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必修1 函数与方程


学考复习第三章

函数与方程

要点梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x轴 有交点 ?函数 y=f(x)有 零点 . (3)函

数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, f(b)<0 , 并且有f(a)· 那么函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点, 即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是 f(x)=0 的根.

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数

Δ= 0

Δ<0

(x1,0) , (x2,0)
__ 2

(x1,0)
__ 1

无交点

0 __

经典题型一

1.求函数的零点
例1.求下列函数的零点.
(1) y ? ? x 2 ? x ? 20; ( 2) y ? ( x ? 2)( x ? 3 x ? 2);
2 2

( 3) f ( x ) ? lg(x ? 1) ? 8;
2

( 4) f ( x ) ? e

x ?1

? 4.

经典题型二

2.判断函数零点所在的大致区间
2 例2.函数 f ( x ) ? ln x ? x

的零点所在的

大致区间是(

)

A.(1,2) 1 C .(1, )和(3,4) e

B.(2,3) D.(e , ??)

经典题型二

2.判断函数零点所在的大致区间
2 例2.函数 f ( x ) ? ln x ? x 大致区间是( B )

的零点所在的

A.(1,2) 1 C .(1, )和(3,4) e

B.(2,3) D.(e , ??)

经典题型三

3.判断函数零点的个数 例3.求函数f(x)=x2-5x+3的零点个数. 例4.求函数f(x)=x3+x-1 的零点个数.

3.二分法 (1)定义

对于在区间[a,b]上连续不断且

f (a) f (b) ? 0 的函数
,进

y = f(x) , 通 过 不 断 地 把 函 数 f(x) 的 零 点 所 在 的 区
间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点 而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相 应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解.

经典题型四

4.二分法的适用条件 例5.下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是( )
y x1 O x2 x 3 x y O x0 x y O x y O x0 x

A.

B.

C.

D.

3.二分法

给定精确度 ,用二分法求函数 (1)确定区间 [ a, b],验证 (2)求区间 (3)计算 1若 2若 3若 , : = ,则 · · 的中点 · ;

零点近似值的步骤如下: <0,给定精确度 ;

就是函数的零点; (此时零点 = (此时零点 < ) ; ) ; ,则得到零点近

<0,则令 = <0,则令

(4)判断是否达到精确度 似值

;即若

(或 ) ;否则重复步骤 2-4.

经典题型五

5.用二分法求方程的近似解

(2)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零 点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中一个零点x0∈______________, 第二次应计算______________,以上横线 上应填的内容为( )
A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

经典题型五

5.用二分法求方程的近似解

(1)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零 点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中一个零点x0∈______________, 第二次应计算______________,以上横线 上应填的内容为( A )
A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

(2)若函数f(x)=x3+x2-2x-2一个 正数零点附近的函数值用二分法计算,参 考数据如下:
f (1) ? ?2
f (1.5) ? 0.625
f (1.25) ? ?0.984
) ? ?0.054 ) ? 0.162 f (1.40625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根 (精确到0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

(2)若函数f(x)=x3+x2-2x-2一个 正数零点附近的函数值用二分法计算,参 考数据如下:
f (1) ? ?2
f (1.5) ? 0.625
f (1.25) ? ?0.984
) ? ?0.054 ) ? 0.162 f (1.40625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根 (精确到0.1)为( C ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5


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