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2.1.1-指数与指数幂的运算(30


第 3 课时 指数与指数幂的运算(3) 导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数 ,又从整数推广到正分数到负分数 ,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过 程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数 的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的 发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们 必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂, 因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 =1.414 213 56 ? , 那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21, ? , 是的什么近似值?而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,?,是的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律? 的过剩近似值 5 5 的近似值 1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602

1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.414213563 9.73817752

5 的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562

③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5,根据你学过的知识,能作出判断 并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容: 问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨论结果: ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,?这些数都小于,称的不足近似值,而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,?,这些数都大于,称的过剩近似值. ②第一个表:从大于的方向逼近时,5 就从 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,?,即大于 52 的 方向逼近 5. 第二个表:从小于 2 的方向逼近时,5 就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,?,即小于 5 的 方向逼近 5. 从另一角度来看这个问题 , 在数轴上近似地表示这些点 , 数轴上的数字表明一方面 5 从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21, ? , 即 小 于 5 的 方 向 接 近 5, 而 另 一 方 面 5 从 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,?,即大于 5 的方向接近 5,可以说从两个方向无限地接近 5,即逼近 5,所以 5 是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,?,和另一串有理 数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422, ?,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这 些数的点从两个方向向表示 5 的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 5 一 定 是 一 个 实 数 , 即 51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21< ? <5< ? <51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5. 充分表明 5 是一个实数. ③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5 是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数. ⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广 ,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数 .我们规定了无理数指数幂的意义 ,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? (2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.

对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα (a>0,α 是无理数)是一 个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似 ,并且相 通. 对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. 讨论结果: (1)底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成 混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. (2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无 理数指数幂的运算法则: ①ar·as=ar+s(a>0,r,s 都是无理数). ②(ar)s=ars(a>0,r,s 都是无理数). ③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r 是无理数). (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.(精确到 0.001) (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)3.1;(4). 活动:教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数 值,对于(1),可先按底数 0.3,再按键,再按幂指数 2.1,最后按,即可求得它的值; 对于(2),先按底数 3.14,再按键,再按负号键,再按 3,最后按即可; 对于(3),先按底数 3.1,再按键,再按 34,最后按即可; 对于 (4) ,这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按键,再按键,再按 3,最后按键.有时也可按或键, 使用键上面的功能去运算. 学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案: (1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032; (3)3.1≈2.336;(4)≈6.705. 点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现 代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第(n+1)位能否进位即 可. 例 2 求值或化简. (1)(a>0,b>0); (2)()(a>0,b>0); (3). 活动: 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子 达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子 ,应该把根式统一化为分数指数幂的形式 ,便于 运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的 意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重 根号的式子 , 应先去根号 , 这里是二次根式 , 被开方数应凑完全平方 , 这样 , 把 5,7,6 拆成

()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解:(1)=(ab)=a-2bab=ab=. 点评:根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示. (2)()=aabb=a0b0=. 点评:化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一 个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3) = =-+2--2+ =0. 点评:考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=(5-5),n∈N*,求(x+)n 的值. 活动:学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5 与 5 具有 对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给 予提示. x2=(5-5)2=(5-2· 50+5) =(5+2+5-4) =(5+5)2-1. 这时应看到 1+x2=1+(-5)2=(5+5)2, 这样先算出 1+x2,再算出,带入即可. 解:将 x=(5-5)代入 1+x2,得 1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n, 所以(x+)n=[(5-5)+]n =[(5-5)+(5+5)]n=(5)n=5. 点评:运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1); (2)125+()-2+343-(); (3)(-2xy)(3xy); (4)(x-y)÷(x-y). 活动:学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识, 教师有针对性的提示引导 ,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行 ,对(2)充分利用指数幂的 运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行 ,对(4)要利用平方差公式先 因式分解,并对学生作及时的评价. 解:(1) =()+()+(0.062 5)+1=()2×+()+(0.5)+ =++0.5+ =5; (2)125+()-2+343-() =(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3) =5+2-2×(-1)+7-3 =25+4+7-3=33; (3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx· yy)

==-6xy =; (4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y) =(x+y)(x-y)÷(x-y) =x+y. 点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式: (1); (2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷[(a4+a-4+1)(a-a-1)]. 活动:学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意 分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x2 与 x 的 关系可知 x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化 为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解:(1)原式= = ==; (2)原式=[(a3)2-(a-3)2]÷[(a4+a-4+1)(a-a-1)] ====a+a-1. 点评:注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一 般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3 还容易看出,对其中夹 杂的数字 m 可以化为 m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能 力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是( ) A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2), 依次类推,所以==(1-2)-1. 答案:A 2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π 0+9-0.5+490.5×2-4. 解:原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100. 3.计算(a≥1). 解:原式=(a≥1). 本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习. 4.设 a>0,x=(a-a),则(x+)n 的值为_______. 分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到 解:1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 这样先算出 1+x2,再算出, 将 x=(a-a)代入 1+x2,得 1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 所以(x+)n=[(a-a)+(a+a)2]n =[(a-a)+(a+a)]n=a. 答案:a

拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义. 活动:教师引导学生回顾无理数指数幂 5 的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,取它 的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想, “逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果. 解:3=1.73205080?,取它的过剩近似值和不足近似值如下表. 的过剩近似值 的过剩近似值 的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.322018252 1.73204 3.3219722 1.732015 3.321997529 1.732049 3.321992923 1.7320509 3.321997298 1.7320507

3.321996838 1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045

我们把用 2 作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用 2 作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,?,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近 似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2α 会越来越趋近于同一个数,我 们把这个数记为. 即 21.7<21.73<21.731<21.7319<?<<?<21.7321<21.733<21.74<21.8. 也就是说是一个实数,=3.321 997 ?也可以这样解释: 当 3 的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近; 当 3 的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近. 所 以 就 是 一 串 有 理 指 数 幂 21.7,21.73,21.731,21.7319, ? , 和 另 一 串 有 理 指 数 幂 21.8,21.74,21.733,21.7321,?,按上述规律变化的结果,即≈3.321 997. 课堂小结 (1)无理指数幂的意义. 一般地,无理数指数幂 aα (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂 的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索 ,自己得出结论,加深对概念的理解,本 堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的 思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.


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