⅱ)一粒水稻约为 0.1 克,每亩水稻约为 6 万株,估计甲种水稻亩产约为多少公斤? (Ⅲ)分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株,甲品种中选出的籽粒数记为 a ,乙品种中选 出的籽粒数记为 b ,求 a ? b 的概率. 17.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 S ? ABCD ,底面 ABCD 是边长为 2 的棱形, ?ABC ? 60? ,侧面

SAD 为正三角形,侧面 SAD ? 底面 ABCD ,
M 为侧棱 SB 的中点, E 为线段 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: SD / / 平面 MAC ; (Ⅱ)求证: SE ? AC ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? ABC 的体积. 18.(本小题满分 13 分) 数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,数列 {bn } 满足 bn ? an?1 ? (?1)n an , n ? N .
*

(Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列, an ? 32 ,求项数 n 的值; (Ⅱ)若数列 {bn } 是常数列,求数列 {an } 的前 2016 项的和 S2016 .

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m ? 0 ,讨论函数 g ( x) ?

f ( x) ? m 零点的个数. x2

20.(本小题满分 14 分)

3 x2 y 2 . ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率 e ? a 2 b2 2 (Ⅰ)求椭圆 G 的方程;
已知椭圆 G : (Ⅱ)设过椭圆 G 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 G 的另一个交点为 B ,与 x 轴交于点 C ,线 段 AB 的中点为 D ,线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 P 、 Q 两点. 问:是否存 在直线 l 使 ?PDC 与 ?POQ 的面积相等( O 为坐标原点)?若存在,求出所有满足条件的 直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
A

y

D

C
B

P

O

Q

x


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