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高中数学正弦定理课件


?1.1

正弦定理

一、正弦定理 1.在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即①________=2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径). 2.正弦定理的三种变形 (1)a=2RsinA,②________,c=2RsinC; b c (2)③________,sinB= ,sinC= ; 2R 2R (3)a b

c=sinA B ④________.

友情提示:应用正弦定理要注意以下两点: (1) 正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关 系,是解三角形的重要工具; (2)正弦定理的证明除了用三角函数的定义法、 向量法外,还可以用三角形面积公式证明,即用 S 1 1 1 =2absinC=2bcsinA=2acsinB 给出证明.

? 二、解三角形 ? 1.解三角形时常用的结论 ? (1)在△ABC中,A>B?⑤________?⑥

________;(即在一个三角形中大边对大角) ? (2)a+b>c,b+c>a,⑦________;(即在 一个三角形中两边之和大于第三边,两边 之差小于第三边) ? (3)内角和定理:△ABC中,A+B+C=⑧ ________.

? 2.正弦定理的应用 ? 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角

形的问题: ? (1)已知两角和任意一边,求其他⑨ ________和⑩________; ? (2)已知两边和其中一边的对角,求? ________,从而进一步求出其他的边和 角. ? 对于第(1)类,其解是唯一确定的,一般先 由三角形内角和为180°求得?________, 再利用正弦定理求其余两边;

? 友情提示:在△ABC中,如果已知边a,b

和角A,解的情况讨论如下: ? 一般地,已知两边和其中一边的对角解三 角形,有两解、一解和无解三种情况. ? ①A为锐角,如下图:

? a<bsinA

a=bsinA

bsinA<a<b

a ≥b ? ?________解 ?________解 ?

? ②A为直角或钝角,如下图.

? ?________解

?________解 ? ________解 ________解

? 归纳列表如下:

答案: a b c ① = = sinA sinB sinC ④sinC ⑩一角 解 ⑤a>b ⑥sinA>sinB ②b = 2RsinB ⑦a+c>b a ③sinA = 2R

⑧180° ⑨两边 ?两解、 一解和无

?另一边的对角 ?一 ?两 24两解 ○

?第三个角 ?一 ?无

?无

?一

?无

2 1一 ○

22一解 ○

23无解 ○

? 1.正弦定理的推导方

法 ? 对正弦定理的推导, 我们可以从几何的角 度进行推导.如图, 以△ABC的顶点A为 原点,边AC所在的射 线为x轴的正半轴, 建立直角坐标系.

由三角函数的定义知,顶点 B 的坐标是(ccosA,csinA), 容易知道 AC 边上的高 BE 就是 B 点的纵坐标 csinA,于是 1 1 △ABC 的面积 S=2AC· BE=2bcsinA.

1 1 同理可得 S=2acsinB,S=2absinC. 1 1 1 ∴2bcsinA=2acsinB=2absinC. 1 将等式两边的式子都除以2abc, sinA sinB sinC 可得 = = , a b c a b c 即 = = . sinA sinB sinC

? 另外,我们也可以从△ABC的外接圆来进

行推导,如图.

? 当△ABC为直角三角形时,如图①所示,

其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB 上,R为外接圆的半径.

在 Rt△ABC 中,a=ABsinA=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC. a b c 所以sinA=sinB=sinC=2R. 当△ABC 为锐角三角形时,如图②所示,其外接圆 的圆心 O 位于△ABC 的内部, 连结 BO 并延长交圆 O 于 D,连结 CD,则∠D=∠A,BD=2R.

在 Rt△BCD 中,BC=a=2RsinD=2RsinA, 同理 b=2RsinB,c=2RsinC. a b c 所以 = = =2R. sinA sinB sinC 当△ABC 为钝角三角形时,如图③所示,其外接圆 的圆心 O 位于△ABC 的外部, 连结 BO 并延长交圆 O 于 D,连结 CD,则 BD=2R,∠D=∠A.

在 Rt△BCD 中,BC=BDsinD=2RsinA, 即 a=2RsinA.同理 b=2RsinB,c=2RsinC. a b c 所以 = = =2R. sinA sinB sinC 综上所述,在△ABC 中,设 R 为外接圆的半径, a b c 则有 = = =2R. sinA sinB sinC

下面,我们再运用向量的方法进行推导. ①当△ABC 为直角三角形时,∠C=90° ,已知 BC =a,AC=b,AB=c,如图①所示:

a b c=sinA, c=sinB. a b ∴sinA=sinB=c,又 sinC=sin90° =1, a b c ∴sinA=sinB=sinC.

