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广东省广州市2016届高三数学毕业班综合测试试题(二)文(含解析)


2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x ?1 ? x ? 1, x ? Z} , 则( A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {0,1} ) D. M ? N ?

N

【答案】C 【解析】 N ? {?1,0,1} , ∴ M ? N ? {0,1} . 2.已知 (1 ? i)i ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b 的值为( A. ?1 B. 0 【答案】B 【解析】∵ (1 ? i)i ? a ? bi , ∴ ?1 ? i ? a ? bi , ∴ a ? ?1, b ? 1 , a ? b ? 0 . 3.已知等比数列 {an } 的公比为 ? A. ?2 【答案】A B. ? C. 1 D. 2 )

1 a ? a3 ? a5 , 则 1 的值是( 2 a2 ? a4 ? a6
C.



1 2

1 2

D. 2

a1 ? a3 ? a5 a ?a ?a ? 1 3 5 ? ?2 . a2 ? a4 ? a6 q(a1 ? a3 ? a5 ) 4.从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 2 个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个两位数 大于 30 的概率是( ) 开始 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 x ? 1, y ? 0, n ? 1 【答案】C
【解析】 【解析】重复数字的两位数共有 10 个, 两位数大于 30 的数共有 12 个,∴ P ?

12 3 ? . 20 5

n ? n?2

x ? 3x

5.执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是 ? x, ?12? , 则 x 的值为( ) A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 【答案】B 【解析】由程序框图可知:

y ? y ?3
输出 ? x, y ?

n ? 2016?
9



n

3

5

7

是 结束
1

x
y

3 ?3

32 ?6

33 ?9

34 ?12

? x ? y ? 0, ? 6. 不等式组 ? x ? y ? ?2, 的解集记为 D , 若 (a, b) ? D , 则 z ? 2a ? 3b 的最大值是 ( ? x ? 2 y ? ?2 ?
A. 1 B. 4 C. ?1 【答案】A 【解析】不等式组表示的平面区域的角点 坐标分别为 A(?1, ?1), B(?2,0), C (2, 2) , D. ? 4



z A ? 1, zB ? ?4, zC ? ?2 ,故选 A.
7.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ,则下列结论中正确的是(



A. 函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? B.函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称 C.由函数 f ( x ) 的图象向右平移 D.函数 f ( x ) 在区间 ( ,

? 4

? 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8

? 5? ) 上单调递增 8 8

【答案】C 【解析】 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,故 A 错误;

? ? ? 2 f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? ? 0 ,故 B 错误; 4 4 4 2 ? ? ? f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2 x ,故 C 正确. 8 8 4
C: 8.已知 F 1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 点 A(1, ) 在椭圆 2 a b 2


C 上, AF1 ? AF2 ? 4 , 则椭圆 C 的离心率是(
A.

1 2

B.

5 4

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D

a ? 2. 【解析】∵ AF 1 ? AF 2 ? 4 ? 2a ,∴
∵点 A(1,

3 ) 在椭圆 C 上, 2

2



1 3 3 ? 2 ? 1 ,∴ b ? 1 , c ? 3 , e ? . 4 4b 2

9. 已知球 O 的半径为 R ,A, B, C 三点在球 O 的球面上, 球心 O 到平面 ABC 的距离为

1 R, 2

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为(
A.

) D.

16 ? 9

B.

16 ? 3

C.

64 ? 9

64 ? 3

【答案】D
? 【解析】∵ AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120 ,,

∴ BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A
2 2 2

1 ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 12 ,∴ BC ? 2 3 . 2 设 ?ABC 外接圆的半径为 r , BC 2 3 ? ? 4 ,∴ r ? 2 . 则 2r ? sin A 3 2 1 16 2 2 2 2 ∴ R ? ( R ) ? r ,得 R ? . 2 3 64? 2 ∴球 O 的表面积为 4? R ? . 3
x x * x 1? x 10.已知命题 p : ?x ? N , ( ) ? ( ) ,命题 q : ?x ? R , 2 ? 2 ? 2 2 ,则下列

1 2

1 3

命题中为真命题的是( A. p ? q 【答案】A

) C. p ? (?q) D. (?p) ? (?q)

B. (?p) ? q

x x 【解析】由 ( ) ? ( ) ,得 x ? 0 ,故命题 p 为真命题.

