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福建省福州八县(市)一中2012-2013学年高一下学期期末联考数学试题


福建省福州八县 (市) 一中 2012-2013 学年高一下学期期末联考

数学试题
满 分:150 分
一、选择题(每题 5 分,共 60 分。答案请写在答题卡上) 1、角 ? 的终边过点 P(-4,3) ,则 cos? 的值为( ) 。 4 A、4 B、-3 C、 ? 5 2、若 sin ? cos? ? 0, 则? 在( )

>A、第一、二象限 限 线 B、第一、四象限 C、第一、三象限

D、

准考证号:

3 5

D、第二、四象 ) 。

3、已知 M 是 ?ABC 的 BC 边上的中点,若 AB ? a 、 AC ? b ,则 AM 等于( A、

??? ?

?

??? ?

?

???? ?

1 (a ? b ) 2

?

?

B、

1 (a ? b) 2

?

?

C、?

1 (a ? b) 2
C、 ) 。

?

?

D、?

1 ? ? (a ? b) 2
D、?
1 2

3 1 7? ) 。 A、 B、? ?( 2 6 2 5、若扇形的圆心角α =2,弧长 l=4,则该扇形的面积 S=( A、2 B、2π C、4π
4、sin 6、要得到函数 y ? 2 tan(2 x ?



姓名:

3 2
D、4





?
4

) 的图像, 需要将函数 y ? 2 tan(2 x) 的图像(

) 。



高一年

? ? ? ? 个单位 B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 D、向右平移 4 4 8 8 个单位 ? ? ??? ? ??? ? ? ? 7、在 ?ABC 中, AB ? a, CB ? b, 且 a ? b ? 0 则三角形 ABC 是( ) 。
A、向左平移 A、锐角三角形
? ?

班 密

B、钝角三角形
? ? ?

C、等腰直角三角形
? ?

D、 直角三角形 ) 。 D、

8、已知 a, b 是单位向量,且 (a ? 2 b ) ? a ,则 a 与 b 的夹角是( A、 学校:

? 3

B、

? 2

C、

? 4
3 B、 4

2? 3
4 D、 3

sinα +cosα 9、若 =2,则 tan2α =( )。 sinα -cosα

3 A、- 4

4 C、- 3

10、 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? )的周期为 2
) 。

T,
在一个周期内的图象如图所示,则正确的结论是( A、 A ? 3, T ? 2? C、 T ? 4 ?, ? ? ? B、 B ? ?1, ? ? 2

? 6

D、 A ? 3, ? ?

11、如下图,在三角形 ABC 中 CN ? 3NA ,P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ?

????

??? ?

? 6

??? ?

??? ?

2 ???? AC ,则 13

1

实数 m 的值为(

) 。

A、

11 13

B、

12、已知向量 | OA |?| OB |? 1, OA, OB 的夹角为 夹角为

? ,则 | OC | 的最大值( )。 3
B、1 C、

2? , CA, CB 的 3

5 13

C、

8 13

D、

2 13

A、 3

3 2

D、2

二、填空题(每小题 4 分,四题 共 16 分。答案请写在答题卡上)
13. cos450 cos150 ? sin 450 sin 150 ? ______ 14.已知向量 a和b 的夹角为 120°,| a |=1,| b |=2,则| a ? b |等于

?

?

?

?

?

?

. 。

1 3? )? 15.已知 sin( ? ? ? ) ? ? , 则 cos( ? ? 3 2
交于点 P,且 ? ??0, ? ? . 设点 M 的坐标是 ( , 有两个零点的实数 k 的取值范围

16.已知角α 的顶点与直角坐标系原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆

???? ???? ? 1 3 ) ,求使得函数 f (a) ? OM ? MP ? k 的恰 2 2

三、解答题( 共 74 分

17-21 各 12 分

22 题 14 分)请在答题卡指定区域内作

答,解答时应按要求写出证明过程或演算步骤. ? 17、已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) , ? ? (1)求 a ? 2b 的坐标; ? ? ? ? (2)当 k 为何值时? ka ? b 与 a ? 2b 共线.
(3) 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 求 sin 2? 的值.

?

?

