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极坐标与参数方程高考题的几种常见题型(各地练习题及答案)


极坐标与参数方程高考题的几种常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 1(2007 海南宁夏)⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos ? , ? ? ?4 sin ? . (I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

解: (I) x ?
2

2

? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4 cos ? 得 ? 2 ? 4? cos ? .所以 x 2 ? y 2 ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为⊙O1 的直角坐标方程.同理 x ? y ? 4 y ? 0 为⊙O2 的直角坐标方程 (II)解:由 ?

? x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0

,两式相减得-4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x.

二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 例 2(2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点, 轴非负半轴为 极轴, 在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线 的方程为 ,

曲线

的参数方程为

,点

是曲线

上的一动点.

(Ⅰ)求线段

的中点

的轨迹方程; (Ⅱ) 求曲线

上的点到直线 的距离的最小值.

[解析](Ⅰ)设中点

的坐标为

,依据中点公式有



为参数) ,

这是点

轨迹的参数方程,消参得点

的直角坐标方程为

. (5 分)

第 1 页 共 19 页

(Ⅱ)直线 的普通方程为

,曲线

的普通方程为



表示以

为圆心,以 2 为半径的圆,故所求最小值为圆心

到直线 .因此曲线

的距离减去半 上的点到直线

径,设所求最小距离为 d,则

的距离的最小值为

.

三、求曲线的交点坐标 例 3(2010 东北三校第一次联合考试)在极坐标系下,已知圆 O : ? ? cos ? ? sin ? 和 直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 。(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 2

于圆 O 公共点的极坐标。

解: (1)圆 O : ? ? cos ? ? sin ? ,即 ? ? ? cos ? ? ? sin ?
2

圆 O 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2 2 2

4 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 。
(2)由 ?

直 线 l : ? s in? (?

?

)?

2 , 即 ? s in ? ? ? co s? ? 1 则 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 : 2
得?

?x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

?x ? 0 ? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1, ) 。 2 ?y ?1

四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例 4(2009 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ?

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。

第 2 页 共 19 页

? 解 : ( Ⅰ ) 由 ? cos(? ? ) ? 1得
3
1 3 x? y ?1 即x ? 3 y ? 2 2 2 ? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0)

? ( cos ? ?

1 2

3 sin ? ) ? 1 2

C

直 角 方 程 为
2 3 ) 3

(Ⅱ) M 点的直角坐标为 (2, 0) N 点的直角坐标为 (0,

? ?

?
2

时,? ?

2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

P 点的直角坐标为

(1.

3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), ? 3 3 6 直线 OP 极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,?? )

五、参数方程的问题 例 5(2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,23)在直角

坐标系

中,曲线

的参数方程为

( 的极坐标方程为

为参数) ,以原点

为极点, 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

(1)求曲线

的普通方程与曲线

的直角坐标方程;

(2)设

为曲线

上的动点,求点



上点的距离的最小值,并求此时点

的坐标.

[解析](1)由曲线





两式两边平方相加得:



曲线

的普通方程为:

由曲线



得:

所以

即曲线

的直角坐标方程为:

(2) 由(1)知椭圆

与直线

无公共点,椭圆上的点

到直线

第 3 页 共 19 页

的距离为

所以当

时,

的最小值为

,此时点

的坐标为

1. (2014 山西太原高三模拟考试(一) ,23) 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

, 且曲线 C1 上的点 M (2 , 且以 O 为极点, 点的圆,射线

) 对应的参数

.

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极 与曲线 C2 交于点 . (I)求曲线 C1 的普通方程,C2 的极 的值.

坐标方程; (Ⅱ)若
[

是曲线 C1 上的两点,求

2.(2014 福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系 半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 的极坐标方程为

中, 以

为极点,

轴非负

, 直线 l 的参数方

第 4 页 共 19 页

程为:

( 为参数) ,两曲线相交于

,

两点.

(Ⅰ) 写曲线

直角坐标方程和直线 普通方程; (Ⅱ) 若

, 求

的值.

[解析] (Ⅰ) (曲线

的直角坐标方程为

, 直线 的普通方程

. (4 分)

(Ⅱ) 直线 的参数方程为 , 对应的参数分别为 , ,则

( 为参数),代入

, 得到

,

3. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二) ,23)已知直线 的参数方程为:

,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线 的极坐标方程为 .