1 2

1 3

2 ? 2 2 ? 0, 2x ∴ (2x )2 ? 2 2 ? 2x ? 2 ? 0 ,∴ (2x ? 2)2 ? 0 , 1 ∴ x ? ,故命题 q 为真命题.∴ p ? q 为真命题. 2 11.如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何
∵2 ?2
x 1? x

? 2 2 ,∴ 2 x ?

体的体积是( A. 8 ? 6? B. 4 ? 6? C. 4 ? 12? D. 8 ? 12?



3

【答案】A 【解析】该几何体为半圆柱和四棱锥组成, 其中,平面 PDC ? 平面 ABCD , ∴ V ?

P D C B

1 2 1 ? r h ? ? 4 ? 3? 2 2 3

1 ? ? ? 22 ? 3 ? 8 ? 8 ? 6? . 2

A

12 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) , 当 x ? [0,1] 时 ,

1 3 f ( x) ? x3 ,则函数 g ( x) ? cos(? x) ? f ( x) 在区间 [? , ] 上的所有零点的和为( 2 2
A. 4 【答案】B 【解析】∵ f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) , ∴ f (? x) ? f (2 ? x) ,∴ f ( x ) 的周期为 2 . 画出 y ? f ( x) 和 y ? cos(? x) 的图象, B. 3 C. 2 D. 1



y
1

x x2 x3 O
1

4

x1
– 2 – 1
1 2

x5
3 2

2

x

由图可知, g ( x) 共有 5 个零点, 其中 x1 ? x2 ? 0 , x4 ? 0 , x3 ? x5 ? 2 . ∴所有零点的和为 3 . 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.曲线 f ( x) ? 2 x ? 3x 在点 (1, f (1)) 的处的切线方程为
2



【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】 f ?( x) ? 4 x ? 3 , f ?(1) ? 1 , f (1) ? ?1 , ∴切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 .

4

14.已知 a 与 b 的夹角为 【答案】 2

? , a ? (1, 3) , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? 3



【解析】∵ a ? 2b ? 2 3 ,∴ a ? 4a ? b + 4b ? 12 .
2 2

∴ 2 ? 4 ? 2 ? b ? cos
2

?
3

+ 4 b ? 12 .∴ b ? b ? 2 ? 0 ,∴ b ? 2 .

2

2

15.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 12 ,Sn ? kn2 ?1(n ??* ) ,则数列 ? 项和为 【答案】 .

?1? ? 的前 n ? Sn ?

n 2n ? 1

【解析】依题意得 ?

?a1 ? k ? 1 , ?a1 ? a2 ? 4k ? 1

∵ a2 ? 12 ,∴ k ? 4 , a1 ? 3 . ∴ Sn ? 4n2 ?1 ,

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), S n 4n ? 1 2 2 n ? 1 2 n ? 1

∴数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 ? Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2 n ? 1

16.已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x ? y ? ? (? 为正常数)上,过点 M 作双
2 2

曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? 2 MN 的最小值为 【答案】 2 ? 【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? x . 设 M ( x0 , y0 ) ,直线 MN 的方程为 y ? ?( x ? x0 ) ? y0 , 由?



?y ? x x ? y0 x0 ? y0 , ). ,解得 N ( 0 2 2 ? y ? ?( x ? x0 ) ? y0

∴ ON ?

2 x0 ? y0 , 2

5

MN ? ( x0 ?

x0 ? y0 2 x ? y0 2 2 ) ? ( y0 ? 0 ) ? x0 ? y0 , 2 2 2 2 2 ∵ x0 ? y0 ? ? ,∴ ( x0 ? y0 )( x0 ? y0 ) ? ?
∴ x0 ? y0 ?

