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吉林省实验中学2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理


吉林省实验中学 2016 届高三年级第二次模拟考试 数学(理科)学科试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分: 150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)两部分,

第I卷

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中 ,只有一项是符合题目要求的)

3+i 1.i 是虚数单位,复数 =( 1-i A.2+4i B. 1+2i

) C.-1-2i D.2-i

4 π 2.若 cosα =- ,α 是第三象限的角,则 sin(α + )=( 5 4 A.- 2 10 B. 2 10 7 2 C.- 10 D. 7 2 10

)

3.下列说法中,正确的是(

)

A.数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数

4.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 B.15 C.20 D.25



1

5.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是(

)

6.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t -t+2,质点做直线运动,则此物体 在时间内的位移为( A. 14 3 B. 17 6 ) 13 C. 6 11 D. 6

2

7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 且支出在上 单调递增,且满足 f(1-x)+f(1+x)=0,给出下列判断:①f(5)=0;②f(x) 在上是减函数 ; ③f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ; ④f(x)在 x=0 处取得最大值; ⑤f(x)没有最小值.其中正确判断的序号是________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , a, b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

2

18. (本小题满分 12 分) 某地宫有三个通道,进入地宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系 统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出地宫; 若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完地宫为止。令 ? 表示走出地宫所需的 时间。 (1)求 ? 的分布列; (2)求 ? 的数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4, BC=3, AD=5, ∠DAB=∠ABC=90°, E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱 锥 P-ABCD 的体积.

3

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 a 2 b2
o

A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB . (I) 求椭圆 C 的离心率; (II) 如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?

( x ? a) ln x , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x ?1

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直.
(1)求 a 的值; (2)若 ?x ? ? 1,???, f ( x) ? m( x ?1) 恒成立,求 m 的取值范围; (3)求证: ln 4 2n ? 1 ?

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

(n ? N * ) .

4

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并 延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原点为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ =2 (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程;

sinθ .

(Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

5

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

6

数学 (理科)学科答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 C 10 C 11 C 12 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 3 14. (0,1]

15.

20 11

16.

①②④

三.解答题

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即

a2 ? b2 ? c2 ? bc a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
……6 分

由余弦定理得 故

1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B) ?

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B)
……12 分

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

7

18. (本小题满分 12 分) (1) 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? 3 2 6 1 1 2 1 P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 2 3 P (? ? 1) ?


1 3



1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? 3 2 6
……8 分



分布列为:

?

1

3

4

6

P

1 3

1 6

1 6

1 3

……10 分 (2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 小时 3 6 6 3 2

……12 分

19. (本小题满分 12 分)
? 解法 1(Ⅰ如图(1) ) ,连接 AC,由 AB=4, BC ? 3 , ?ABC ? 90 ,得AC ? 5.

又AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE. ……6 分 ? PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD, 所以 PA ? CD.
而 PA, AE是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.

8

(Ⅱ)过点B作 BG ? ?CD, 分别与AE, AD相交于F , G, 连接PF. 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90? 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四 边形,故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?
8 5 . 5

AB2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

于是 PA ? BF ?

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

9

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).
(Ⅰ)易知 CD ? (?4, 2,0), AE ? (2, 4,0), AP ? (0,0, h). 因为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD ? AE ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所 以 CD ? AE, CD ? AP. 而 AP, AE 是 平
面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD ? 平面PAE. ……6 分

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

??? ? ??? ?

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD ? PB PA ? PB cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? . CD ? PB PA ? PB
由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

??? ?

??? ?

??? ?

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.
10

解得 h ?

8 5 . 5

……8 分

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2
……12 分

1 1 8 5 128 5 . V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? 3 3 5 15

20. (本小题满分 12 分) 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为

y ? 3( x ? c) ,其中 c ? a2 ? b2 .

? y ? 3( x ? c ), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (c ? 2a) ? 3b2 (c ? 2a) , y ? 2 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
??? ?

因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

??? ?

3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b 2
c 2 ? . a 3
……6 分

得离心率 e ?

1 2 4 3ab2 15 (Ⅱ)因为 AB ? 1 ? y2 ? y1 ,所以 ? 2 2? . 3 4 3 3a ? b


c 2 5 15 5 ? 得b ? a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . a 3 4 4 3

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

……12 分
11

21. (本小题满分 12 分) 答案: (1) a ? 0 (2) f ( x) ? ……3 分

x ln x , ?x ? ?1,?? ?, f ( x) ? m( x ? 1) x ?1 1 即 ?x ? ?1,?? ?, ln x ? m( x ? ) , ……5 分 x 1 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? ? 1,???, g ( x) ? 0 x

g ?( x) ?

1 1 ? m x2 ? x ? m ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

?若 m ? 0 , g ?( x) ? 0, g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 ?x ? ? ; 1,???, g ( x) ? 0 矛盾(舍)
2 2 ?若 m ? 0 ,方程 ? m x ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m ,

当 ? ? 0 ,即 m ?

1 时, g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 单调递减, 2

? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成立;
当0 ? m ?

1 2 时,方程 ? m x ? x ? m ? 0 的根 2

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 x1 ? ? 1, x2 ? ? 1, 2m 2m
当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾(舍) ; 综上所述, m ?

1 . 2

……8 分

(3)证明:由(2)知,当 x ? 1, m ?

1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立, 2 2 x 2k ? 1 2 k ? 1 1 2 k ? 1 2k ? 1 4k , k ? N * ,所以 ln ? ( ? )? 2 不妨令 x ? 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1 1 k ,k ? N* 故 ?ln?2k ? 1? ? ln( 2k ? 1)? ? 4 4k 2 ? 1
12

令 k ? 1,2,3? 累加即得结论。 ……12 分

22.(本小题满分 10 分)

1.证明: (Ⅰ)∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD,∵PD 为切线,∴∠PDA=∠DBA, ∵∠PGD=∠EGA, ∴∠DBA=∠EGA,∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,∴∠BDA=∠PFA, ∵AF⊥EP, ∴∠PFA=90°.∴∠BDA=90°,∴AB 为圆的直径;……5 分 (Ⅱ)连接 BC,DC,则∵AB 为圆的直径, ∴∠BDA=∠ACB=90°, 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, ∴Rt△BDA≌Rt△ACB,∴∠DAB=∠CBA, ∵∠DCB=∠DAB,∴∠DCB=∠CBA, ∴DC∥AB,∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∴∠DCE 为直角,∴ED 为圆的直径, ∵AB 为圆的直径,∴AB=ED. ……12 分

23. (本小题满分 10 分) 1.解: (I)由⊙C 的极坐标方程为 ρ =2 ∴ρ =2 配方为 (II)设 P
2

sinθ . ,

,化为 x +y = =3. ,又 C

2

2

……5 分 .
13

∴|PC|= 因此当 t=0 时,|PC|取得最小值 2

=

≥2



.此时 P(3,0) . ……10 分

24. (本小题满分 10 分) 【答案】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
……5 分

(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?3 ? a ? 0

……10 分

14


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