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高中数学课件-函数概念与基本初等函数


第 2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.5 函数与方程 2.5.1 函数的零点

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1. 能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二
次方程根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的 联系.
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2.掌握零点存在的判定定理,会求简单函数的零点.
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.

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1.函数零点的概念.

f(x)=0 成立的实数 x 叫做 对于函数 y=f(x)(x∈D), 把使____________ 零点 函数 y=f(x)(x∈D)的____________ .
? 1 ? ?- ,0? 例如:y=2x+1 的函数图象与 x 轴的交点为____________ ,栏 ? 2 ?
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1 - 有一个零点是____________ . 2

二次函数 y=x2-x-2 函数图象与 x 轴的交点为

(-1,0),(2,0) -1与2 . _________________ ,有两个零点是__________

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实数根 ,亦即 2. 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的____________ 横坐标 . 函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的____________
例如:已知函数 f(x)的零点为 x=3,则方程 f(x)=0 的实数根

x=3 , 亦即 函数 y = f(x) 的 图象与 x 轴交 点的横 坐标 为 栏 为 ________

3 . ______
实数根 ?函数 y= f(x)的图象与 x 轴有 3.方程 f(x)= 0 有 ________
________ 交点 ?函数 y=f(x)有________ 零点 .

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4.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,

(a,b) 内有零点. 并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在________ < 例如: 二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象: f(-2) · f(1)________0( 填

(-2,1) 零点 . “<”或“>”).在区间______ 上有________
5.零点是“数”,而不是“点”,如函数 f(x)=3x-2 的零点是
?2 ? 2 ,而不是?3,0?. 3 ? ?

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一、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
结合二次函数的图象及零点的定义可知,二次函数 y=ax2+bx +c(a≠0)的零点就是相应方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,也是相应 不等式 ax2+bx+c≥0(a≠0)或 ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集的端点.
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二、零点的存在性的判断
1.判断方程在某区间内是否有解,主要依据有两点,一是该方 程相应的函数在区间内是否连续;二是在区间端点处函数值是否异 号.即连续函数在区间端点处函数值异号,则相应方程在区间内一 定有解,如若同号,则无法确定是否有解. 2.若 f(x)满足零点存在定理, 只能说明 f(x)在(a,b)上至少有 一个零点,不能具体判断零点的个数.
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3.零点存在定理的逆定理不成立,即若 f(x)在(a,b)上 有零点,不一定有 f(a)f(b)<0.如 f(x)=x2-1 在(-2,2)上有零 点,1 和-1,但 f(-2)f(2)=9>0.
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题型一

求函数的零点

例1

求下列函数的零点.

(1)f(x)=-x2-2x+3; (2)f(x)=x4-1.
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分析:根据函数零点与相应方程的根之间的关系,就是求该 函数相对应的方程的根. 解析:(1)由于 f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方 程-x2-2x+3=0 的两根是-3,1,故函数的零点是-3,1; (2)由于 f(x)=x4- 1=(x2+1)(x+ 1)(x- 1),所以方程 x4-1 =0 的实数根是-1,1,故函数的零点是-1,1. 点评:函数零点的求法:解方程 f(x)=0,所得实数解就是 f(x)的零点.
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变式 训练

1. 观察下图的四个函数图象,指出在区间 (- ∞,0)内,方程 fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解,请说 明理由.
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变式 训练

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变式 训练

解析: f1(x)=0 和 f2(x)=0 在区间(-∞, 0)内有解. 因 为 y=f1(x)与 y=f2(x)的图象与 x 轴的负半轴有交点.
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例 2 函数 y=-x2+2x+8, 使 y<0 的 x 的取值范围 是__________.

解析:由-x2+2x+8=0 可得:x1=4,x2=-2, ∴y<0 的 x 的取值范围为 x>4 或 x<-2. 答案:{x|x>4 或 x<-2} 点评:函数的零点即为相应方程的根,也是相应 不等式解集的端点.
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变式 训练

2 . 不 等 式 x2 + 5x + 4<0 的 解 集 是
{x|-4<x<-1} . __________
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题型三
例3

幂函数的单调区间的求解
二次函数 y=ax2+bx+c 中,a· c<0,则函 )
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数的零点个数是(

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.无法确定

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解析:由已知 a· c<0,故判别式 Δ=b2-4ac>0, ∴函数必有 2 个零点. 答案:B 点评:判断二次函数 f(x)的零点个数,就是判断一元 二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的实根个数,一般通过判别式 Δ>0,Δ=0,Δ<0 完成.
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变式 训练

3.函数f(x)= ( ) A. 0 B. 1

x

1 2

- ?1?

x
的零点个数为

? ? ?2?

C.2

解析:画出y= 点. 答案:B

x

1 2

?1? 和 y= ? ? ?2?

D. 3 x
的图象,它们只有一个交

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题型三

函数零点存在性的判断

例4 为什么?

函数 f(x)=3x-x2 在区间[-1,0]内有没有零点?

分析:给定区间端点的函数值异号,且函数在该区间内是连续的,则一 定存在零点. 2 解析:因为 f(-1)=- <0,f(0)=1>0,函数 f(x)=3x-x2 的图象是连续 3 的,所以 f(x)在区间[-1,0]内有零点. 点评 :连续函数在区间端点函数值异号,则函数在该区间内一定有零 点.若在区间端点处函数值同号,则函数在该区间内也可能有零点.
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变式 训练

9 4. 函数 f(x)= lg x- x的零点所在的大致区间是 ( D ) A.(6,7) B.(7,8)
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C.(8,9)

D.(9,10)

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