?
x0 ? y0

, MN ?

2? . 2 x0 ? y0

∴ ON ? 2 MN ?

2 2 x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0

?2

2 2? x0 ? y0 ? ?2 ?. 2 x0 ? y0

三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在

?ABC





a, b, c











A, B, C









2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C .
(1) 求 B 的大小; (2) 若 b ? 3 , A ?

? , 求△ ABC 的面积. 4

【解析】 (1)∵ 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C , 由正弦定理得, 2b ? ? 2a ? c ? a ? ? 2c ? a ? c ,
2

化简得, a ? c ? b ? ac ? 0 .
2 2 2

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ?ac 1 ? ?? . 2ac 2ac 2
2? . 3

∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? (2)∵ A ?

? ? 2? ? ? ? ? . , ∴C ? ?? ? 4 4 3 3 4

∴ sin C ? sin(

?

? ? ? ? ? 6? 2 ? ) ? sin cos ? cos sin ? . 3 4 3 4 3 4 4
c b 2? ? ,∵ b ? 3 , B ? , sin C sin B 3

由正弦定理得,

∴c ?

b sin C 6? 2 ? . sin B 2

6

∴ ?ABC 的面积 S ?

? 3? 3 1 1 6? 2 . bc sin A ? ? 3 ? ? sin ? 4 2 2 2 4

18. (本小题满分 12 分) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(1) 求 y 关于 x 的线性回归方程; (2) 利用 (1) 中的回归方程, 当价格 x ? 40 元/kg 时, 日需求量 y 的预测值为多少?

参考公式:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx .

【解析】 (1)由所给数据计算得

x?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , 5 1 y ? ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , 5
5 2 2 2 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1 5 i ?1 i i

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 ,

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .

7

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . 250

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ? 14.4 . (2)由(1)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 . 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中, ?BCD 是等边三角形, ?CMD 是等腰直角三角形,

?CMD ? 90? ,
平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点, 连接 OM . (1) 求证: OM ∥平面 ABD ; (2) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积.

A M

【解析】 (1)证明:∵△ CMD 是等腰直角三角形,

B C O

D

?CMD ? 90? ,点 O 为 CD 的中点,∴ OM ? CD .
∵ 平面 CMD ? 平面 BCD , 平面 CMD ? 平面 BCD ? CD ,

OM ? 平面 CMD ,∴ OM ? 平面 BCD . ∵ AB ? 平面 BCD ,∴ OM ∥ AB . ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , ∴ OM ∥平面 ABD . (2)解法 1:由(1)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H ,

A M B C O H D

8

∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB . ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面 ABD . ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,
? ∴ BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60 ?

3 . 2

∴ VA? BDM ? VM ? ABD ?

1 1 1 1 3 3 ? ? AB ? BD ? OH ? ? ? 2 ? 2 ? . ? 3 2 3 2 2 3

∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

解法 2: 由(1)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,∴ BD ? 2 , OD ? 1 . 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? BD ? sin 60 ? 3 . ∴
?

VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO

1 1 ? ? ? OD ? OB ? AB 3 2

1 1 3 . ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为 20. (本小题满分 12 分) 已知动圆 P 的圆心为点 P ,圆 P 过点 F ?1,0 ? 且与直线 l : x ? ?1 相切. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;
2 (2)若圆 P 与圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 M , N 两点,求 MN 的取值范围. 2

3 . 3

【解析】 (1)解法 1:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于点 P 到直线 l 的距离, ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线. ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

解法 2:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,依题意,得 PF ? x ? 1 , ∴

? x ?1?

