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反余割函数


反余割函数
y=arccscα

图中颜色较淡的为反余割函数

性质:1 定义域:{x|x<-1 或 x>1} 2 值域:{y|-π/2≤y<0,0<y≤-π/2 } 3 奇偶性:奇函数。 4 图像渐近线为:x=0

反正割函数
定义
简释:反正割函数是反三角函数的一

种 定义:由于反函数存在的条件为原函数单调,但 y=secx ,{x|x∈R,x≠π /2+kπ ,k∈ Z} 在定义域内不单调,所以我们定义:y=secx,x∈[0,π /2)∪(π /2,π ]的反函数 为反正割函数,记作 y=arcsecx ,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞) , y∈[0,π /2)∪(π /2,π ](注意:y 表示的是一个弧度制的角,自变量 x 是一个正割值) 对于反函数的理解(即为什么反函数存在的条件为原函数单调) :函数其实就是一 个数集 A 到另一个数集 B 的映射 f, (一般 A∈R,B∈R,A 、B 均不为非空集合) ,当且仅当 f 是一一映射时,它才有逆映射 f-1(-1 在 f 右上角,以下所有“f-1”均如此) 。显然 f-1 也是一一映射, 它也有逆映射 f。 因而 f 与 f-1 互为逆映射。 可见, 函数 y=f(x)与函数 x=f-1(y) 互为反函数。 由于习惯上常用 x 表示自变量, 表示函数, y 因而在函数 x=f-1(y)的表达式中, 一般都还要对调字母 x 和 y,把它改成 y=f-1(x)】 一一映射:设有映射 f:A→B,如果集合 B 中的每一个元素,在集合 A 中有且只有一 个原像。那么我们把具有这样特点的映射叫做集合 A 到集合 B 的一一映射 像与原像:设 A,B 是两个非空集合,如果根据某个确定的对应法则 f 使得对 A 中的 每一个元素 a,集合 B 中都有唯一的一个元素 b 和它对应,那么这种对应叫做集合 A 到集 合 B 的映射,记作 f:A→B。而 b 叫做 a(在 f 作用下的)的像,记作 b=f(a),a 叫做

(b 在 f 作用下)的原像。显然,原像集就是集合 A,而像集与 B 之间有关系 f(A)? B 性质 (1) 定义域: x∈(-∞,-1]∪[1,+∞) , 值域: y∈[0,π /2)∪(π /2,π ],当 x=-1 时,有最大值π , 当 x=1 时,有最小值 0。 (2) 单 调 性 : 由于正割函数 y=secx 在 [0,π /2)上单调递增,所以反正割函数 y=arcsecx 在 (-∞,-1]上单调递增。同理 反正割函数 y=arcsecx 在 [1,+∞) 上单 调递增。即单调递增区间:(-∞,-1]、[1,+∞) 【注意:绝对不能并起来】 (3) 对称中心:(0,π /2),故有 arcsec(x)+arcsec(-x)=π ,x∈(-∞,-1]∪[1, +∞) (4) 渐近线:直线 y=π /2 (5) 导数:y'=(x^2)√【1-(1/x^2) y'始终大于 0。 】 详细推导:

y'=x^2√【1-(1/x^2) 的推导 】 将其分段的答案合并即为 (x^2)√【1-(1/x^2) 】 基本思想为:原函数的导数= 其反函数导数的倒数,即 dy/dx=1/(dx/dy) 函数图像 由以上 y=arcsecx 的导数推导的图中,第一行 cosy=1/x,所以 y=arccos(1/x)。以此 作为理论依据在几何画板中作出 y=arcsecx 的图像。

y=arcsecx 的图像 自己作图:

我们知道这个结论:函数 f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线 y=x 对称 ①可以先画出函数 y=secx 在(-π /2,π /2)上的图像 ②用平板玻璃或透明纸画好图像, 翻转过来。 或根据另一结论: P(x0,y0)关于直线 y=x 点 的对称点为(y0,x0) ,描出数点后即可作出图形。 【取右图两条虚线之间的部分 作反函

数即可。 】


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