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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 理


第九章 平面解析几何

§9.3 圆的方程

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.圆的定义 在平面内,到 定点 的距离等于定长 的点的集合 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 . 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 (a,b) 为圆心, r 为半径. 4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是
2 2 ? ? D E D + E - 4F ? ? ?- ,- ? 2 2 ? ,半径r=_______________. ? ___________ 2
答案

D2+E2-4F>0,其中圆心为

5.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;

(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.

6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) x0-a)2+(y0-b)2=r2 (1)点在圆上:( __________________ ; (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ; (2)点在圆外: __________________
2+(y -b)2<r2 ( x - a ) (3)点在圆内: __________________. 0 0

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )

(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)
+(y-y1)(y-y2)=0.( √ )

(3) 方程Ax2+Bxy+ Cy2+ Dx +Ey+ F =0 表示圆的充要条件是 A =C≠0 , B
=0,D2+E2-4AF>0.( √ )

(4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.( × )
答案

(5)圆 x +2x+y +y=0
2 2

? 1? ? 的圆心是?1,2? ?.( ? ?

× )

2 (6)若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则 x2 + y 0 0+Dx0+Ey0

+F>0.( √ )

答案

2

考点自测

(2,-3) 1.(教材改编)x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是__________.

解析

圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0

? D E? ? ? 的圆心为?- 2 ,- 2 ?, ? ?

∴圆x2+y2-4x+6y=0的圆心为(2,-3).

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解析答案

2 -2<a<3 2 2 2 2.方程x +y +ax+2ay+2a +a-1=0表示圆,则a的取值范围是_______.
解析 由题意知a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,

2 解得-2<a<3.

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解析答案

(x-1)2+(y-1)2=2 3.(2015· 北京改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是_________________.

解析

∵圆的半径 r= 12+12= 2,

∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

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解析答案

4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方
2+y2=10 ( x - 2) 程为______________.

解析

设圆心坐标为C(a,0),

∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上, ∴CA=CB,

即 ?a+1?2+1= ?a-1?2+9,
解得a=2, ∴圆心为C(2,0),

半径 CA= ?2+1?2+1= 10,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
1 2 3 4 5
解析答案

5.(2015· 湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点 T(1,0),与y轴正半轴交于两 点A,B(B在A的上方),且AB=2. 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) =2; (1)圆C的标准方程为__________________

解析

由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),
?AB? ?2 2 =? + 1 =2,解得 ? ? 2 ? ?

则r

2

r= 2.

所以圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 2)2=2.

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解析答案

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.

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解析答案

题型分类 深度剖析

题型一

求圆的方程

例1 根据下列条件,求圆的方程.
(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;

解析答案

(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)(2014· 陕西)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则

x2+(y-1)2=1 圆C的标准方程为______________.
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1),半径为1,

所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.

解析答案

(2) 过 点 A(4,1) 的 圆 C 与 直 线 x - y - 1 = 0 相 切 于 点 B(2 , 1) , 则 圆 C 的 方 程 为 (x-3)2+y2=2 ______________. 解析 由已知kAB=0, ① ②

所以AB的中垂线方程为x=3. 过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,
?x=3, ? 联立①②,解得? ? ?y=0,

所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= ?4-3?2+?1-0?2= 2,

所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.

解析答案

题型二

与圆有关的最值问题

命题点1 斜率型最值问题
例 2 y 已知实数 x 、 y 满足方程 x + y - 4x + 1 = 0 ,则 x 的最大值为
2 2

________,最小值为________.

解析答案

命题点2 截距型最值问题
例3 在例2条件下,求y-x的最小值和最大值. 解 设y-x=b,则y=x+b, 仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,截距b取最小值,

|2-0+b| 由点到直线的距离公式,得 = 3,即 b=-2± 6, 2

故(y-x)min=-2- 6,(y-x)max=-2+ 6.

解析答案

命题点3 距离型最值问题
例4 在例2条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值(如图).

又因为圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2,
所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值为(2- 3)2=7-4 3.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
(1)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则
PQ的最小值为 ________. 4 解析 PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径.

因为圆的圆心为(3,-1),半径为2, 所以PQ的最小值d=3-(-3)-2=4.

解析答案

(2)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3). ①求MQ的最大值和最小值; 解 由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,

可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),

半径 r=2 2.
又 QC= ?2+2? +?7-3? =4 2.
2 2

所以 MQmax=4 2+2 2=6 2,MQmin=4 2-2 2=2 2.