②当△ABC 为锐角三角形时, 如图②, 过点 A 作单位 → ,则〈j,AB → 〉=90° → 向量 j 垂直于AC -∠A,又由图知,AC → =AB →. +CB 为了与图中有关角的三角函数建立联系, 我们在上面 等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,得到: → +CB → )=j· →, j· (AC AB → +j · → =j· →, ∴j· AC CB AB

→ |cos90°+ |j|| CB → |cos(90°- ∠C) = |j|· → 即 |j|| AC | AB |cos(90° -∠A), a c ∴asinC=csinA,∴ = . sinA sinC → 垂直的单位向量 j,可得: 同理,过点 C 作与CB c b a b c = ,∴ = = sinC sinB sinA sinB sinC

③当△ABC 为钝角三角形时,不妨设∠A>90° ,如图,过 → 垂直的单位向量 j, →〉 →〉 点 A 作与AC 则 〈j· AB =∠A-90° , 〈j· CB =90° -∠C. a b c 同理可证得sinA=sinB=sinC.

a b c 因此,对于任意的三角形均有:sinA=sinB=sinC.

a b c 对于正弦定理: 其中 R 为△ABC sinA=sinB=sinC=2R, 的外接圆的半径,要注意它的几个变式的应用. a b b c c a ① = , = , = ,asinB=bsinA, sinA sinB sinB sinC sinC sinA a sinA b sinB csinB = bsinC , csinA = asinC , b = sinB , c = sinC , a b =sinA B C, c

k1a+k2b+k3c a b c sinA=sinB=sinC=k1sinA+k2sinB+k3sinC(其中 k1、k2、 k3 不同时为零).

a b c ②设 = = =k, sinA sinB sinC 则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC, 确切地为:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中 R 为外接圆半径). a b c sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R. ③若 A>B,则 sinA>sinB;sinA>sinB,则 A>B. 1 1 1 abc ④S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB= 4R .

? 2.已知两边与其中一边的对角时,怎样

确定三角形解的个数? ? 利用数形结合和三角函数知识来分析.例 如:已知△ABC的两边a,b和角A解三角 形时,有以下方法: ? 方法一:可以作图,利用数形结合加以说 明.如下表所示:

? 具体解题时,作出已知角A,边长b,以点C

为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公 共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个 数.

方法二:根据三角函数的性质来判断. bsinA 由正弦定理,得 sinB= . a bsinA 当 a >1 时,则无解; bsinA 当 a =1 时,则有一解; bsinA 当 a <1 时,如果 a≥b,即 A≥B,则 B 一定为锐 角,则有一解;如果 a<b,即 A<B,则有两解.

[例 1]

在△ABC 中, 已知 a= 3, b= 2, B=45° ,

求角 A、C 和边 c.

? 分析:从方程的观点看,正弦定理有三个

等式,可视为三个方程,每个方程都含有 四个量,知其三个量,便可求得第四个 量.本题已知△ABC的两边和其中一边的 对角,运用正弦定理可求出角A,然后再 利用三角形内角和公式求得角C,进而求 出边c.

a b 解析:由正弦定理:sinA=sinB, asinB 3sin45° 3 得 sinA= = = . b 2 2 ∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , bsinC 2sin75° 6+ 2 c= sinB = sin45° = 2 ;

当 A=120° 时, C=180° -45° -120° =15° , bsinC 2sin15° 6- 2 c= sinB = sin45° = 2 . 6+ 2 综上可知,A=60° ,C=75° ,c= 2 , 6- 2 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2

? [变式训练1] 在△ABC中,c=10,A=45°, a c C= 30°,求 a、 b 和 B . 解析: ∵sinA= , sinC

csinA 10×sin45° ∴a= sinC = sin30° =10 2. B=180° -(A+C)=180° -(45° +30° )=105° , b c ∴ = . sinB sinC

csinB 10×sin105° ∴b= sinC = sin30° =20sin75° =20sin(45° +30° ) 6+ 2 =20× 4 =5( 6+ 2).

? [例2]

△ABC中,内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,已知b=5,∠B=30°,若c= ,解此三角形.

解析:∵b=5,c=5 3,∠B=30° , ∴C· sinB<b<c,∴△ABC 有两解, csinB 3 由正弦定理得:sinC= = , b 2 ∴C=60° 或 120° . 当 C=60° 时,A=90° ,易得 a=10, 当 C=120° 时,A=30° ,此时 a=b=5.

[变式训练 2] 在△ABC 中,(1)已知 a=3,c=3 3, A=30° ,求角 C 和边 b. c (2)已知 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 1-2a= sin?B-C? A+C ,求 cos 的值. 2 sin?B+C?

分析:主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中 三角变形的技巧.

3 3 解析:(1)∵A 为锐角,且 a<c,csinA= 2 <a, ∴本题有两解. csinA 3 由正弦定理得:sinC= a = 2 , ∴C=60° 或 120° ,此时 B=90° 或 30° , 相应地 b=6 或 b=3.