(Ⅰ)求曲线

的参数方程; (Ⅱ)当

时,求直线 与曲线

交点的极坐标.

第 5 页 共 19 页

[解析] (Ⅰ)由

,可得

所以曲线

的直角坐标方程为

,标准方程为



曲线

的极坐标方程化为参数方程为

(5 分)

(Ⅱ)当

时,直线 的方程为

,化成普通方程为





,解得



,所以直线 与曲线

交点的极坐标分别为





,

.

4. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,23) 已知在直角坐标系

中,直

线 的参数方程为 坐标系,曲线

, ( 为参数) ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极 (Ⅰ)求直线 的普通方程和曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离 的取值范围.

的极坐标方程为 是曲线

的直角坐标方程; (Ⅱ)设点

第 6 页 共 19 页

[解析](Ⅰ)直线 的普通方程为

,C 直角坐标方程为

.

(Ⅱ) 设点

, 则



所以

的取值范围是

. (10 分)

5.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,23)选修 4—4: 坐标系与参数方程 在直角坐

标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 极轴建立极坐标系.

为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为

(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 的极坐标方程是

,射

线

与圆 C 的交点为 O、P,与直线 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

第 7 页 共 19 页

6.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 23) 已知曲 线 C 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,

建立平面直角坐标系,直线 的参数方程是

(t 是参数) .

(I) 将曲线 C 的极坐标方程和直线 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;

(Ⅱ) 若直 线 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且

,试求实数 m 的值.

7.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,23)已知直线 的参数方程为

为参数) , 以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 圆



极坐标方程为

. (1)求圆

的直角坐标方程; (2)若

是直线 与圆

第 8 页 共 19 页





的公共点,求

的取值范围.

[解析](1)圆 又

的极坐标方程为 所以 (2)设 由 :

所以 所以圆 的普通方程

所以圆

的圆心是

,半径是



代入



又直线 过

,圆

的半径是 ,所以



的取值范围是

8.(2014 周宁、政和一中第四次联考,21)在平面直角坐标系

中,曲线 的参数方程是

( 为参数) (Ⅰ)将 的方程化为普通方程; (Ⅱ)以 为极点, 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系. 设曲线 的极坐标方程是 , 求曲线 与 交点的极坐标.

第 9 页 共 19 页

[解析](Ⅰ)依题意, 的普通方程为 代入圆的普通方程后得 ,从而 , . ,解得 (7 分)

, (Ⅱ)由题意, 的普通方程为 , , 点 、 的直角坐标为

, ,

9.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系

中,已知直线 的参数方程

是 方程为

( 为参数) ;以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 的极坐标 . 由直线 上的点向圆 引切线,求切线长的最小值.

[解析]因为圆 的极坐标方程为

,所以



所以圆 的直角坐标方程为

,圆心为

, 半径为 1, (4 分)

因为直线 的参数方程为

( 为参数) , 所以直线 上的点

向圆 C 引

切线长是



所以直线 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是

. (10 分)

第 10 页 共 19 页

10. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线

(t 为参数) ,

( 为参数)(Ⅰ)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)过曲线

的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲绒 于 A,B 两点,求

.

[解析] 解(Ⅰ)

曲线 为圆心是

,半径是 1 的圆.

曲线

为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. (4 分)

(Ⅱ)曲线

的左顶点为

,则直线 的参数方程为

( 为参数)

将其代入曲线 整理可得:

,设

对应参数分别为





所以

.

(10 分)

11. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23) 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方

程为

( 为参数) . 以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 点



直线 的极坐标方程为

.(Ⅰ)判断点 与直线 的位置关系,说明理由; 的值.

(Ⅱ) 设直线 与直线 的两个交点为 、 ,求

第 11 页 共 19 页

[解析](Ⅰ)直线



, :

,点

在 上.

(Ⅱ) 直线 的参数方程为

( 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为



将直线 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 有 设两根为 , . (10 分)



12. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 23)在直角坐标系 半轴为极轴,与直角坐标系

中,以原点 O 为极点,以

轴正

取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为

( 为参数) ,直线 的极坐标方程为 (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程;

.

(Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 的最大距离,并求出这个点的坐标.

第 12 页 共 19 页

[解析](Ⅰ)由



,则直线 的普通方程为

. 由

得曲线 的普通方程为

.

(5 分)

(Ⅱ )在

上任取一点

,则点 到直线 的距离为

, 即 时, ,此时点 . (10 分)





14. (河南省商丘市 2014 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2,

?
4

) ,半径 r= 3 .

( I)求圆 C 的极坐标方程;

(Ⅱ)若 ? ? ?0, ? ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l 交圆 C ? 4? ? y ? 2 ? t sin ? 于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围.

? ??

? x ? 2 ? t cos ?

解:(Ⅰ) C 直角坐标 (1,1) ,所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 3 ,……2 分
2 2

由?

? x ? ? cos ? 2 得,圆 C 的直角坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 .……5 分 ? y ? ? sin ?
(Ⅱ)将 ?
2

? x ? 2 ? t cos ? 2 2 ,代入 C 的直角坐标方程 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3 , ? y ? 2 ? t sin ?

得 t ? 2(cos ? ? sin ? )t ? 1 ? 0 ,则 ? ? 0 ,设A,B对应参数分别为 t1 , t 2 ,则

t1 ? t2 ? ?2(cos ? ? sin ? ) , t1t2 ? ?1 , | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 8 ? 4sin 2?
因为 ? ? [0, ) ,所以 sin 2? ?[0,1) 所以 8 ? 4sin 2? ?[8,12) ,所以 | AB | 的取值范围为 [2 2,2 3)
第 13 页 共 19 页

? 4

15.(南京市 2014 届高三年级第三次模拟考试数学试题) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M 是椭圆 + =1 上在第一象限的点,A(2,0),B(0, 4 12 2 3)是椭圆两个顶点,求四边形 OAMB 的面积的最大值.

π 解:设 M(2cosθ,2 3sinθ),θ∈(0, ).由题知 OA=2,OB=2 3, 2

……………2 分

1 1 ∴四边形 OAMB 面积 S= ×OA×2 3sinθ+ ×OB×2cosθ=2 3sinθ+2 3cosθ=2 6sin(θ 2 2 π + ) 4 π 所以当 θ= 时,四边形 OAMB 的面积的最大值为 2 6. 4
? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

……………………10 分

16.(甘肃省张掖市 2014 届高三第三次诊断考试数学(理)试题)
2 t, 2 ( t 为参数) ;以 O 2 t?4 2 2

? 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

【解析】: (Ⅰ) l : x ? y ? 4 2 ? 0 ,曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0

……………4 分

(Ⅱ) 因为圆 C 极坐标方程 ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? , 所以 ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin ? ,

第 14 页 共 19 页

所以圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,圆心为 ?

? 2 2? ? ,半径为 1, , ? ? 2 ? 2 ? ?

? ?x ? ? 因为直线 l 的参数方程为 ? ? y? ? ?

2 t, ? 2t 2t ? 2 ( t 为参数) , 所以直线 l 上的点 P ? , ?4 2? ? ? 2 2 ? 2 ? t?4 2 2
2 2

? 2t 2 ? ? 2t 2? 向圆 C 引切线长是 PC ? R ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ?4 2? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?
2 2

?t ? 4?

2

? 24 ≥ 2 6

所以直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 . …………………10 分 17.(黑龙江省大庆市 2014 年高三第次模拟考试数学(理)试卷) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 6 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数),直线 l 的参数

? 3 x? t ? ? 2 方程为 ? ( t 为参数), T 为直线 l 与曲线 C 的公共点,以原点 O 为极点, x 轴的 1 ?y ? 2 ? t ? 2 ?
正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点 T 的极坐标; (II)将曲线 C 上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)后得到曲线 W , 过点 T 作直线 m ,若直线 m 被曲线 W 截得的线段长为 2 3 ,求直线 m 的极坐标方程.

? 3 x? t ? x2 y 2 ? 2 代入上式整理得 t 2 ? 4t ? 4 ? 0 ,解得 t ? 2 ? 1 。将 ? 解: (I) C 的普通方程为 ? 6 2 ?y ? 2 ? 1 t ? 2 ?
故点 T 的坐标为 ( 3,1) ,其极坐标为 (2,

?
6

).