解析答案

n-3 ②若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+2 n-3 解 可知 表示直线 MQ 的斜率, m+2
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2), n-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. m+2 |2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2, 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3,
n-3 所以 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2
解析答案

题型三

与圆有关的轨迹问题
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边

例5

作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程;



设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).

因为P点在圆x2+y2=4上,

所以(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

解析答案

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.



设PQ的中点为N(x,y),连结BN.

在Rt△PBQ中,PN=BN.

设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,
所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,

所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

19.利用几何性质巧设方程求半径

典例

在平面直角坐标系 xOy中,曲线y=x2 - 6x+1与坐标轴的交点

都在圆C上,求圆C的方程. 思维点拨 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法.

思维点拨

解析答案

巧妙解法

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的 方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确 定其中的三个参数.

2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.

失误与防范

1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列

出系数的三个独立方程.
2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,

应该考虑切线斜率不存在的情况.

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x2+y2=2 1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是_________.
解析 AB的中点坐标为(0,0),

AB= [1-?-1?]2+?-1-1?2=2 2,
∴圆的方程为x2+y2=2.

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2.设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的 原点在圆外 位置关系是___________. 解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,

因为0<a<1,
所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,
即 ?0+a? +?0+1? > 2a,
2 2

所以原点在圆外.

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2+ 2 2 ( x - 2) 4.点P(4,-2)与圆x +y =4上任一点连线的中点的轨迹方程是________

(y+1)2=1 _________.
解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 + y 0 0=4,连线中点坐标为(x,y),

? ? ?2x=x0+4 ?x0=2x-4, 则? ?? ? ? ?2y=y0-2 ?y0=2y+2,
2 2 代入 x0 +y0 =4 中得(x-2)2+(y+1)2=1.

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6.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 ? 3? 25 ? ?2 2 (x-2) +?y+2? = 4 ? ? __________________. 2 2 ? y + 4 = r , ? 0 解析 如图,设圆心坐标为(2,y0),半径为 r,则? ? ?|1-y0|=r,
3 5 解得 y0=-2,r=2, ∴圆 C
? ? 3 25 ? ?2 2 的方程为(x-2) +?y+2? = 4 . ? ?

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7.已知圆O:x2+y2=1,直线x-2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切

→ → 的最小值为________. 线,切点为A,则 PO 4 · PA 5 解析 圆心 O 到直线 x-2y+5=0 的距离为 = 5, 5 → 即|PO|min= 5.

→ → ∵PA 与圆 O 相切,∴PA⊥OA,即PA· AO=0,
→ → → → → →2 → 2 → 2 ∴PO· PA=(PA+AO)· PA=PA =|PO| -|AO| ≥5-1=4.

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8.(2014· 湖北 ) 已知圆 O : x2 + y2 = 1 和点 A( - 2,0) ,若定点 B(b,0)(b≠ - 2) 和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有MB=λMA,则 (1)b=________;

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1 (2)λ=________. 2

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1 由|b+1|=λ,得 λ=2.

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9.一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2, 求此圆的方程.

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设P(x,y),圆P的半径为r.

则y2+2=r2,x2+3=r2.
∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.

∴P点的轨迹方程为y2-x2=1.

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(x-2)2+(y-1)2=4

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12.设P为直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1

3 =0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为___.
解析 依题意,圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心是点C(1,1),半径是1,

10 易知 PC 的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 5 =2, 1 而四边形 PACB 的面积等于 2S△PAC=2×(2PA· AC)
=PA· AC=PA= PC2-1= 22-1= 3, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 3.
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13.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这 x+y-2=0 两部分的面积之差最大,则该直线的方程为__________. 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点
连线的斜率k=1,

所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

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14.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足PA=2PB.

(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
解 设点P的坐标为(x,y),

则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2.

化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.

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(2) 若点Q 在直线 l1 : x+ y+ 3 = 0 上,直线 l2 经过点 Q且与曲线 C 只有一个 公共点M,求QM的最小值. 解 曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图, 由直线l2是此圆的切线,连结CQ,CM,

则 QM= CQ2-CM2= CQ2-16,
|5+3| 当 CQ⊥l1 时,CQ 取最小值,CQ= =4 2, 2

此时 QM 的最小值为 32-16=4.
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15.如图,已知圆 O 的直径 AB = 4 ,定直线 l 到圆心的距离为 4 ,

且直线 l 垂直于直线 AB. 点 P 是圆 O 上异于 A , B 的任意一点,
直线PA,PB分别交l于M,N两点.

(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;

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(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.

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