(2)由正弦定理以及 sinA=sin(B+C)得: sinC sin?B-C? 1- = , 2sinA sinA 2sinA-sinC=2sin(B-C), 则 4cosBsinC=sinC, 1 而 sinC≠0,∴cosB=4, 1 B 6 ∴1-2sin 2 =4,sin 2 = 4 , A+C π-B B 6 ∴cos 2 =cos 2 =sin 2 = 4 .
2B

?

[例3] 在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B= 2bccosB·cosC,试判断三角形的形状.

? 分析:已知条件中有边和角的混合关系,

可考虑利用边化角,从角的关系判断,也 可考虑角化边,从边的关系判断.

a b c 解析:由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R, 得 b=2RsinB,c=2RsinC. ∴原式化为 8R2sin2B· sin2C=8R2sinB· sinC· cosB· cosC. ∵sinB· sinC≠0, ∴sinB· sinC=cosB· cosC,即 cos(B+C)=0, ∴B+C=90° ,∴A=90° . 故△ABC 为直角三角形.

? [变式训练3]

在△ABC中,若acosA= bcosB,求证:△ABC是等腰三角形或直角 三角形. ? 分析:判断三角形形状通常从三角形内角 的关系确定,也可以从三角形三边关系确 定.本题可考虑把边化为角,寻找三角形 角与角之间的关系,然后予以判定.

a sinA 解析:由正弦定理得 = . b sinB a cosB 又 acosA=bcosB,即b=cosA, sinA cosB ∴sinB=cosA,即 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B. ∴2A=2B 或 2A=π-2B. π ∴A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

? [例4]

如图,D是直角△ABC斜边BC上一 点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

? (1)证明sinα+cos2β=0; ? (2)若AC=

DC,求β的值.

? 分析:根据等腰三角形的性质,内角和定

理,结合三角公式,正、余弦定理即可解 决. π π π
解析:(1)因为 α= -∠BAD= -(π-2β)=2β- , 2 2 2 π 所以 sinα=sin(2β- )=-cos2β. 2 即 sinα+cos2β=0.

(2)在△ADC 中,由正弦定理得 DC AC DC 3DC sinα=sin?π-β?,即sinα= sinβ , 所以 sinβ= 3sinα. 由(1)sinα=-cos2β, 所以 sinβ=- 3cos2β=- 3(1-2sin2β), 即 2 3sin2β-sinβ- 3=0. 3 3 π 解得 sinβ= 2 或 sinβ=- 3 ,因为 0<β<2, 3 π 所以 sinβ= ,从而 β= . 2 3

[变式训练 4]

在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、
2

π B C 所对的边,S 为△ABC 的面积,且 4sinBsin ( + )+ 4 2 cos2B=1+ 3. (1)求 B 的大小; (2)若 a=4,S=5 3,求 c 的值.

π B 解 析 : (1) 由 4sinBsin ( 4 + 2 ) + cos2B = 1 + 3 得
2

π 1-cos?2+B? 4sinB· +cos2B=1+ 3, 2 即 2sinB(1+sinB)+1-2sin2B=1+ 3, 3 所以 sinB= 2 . π 2π 因为 0<B<π,所以 B=3或 B= 3 .

1 (2)因为 a=4,S=5 3,由 S=2acsinB 2×5 3 2S 得 c=asinB= =5. 3 4× 2

? 解三角形的应用问题,通常都要根据题意,

从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然 后通过解这些三角形,得出三角形的边和角 的大小,从而得出实际问题的解.

? [例5]

(2009·辽宁卷)如图, A,B,C,D都在同一个与 水平面垂直的平面内,B, D为两岛上的两座灯塔的塔 顶.测量船于水面A处测得 B点和D点的仰角分别为 75°,30°,于水面C处测 得B点和D点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究 图中B,D间距离与另外哪 两点间距离相等,然后求B,

? 分析:本题考查了应用三角形知识求解实

际问题的能力.求解此类解三角形问题首 先要能够读懂题意,分析清楚题意,要能 够将实际问题转化为数学问题,即解三角 形问题.在具体求解过程中要能够明确三 角形中的边角关系,同时要注意多解情况 和计算的准确性. ? 解析:在△ACD中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ? 所以CD=AC=0.1, ? 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= sin15° = 20 , 3 2+ 6 因此,BD= ≈0.33 km. 20 故 B,D 的距离约为 0.33 km.

? [变式训练5]

如图,测量河对岸的塔高AB时, 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s, 并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.

解析:在△BCD 中,∠CBD=π-α-β. BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CDsin∠BDC s· sinβ ∴BC= = . sin∠CBD sin?α+β? s· tanθsinβ 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin?α+β?


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