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湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第三次月考数学(理)试题


株洲市二中 2016 届高三第三次月考数学(理工类) 试题卷
命题: 高三理科数学备课组 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页,时量 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1. 如图,设全集为 U=R, A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? 1n(1 ? x)} ,则图中阴影部分表示 的集合为( ) B. {x |1 ? x ? 2} D. ?x | x ? 1 ?
2

A. {x | x ? 1} C. ?x | 0 ? x ? 1 ?

2. 命题“对任意的 x ? R ,都有 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( A..对任意的 x ? R ,都有 2 x ? x ? 1 ? 0
2



B.存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 D.存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 )

C.不存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 3. 以双曲线
2

x2 - y 2 = 1 的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是( 4
B. y 2 = 4 5 x C. y 2 = 8 5 x ) D. y 2 =

A. y = 4 x

5x

4. 在△ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 , cos A ? A.

π 4

B.

π 3

C.

π 6

1 ,则 B ? ( 3 2π D. 3

lg x, x ? 0 ? ? 5. 若 f ( x ) ? ? ,且 f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的值为( a x ? ? 3t 2dt , x ? 0 ? 0 ?
A.1 B.2 C. ? 1 D. ? 2



6. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如下左图所示,则该四棱锥的体积等于( A.1
13



B.2

C.3

D.4

正视图

1 1 侧视图

2 俯视图

7. 如果执行如上图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( A.720 B.360 C.240 D.120 8.设各项都是正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn,且 T10=32,则 a5
1 ?


1 a6 的最小值是

A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3 9. 在某次会议上,有 2 位女性和 3 位男性共五位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在 两端的概率为( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

10. y ? 则 (

f ( x) f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) 是定义在非零实数集上的减函数, 记a ? , , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2 x
) B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. c ? b ? a )

A. a ? b ? c

??? ? ???? ???? 11. 已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则 AP ? ( AB ? AC ) (
A.最大值为 8 12.过双曲线 B.是定值 6 C.最小值为 2

D.与 P 点位置有关

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切 a 2 b2
???? ? 1 ???? ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2

点为 E,延长 EF 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P.若 OE ? ( )

A.

3? 3 2

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上)
2 13.若复数( a ? 1)+( a ? 1 )i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a =



?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 14. 设实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 3x+4y 的最小值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
15. 若正数 a , b 满足



1 1 4 16 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 a b a ?1 b ?1



16.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x ) 和 G ( x ) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直
线”,已知函数 f ( x) ? x ( x ? R ), g ( x) ?
2

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题: x

① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ( ?

1 , 0) 内单调递增; 3 2

② f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 (?4, 0] ; · ④ f ( x ) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数为 (请填所有正确命题的序号)

三、解答题:解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin(2 x ? (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期以及在区间 ?0,

?
6

) ?1 ? x ? R ? 。

w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@m

? ?? 的最小值; ? 2? ?

( 2 )设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f ? C ? ? 0 ,若向量

m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B? 共线,求 ?ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ( 2) 令 bn ? an log1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小的正
2

整数 n .

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在六面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC∥平面 DEFG, AD⊥平面 DEFG, ED⊥DG,EF∥DG,且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1。 (1)求证:BF∥平面 ACGD; (2)求二面角 D—CG—F 的余弦值。

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆 2 2 a b 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA · kOB ? ? 的面积为定值;

b2 ,求证:△ AOB a2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?
3

3( t ? 1) 2 x ? 3tx ? 1( t ? 0) 2

(1)若 f ( x ) 在 ( 0, 2) 上无极值,求 t 的值; (2)若存在 x0 ? (0, 2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最大值,求实数 t 的取值范围; (3)若 f ( x) ? xe ? m ? 2 (e 为自然对数的底数)对任意的 x ? [0, ??) 恒成立,且 m 的
x

最大值为 1,求实数 t 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 BD 是△ABC 外接圆的切线。过 A 作 BD 的平行线交 BC 于 E,交△ABC 的外接圆于 F. (1)若 ?D ? ?ABD, BC ? 2 3, AC ? 4 ,求△ABC 外接圆的面积; (2)求证: AC ? EF ? AB ? EC

D
A

B

E
F

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 3m ? ? ? y ? ? 3t ? 2m

(t 为参数),若以坐标

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? (1 ? cos 2? ) ? 8 cos?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ?1 ? a) 。 (1)当 a ? 4 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围。

年级___________ 班级___________ 学号____________ 姓名___________ 考场号__________ 座位号___________ ??????????????? 装 ?????????????? 订 ???????????? 线??????????

