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三角函数的积化和差与和差化积


三角函数的积化和差与和差化积 一、课标要求:
利用两角和与差的正弦、余弦公式推导导出积化和差、和差化积公式,但不要求记忆.

二、知识提要: 三角函数的积化和差公式:

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两

个公式可合并为一个:

三角函数的和差化积公式:

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是:

①其中前两个公式可合并为一个:sin 想.

+ sin

=2 sin

cos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差, 才能直接运用公式化成积的形式, 如果一 个正弦与一个 余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积. ④合一变形也是一种和差化积. ⑤三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什 么作用,和差化 积公式在三角中就起什么作用. 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交 替使用.如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用和差化 积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于:当和、积互化 时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约 因式,从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.

三、典型例题:
1.把下列各式化为和或差的形式:

解:

2.求值:sin6°sin42°sin66°sin78°. 解:[法一] sin6°sin42°sin66°sin78°

[法二] sin6°sin42°sin66°sin78°

3.

解:

4.求值:cos24°﹣sin6°﹣cos72° 解:原式=(sin66°-sin6°)-cos72°=2cos36°sin30°-cos72° =cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°

=

=

5.求 tan20°+4sin20°的值.

6.求值:

解:原式=

=

=

=

7.已知 sin(A+B)=

,sin(A-B)=﹣

,求值:

解:原式=1﹣

sin22A﹣sin2B﹣

=1﹣

sin22A﹣sin2B﹣





=

﹣sin2B﹣

=

=sin(A+B)sin(A﹣B)=

×(﹣

)=

8.求 sin220°+cos280°+

sin20°cos80°的值.

解:原式=

=1+

(cos160°-cos40°)+

sin100°-

=

-sin100°sin60°+

sin100°=

9.试证:cos2(A- )+cos2(B﹣ )-2cos(A-B)cos(A- )cos(B- )的值与 无关. 证明:cos2(A- )+cos2(B﹣ )-2cos(A-B)cos(A- )cos(B- )

=

-2cos(A-B)cos(A- )cos(B- )

=1+cos(A-B)cos(A+B-2 )-2cos(A-B)cos(A- )cos(B- ) =1+cos(A-B)[cos(A+B-2 )-2cos(A- )cos(B- )] =1+cos(A-B)[cos(A+B-2 )-cos(A+B-2 )-cos(A-B)] =1- cos2(A-B)= sin2(A-B) ∴原式的值只与 A-B 的值有关,而与 的值无关.参考答案: 一、单选题 1.B 2.C 3.C 4.A 二、填充题

5.D

6.B 7.B

8.C

9.B

1.

2.

3.

4.-1

5.1

6.115°

7.

135°

8.

9.

10.


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