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得 y 2 ? 4x .
2

∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x . (2)解法 1:设点 P( x0 , y0 ) ,则圆 P 的半径为 r ? x0 ? 1 .
9

∴圆 P 的方程为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( x0 ? 1)2 . ①
2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 , ② 2

2 ① ? ②得直线 MN 的方程为 2 ?1 ? x0 ? x ? 2 y0 y ? y0 ? 2x0 ?1 ? 0 .
2 ∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线 C : y 2 ? 4x 上,∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .
2 2 ?1 ? x0 ? ? y0 ? 2 x0 ? 1 2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

∴点 F 到直线 MN 的距离为 d ?
2

?

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2



2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 ,

∴ MN ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ?

1 2 4(1 ? x0 )2 ? 4 y0

? 2 1?

1 1 ? 2 1? . 2 2 4(1 ? x0 ) ? 16 x0 4 ? x0 ? 1?

∵ x0 ? 0 ,∴ ( x0 ? 1)2 ? 1 .∴ 0 ?

1 1 ? . 2 4( x0 ? 1) 4



3 1 ? 1? ? 1 . ∴ 3 ? MN ? 2 . 4 4( x0 ? 1)2

∴ MN 的取值范围为 [ 3, 2) . 解法 2:设点 P( x0 , y0 ) ,点 F 到直线 MN 的距离为 d , 则点 P 到直线 MN 的距离为 PF ? d .
2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 ,圆 P 的半径为 PF , 2

∴ MN ? 2 1 ? d 2 ? 2 PF ? PF ? d ∴ 1 ? d ? PF ? PF ? d
2 2

2

?

?

2

. .

?

1 ? ,化简得 d ? 2 PF
2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1 4 PF
2



∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2

2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .

10

∴ PF

2

2 ? ? x0 ? 1? ? y0 2

2 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? 4x0

? ? x0 ? 1?
?1.
∴0 ?

2

1 4 PF
2

?

1 . 4



3 1 ? 1? ? 1. 2 4 4 PF

∴ 3 ? MN ? 2 . ∴ MN 的取值范围为 [ 3, 2) .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ?ax ( x ? R ) . ex

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0 且 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)∵当 a ? ?2 时, f ( x) ?

1 1 ? 2 x , ∴ f ?( x) ? ? x ? 2 . x e e 1 1 令 f ?( x ) ? ? x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln ? ? ln 2 . e 2 当 x ? ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 .
∴函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ? ??, ? ln 2? ,递增区间为 ? ? ln 2, ??? .

(2)解法 1:当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 .(*) x e e

11

1 1 1 ? ax ? a ? 0 ? ,则 g ?( x) ? ? x ? a ? 0 , x e x e 1 ∴函数 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增.∴ g ? x ? ? g ?1? ? ? ? a . e 1 1 要使(*)成立,则 ? ? a ? 0 , 得 a ? . e e 1 下面证明若 a ? 时,对 x ? (0,1) , f ? x ? ? ln x 也成立. e 1 1 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? ln x 等价于 x ? ax ? ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 . e e 1 1 1 而 ln x ? x ? ax ? ln x ? x ? x .(**) e e e 1 1 1 1 1 令 h ? x ? ? ln x ? x ? x ,则 h? ? x ? ? ? x ? , e e x e e 1 1 1 1 1 x2 ? ex 再令 ? ? x ? ? ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe 2 x ? ex 2 x ? 由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? x ? ? 2 x ? 0 . xe ∴ 函数 ? ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减.
令 g ( x) ? ln x ?

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . e e e 1 1 ∴ 函数 h( x) 在 ? 0,1? 上单调递增, ∴ h( x) ? h(1) ? ? ? 0 . e e 1 1 1 由(**)式 ln x ? x ? ax ? ln x ? x ? x ? 0 . e e e 1 综上所述,所求 a 的取值范围为 [ , ??) . e
∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ?