株洲市二中 2016 届高三第三次月考数学

(理科)答题卡
一、选择题(5′×12=60′) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

座位号

11

12

二、填空题(5′×4=20′) 13.____________ 15.________ ______ ____ ___; ___; 14.______ 16. __________; ;

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

22. (本小题满分 10 分)

23. (本小题满分 10 分)

24. (本小题满分 10 分)

株洲市二中 2016 届高三第三次月考数学试卷 数 学(理工类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页,时量 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1. 如图,设全集为 U=R, A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? 1n(1 ? x)} ,则图中阴影部分表示 的集合为( B ) B. {x |1 ? x ? 2} D. ?x | x ? 1 ?
2

A. {x | x ? 1} C. ?x | 0 ? x ? 1 ?

2. 命题“对任意的 x ? R ,都有 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( A..对任意的 x ? R ,都有 2 x ? x ? 1 ? 0
2

B )

B.存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 D.存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0

C.不存在 x0 ? R ,使 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 3. 以双曲线
2

x2 - y 2 = 1 的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是( B ) 4
B. y 2 = 4 5 x C. y 2 = 8 5 x D. y 2 =

A. y = 4 x

5x

4. 在△ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 , cos A ? A.

π 4

B.

π 3

C.

π 6

1 ,则 B ? ( A ) 3 2π D. 3

lg x, x ? 0 ? ? 5. 若 f ( x ) ? ? ,且 f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的值为( A ) a x ? ? 3t 2dt , x ? 0 ? 0 ?
A.1 B.2 C. ? 1 D. ? 2 B ) 6. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如下左图所示,则该四棱锥的体积等于( A.1
13

B.2

C.3

D.4

正视图

1 1 侧视图

2 俯视图

7. 如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( B ) A.720 B.360 C.240 D.120 8. 在某次会议上,有 2 位女性和 3 位男性共五位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在 两端,3 位男性领导人中有且仅有 2 位相邻的概率为( A. C )

1 5

B.

1 3

C.

2 5

D.

1 2

9. f ( x) 是定义在非零实数集上的函数, f ?( x) 为其导函数,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 记a ?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 ( C ) , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2
B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

??? ? ???? ???? 10. 已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则 AP ? ( AB ? AC ) ( B )
A.最大值为 8 11.过双曲线 B.是定值 6 C.最小值为 2 D.与 P 点位置有关

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切 a 2 b2
???? ? 1 ???? ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2

点为 E,延长 EF 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P.若 OE ? ( B )

A.

3? 3 2
2

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2

【解析】设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ∵抛物线为 y =4cx,∴F'为抛物线的焦点,O 为 FF'的中点, ∵ ,∴E 为 FP 的中点,∴OE 为△ PFF'的中位线,

∵O 为 FF'的中点,∴OE∥PF',∵|OE|=a ,∴|PF'|=2a ∵PF 切圆 O 于 E,∴OE⊥PF,∴PF'⊥PF, ∵|FF'|=2c ,∴|PF|=2b 设 P(x,y) ,则 x+c=2a,∴x=2a﹣c 过点 F 作 x 轴的垂线,则点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y +4a =4b ∴4c(2a﹣c)+4a =4(c ﹣a ) ∴e ﹣e﹣1=0,∵e>1,∴e=
2 2 2 2 2 2 2

.故选 B.

12.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x ) 和 G ( x ) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直
线”,已知函数 f ( x) ? x ( x ? R ), g ( x) ?
2

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题: x

① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ( ?

1 , 0) 内单调递增; 3 2

② f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 (?4, 0] ; ④ f ( x ) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( A. 1 个 B. 2 个 C ) C. 3 个 D. 4 个

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上) 13.若复数( a 2 ? 1)+( a ? 1 )i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a =

?1



?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 14. 设实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 3x+4y 的最小值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
15. 若正数 a , b 满足

13



1 1 4 16 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 a b a ?1 b ?1
5

16



1 ? ? 2 16. 已知 ? x ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 5 x3 ? ?
x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [ ?1, 3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数

k 的取值范围是

? 1? ? 0, ? ? 4?