………………………5 分

第 15 页 共 19 页

? x? ? x x2 (II)坐标变换式为 ? 故 W 的方程为 ? 6 ? y ? 3 y ?

(

y 2 ) 3 ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 6 …7 分 2

当直线 m 的斜率存在时,设其方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3 ) ,即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,

由圆心 (0,0) 到直线 m 距离 3 得

? 3k ? 1 k2 ?1

? 3 ,k ? ?

3 3 , ∴直线 m 为 y ? ? x ? 2, 3 3

当直线 m 的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,显然成立. 故直线 m 的极坐标方程为 ? cos ? ? 3 或 ? sin ? ?

3 ? cos ? ? 2 . …………………10 分 3

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 18.(2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试) 已知直线 l 的参数方程为 ? (t ? y ? 3? 1t ? ? 2
为参数 ),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为

? ( 1 )求 圆 C 的直 角坐 标方 程; ( 2 )若 P( x, y) 是 直线 l 与 圆 面 ? ≤ ? ? 4sin(? ? ) .
4sin(? ? ) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围. 6

?

6

? 3 1 ? 【解析】 : (1) 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) ∴ ? 2 ? 4? sin(? ? ) ? 4? ( sin ? ? cos ? ) 6 6 2 2
又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 x ? y ? 2 3 y ? 2 x
2 2 2 2 2

所以圆 C 的普通方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0
2 2

(2) 『解法 1』 :设 z ? 3x ? y 由圆 C 的方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4
2 2

第 16 页 共 19 页

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t 所以圆 C 的圆心是 (?1, 3) ,半径是 2 将 ? ? y ? 3? 1t ? ? 2

又直线 l 过 C (?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,所以 ?2 ? t ? 2 ,所以 ?2 ? ?t ? 2 即 3x ? y 的取值范围是 [?2, 2] 19. (昆明第一中学 2014 届高三第五次月考)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非 负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方

? 3 t ? x ? 5? ? ? 2 程为 ? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? ) 。 (I)求直线 l 和 3 ?y ? ? 3 ? 1 t ? 2 ?
圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 x ? 3 y 的取值范围.

21. (2011 年高考 (新课标理) ) 直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? ? y ? 2 ? 2sin ?

为参数), M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP = 2OM , P 点的轨迹为 C2 . (Ⅰ)求 C2 的方

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程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | .

?
3

与 C1 的异于极

【解析】(Ⅰ)设 P ( x , y ),则由条件知 M (

x y , ),由于 M 在 C1 上, 2 2

?x ? 2cos ? ? ? x ? 4 cos ? ? x ? 4cos ? ?2 ∴? ,即 ? ,∴ C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数); y ? 4 ? 4sin ? y ? 4 ? 4sin ? y ? ? ? ? 2 ? 2sin ? ? ?2
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? = 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? = 8sin ? , ∴射线 ? ? 为 ? 2 = 8sin

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 = 4sin , ∴ | AB | = | ?2 ? ?1 | = 2 3 .

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C2 的交点 B 的极径

?
3

22.(河南省郑州市第四中学 2013 届高三第十四次调考数学(理)试题)在直角坐标系 xOy 中,

以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为

? x ? ?1 ? cos ? ? 2 ,( ? 为参数 , 0 ? ? ? ? ). ? sn(? ? ) ? a ,曲线 C2 的参数方程为 ? 4 2 ? y ? ?1 ? sin ?
(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围.

第 18 页 共 19 页

【答案】解:(Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? (

2 2 2 sin ? ? cos ? ) ? a, 2 2 2

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1(?1 ? y ? 0) ,为半圆弧,
2 2

如下图所示,曲线 C1 为一族平行于直线 x ? y ? 0 的直线, 当直线 C1 过点 P 时,利用

y
B ?1
O

?1 ? 1 ? a 2

? 1 得 a ? ?2 ? 2 ,

P

x

?1 A

舍去 a ? ?2 ? 2 ,则 a ? ?2 ? 2 ,当直线 C1 过点 A 、 B 两点时, a ? ?1 , ∴由图可知,当 ?1 ? a ? ?2 ? 2 时,曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点.

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