解法 2: f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ln x ,即 ax ? x ? ln x .(*) x e e

?1 ? ln x, x ? 1, ? 1 ? ex 令 g ? x ? ? x ? ln x ? ? e ? 1 ? ln x, 0 ? x ? 1. ? ? ex
当 x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? ? x ? ? 0 . x e e x 1 . e

∴函数 g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. ∴ g ( x) ? g (1) ? 当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ex ? x ? ? ln x g x ? ? ? ? ?0. , 则 ? ? ex ex x xe x
12

∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增.∴ g ( x) ? g (1) ? 下面证明,当 a ?

1 . e

1 时, (*)式成立: e 1 ① 当 x ? 1 时, ax ? ? g ? x ? , (*)式成立. e 1 1 1 ② 当 0 ? x ? 1 时,由于 ax ? x ,令 h ? x ? ? ln x ? x ? x , e e e 1 1 1 则 h? ? x ? ? ? x ? , x e e
再令 ? ? x ? ?

1 1 1 1 1 x2 ? ex ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe
2 x

由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ? ∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ∴ ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ?

x2 ? ex ? 0. x 2e x

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . e e e

∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? ∴ ln x ?

1 1 ? ?0. e e

1 1 ? x ? 0. ex e 1 1 ∴ ln x ? x ? x ? ax ,即(*)式成立. e e 1 综上所述, 所求 a 的取值范围为 [ , ??) . e
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径, BC ? CD , AD 的延 长线与 BC 的延长线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F . (1)证明: CF 是圆 O 的切线; (2)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长. E

D
【解析】 (1)证明: 连接 OC , AC , ∵ BC ? CD , ∴ ?CAB ? ?CAD . ∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ OC ? OA . ∴ ?CAB ? ?ACO ,∴ ?CAD ? ?ACO .

F C B

A

O

13

∴ AE ∥ OC . ∵ CF ? AE , ∴ CF ? OC . ∴ CF 是圆 O 的切线. (2)∵ AB 是圆 O 的直径,
? ∴ ?ACB ? 90 ,即 AC ? BE .

E D A F C B

∵ ?CAB ? ?CAD , ∴ 点 C 为 BE 的中点. ∴ BC ? CE ? CD ? 4 . 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 ,得 ED ?

O

32 . 9

在△ CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点,∴ DF ? 在 Rt ?CFD 中, CF ? CD ? DF ?
2 2

16 . 9

16 4 65 . 42 ? ( ) 2 ? 9 9

∴ CF 的长为

4 65 . 9

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? , ? (? 为参数 ) .以点 O 为极 ? ? y ? sin ?

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程;

?
4

)? 2.

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值. 【解析】 (1)由 ?

? x ? 3 cos ? , x 2 ? ? y 2 ? 1, 得 3 ? ? y ? sin ? ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3
14

由 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 ,得 ? (sin ? cos

?

? cos ? sin ) ? 2 , 4 4

?

化简得, ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ,∴ x ? y ? 2 . ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 . (2)解法 1:由于点 Q 是曲线 C 上的点, 则可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos? ,sin ? ) ,

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

2 cos(? ? ) ? 2 6 . ? 2

?

当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d max ?

4 ?2 2. 2

∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . 解法 2:设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为 x ? y ? m ,

? x ? y ? m, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?3 2 2 令 ? ? (6m) ? 4 ? 4 ? (3m ? 3) ? ,解得 m ? ?2 . ∴直线 l ? 的方程为 x ? y ? ?2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . 2?2 ∴两条平行直线 l 与 l ? 之间的距离为 d ? ?2 2. 2 ∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a . (1)当 a ? 7 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ≥ 3 的解集是 R,求实数 a 的最大值. 【解析】 (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , ① 当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,解得 x ? 4 . ② 当 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? 2 ? x ? 7 ,无解. ③ 当 x ? 1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 解得 x ? ?3 . ∴函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?3? ? ? 4, ??? .
15

?

?

(2)不等式 f ( x) ? 3 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , ∵ x ?R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 , 又不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 的解集是 R, ∴ a ? 8 ? 3 ,即 a ? ?5 . ∴ a 的最大值为 ?5 .

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