解析:∵

的常数项为

=2

∴f(x)是以 2 为周期的偶函数 ∵区间[﹣1,3]是两个周期 ∴区间[﹣1,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣kx﹣k 有 4 个零点 可转化为 f(x)与 r(x)=kx+k 有四个交点 当 k=0 时,两函数图象只有两个交点,不合题意 当 k≠0 时,∵r(﹣1)=0,两函数图象有四个交点,必有 0<r(3)≤1 解得 0<k≤

1 4

故答案为: ? 0, ? 4

? ?

1? ?

三、解答题:解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ?x ? R? 。 2

w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@m

(1)求函数 f ? x ? 在区间 ?0,

? ?? 的最小值和最小正周期; ? 2? ?

( 2 )设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f ? C ? ? 0 ,若向量

m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B? 共线,求 ?ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ( 2) 令 bn ? an log1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小的正
2

整数 n . 解析:(Ⅰ)设 an 的公比为 q,由已知,得 ?

? a2 ? a3 ? a4 ? 28 ? a3 ? 8 ?? ?2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ?a2 ? a4 ? 20

??

?

a1q 2 ? 8
3

?a1q ? a1q ? 20
2

??

? a1 ? 2 ,∴an=a1qn-1=2n; ?q ? 2

(Ⅱ)b n =2 n log 1 2 n =- n?2 n ,设 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,① 则 2Tn=1×2 +2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,② ①-②得:-Tn=(2+22+…+2n)-n×2n+1=-(n-1)×2n+1-2, ∴Sn=-Tn=-(n-1)×2n+1-2(10 分)故 Sn+n?2n+1>50?-(n-1)×2n+1-2+n×2n+1>50,?2n >26, ∴满足不等式的最小的正整数 n 为 5. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在六面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC∥平面 DEFG, AD⊥平面 DEFG, ED⊥DG,EF∥DG,且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1。 (1)求证:BF∥平面 ACGD; (2)求二面角 D—CG—F 的余弦值。
2

解法二:由题意可得, DA,DE,DG 两两垂直,故可建立如右图所示的空间直角坐标系。 则 A(0,0,2),B(2,0,2) ,C(0,1,2) ,E(2,0,0) ,G(0, 2,0) ,F(2,1,0). (1) BF ? (2,1,0) ? (2,0, 2) ? (0,1, ?2),

??? ?

??? ? CG ? (0, 2,0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2), ??? ? ??? ? ∴ BF ? CG ,∴BF∥CG。 又 BF ? 平面 ACGD,CG ? 平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD。???(6 分) ??? ? (2) FG ? (0, 2,0) ? (2,1,0) ? (?2,1,0).
设平面 BCGF 的法向量为 m1=(x,y,z)

???? ? CG=y ? 2 z ? 0 ?n1 · 则 ? ??? ? n · FG ? ?2 x ? y ? 0 ? ? 1

令 y=2,则 n1=(1,2,1).又平面 ADGC 的法向量 n2=(1,0,0)

n2 ?? ∴ cos ? n1?

n1· n2 n1 · n2

1?1 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ? 0
2 2 2 2 2 2

=

6 6

6 ??????(12 分) 6 1 x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆 2 a b 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.
由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 D—CG—F 的余弦值为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA · kOB ? ? 的面积为定值;

b2 ,求证:△ AOB a2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?
3

3( t ? 1) 2 x ? 3tx ? 1( t ? 0) 2

(1)若 f ( x ) 在 ( 0, 2) 上无极值,求 t 的值; (2)若存在 x0 ? (0, 2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最大值,求实数 t 的取值范围;

(3)若 f ( x) ? xe x ? m ? 2 (e 为自然对数的底数)对任意的 x ? [0, ??) 恒成立,且 m 的 最大值为 1,求实数 t 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 BD 是△ABC 外接圆的切线。过 A 作 BD 的平行线交 BC 于 E,交△ABC 的外接圆于 F.

(1)若 ?D ? ?ABD, BC ? 2 3, AC ? 4 ,求△ABC 外接圆的面积; (2)求证: AC ? EF ? AB ? EC

D A E
F

B

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? t ? 3m ? ? y ? ? 3t ? 2m

(t 为参数),若以坐标

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? (1 ? cos 2? ) ? 8 cos?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—7:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值. |a|

(2)若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

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