2

18、已知 cos ? =

2 5 3 10 ? , (? -?) cos = ,且0 ? ? ? ? ? . 5 10 2

(1)求 tan2 ? 的值; (2)求 ? 的值。

19、已知函数 f ( x) ? a cos 2 x ? b sin x cos x ? 3 , 且f (0) ? 3 , f ( ? ) ? ? 1 . 。 2 2 4 2 ⑴求ɑ和 b 的值; ⑵求 f(x)的单调递减区间; ⑶函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为偶函数。

20、已知函数 f ( x) ?

3 1 sin ? x ? cos ? x , x ? R . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与最值; (Ⅱ)用关键点法列表、描点作出函数 f ( x) 在区间[0,2]的图像。

3

21、在 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 中 , B 为 单 位 圆 在 第 一 象 限 内 圆 弧 上 的 动 点,

3 ?? ? A ?1,0? ,设 ?AOB ? x ? 0 ? x ? ? ,过 B 作直线 BC / /OA ,并交直线 y ? ? x 2? 3 ?
于点 C 。 (1)求点 C 的坐标 (用含 x 的式子表示) ; (2) 试求 ?ABC 的面积的最大值,并求出相应 x 值。

π 22、设函数 f(x)=Asin(2ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,-π <φ ≤π )在 x= 处取得最 6 π 大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 。 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f ( x) ? 3 ? 0 的解集; (3)求函数 g ? x ? ?

4 cos 4 x ? 2sin 2 x 的值域。 ?? ? f ?x? ? 6? ?

4

完卷时间:120 分钟

满 分:150 分

一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

三、解答题(74 分,17-21 题各 12 分,22 题 14 分)

18.已知 cos ? =

2 5 3 10 ? , (? -?) cos = ,且0 ? ? ? ? ? . 5 10 2

(1)求 tan2 ? 的值 (2)求 ? 的值 解: (1)? cos ? =
2 5 ? ,0 ? ? ? 5 2 5 5
5

… … 1分

? sin ? ?

… … 2分

5 sin ? 1 ? tan ? = = 5 = cos ? 2 5 2 5

… … 3分

1 2 tan ? 2 =4 ? tan 2? = = 2 1- tan ? 1-( 1 ) 3 2 2 2?

… … 6分

方法二:? 0 ? ? ? ? ?


?
2

?0 ? ? ?? ?

?
2

… … 7

? cos( ? ? ? ) ?
8分

3 10 10 ? sin( ? ? ? ) ? 10 10

… …

10 sin( ? ? ? ) 1 ? tan( ? ? ? ) ? ? 10 ? cos( ? ? ? ) 3 10 3 10

1 由(1)得t a n = ? 2

1 1 ? tan ? ? tan( ? ? ? ) ? tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? ? 2 3 ?1 1 ? tan ? tan( ? ? ? ) 1 ? 1 ? 1 2 3 ? ? ?0 ? ? ? ?? ? 2 4

… … 10 分

… … 12 分

6

19.解⑴由 f (0) ?

3 3 3 , 得a ? ? ,? a ? 3, 则a ? 3, 2 2 2

由 f( )??

?

4

1 3 b 3 1 ,得 ? ? ? ? ,? b ? 1, -------------------------------4 分 2 2 2 2 2
方 法 一 :
3 3 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos(2 x ? ). .---------------6 分 2 2 2 6



? f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin x cos x ?



2 k? ? 2 x ?


?
6

? ? ? 2k? , 得-

?
12

? k? ? x ?

5 ? ? k? , ( k ? Z ) 12

-------------------------------8

∴f(x)的单调递减区间是 [? 方
?f( ?
2

?
12

? k? ,

5 ? ? k? ] (k ? Z ) . -----------------------9 分 12

? ?3


? x? ) 3 ? 2


?? ?

? 3
2

? x

? -----6 分 1 c x

2

o



2 k? ?
---8 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得-

?
12

? k? ? x ?

5 ? ? k? , (k ? Z ) - --------------------------12 ( k ? Z ) 没写扣 1 分, 没写区间形式扣 1 分

∴f(x)的单调递减区间是 [? ⑶方法一:? f ( x) ? cos(2 x ? 象, 故函数 f (x) 的图象右移

?
12

? k? ,

5 ? ? k? ] (k ? Z ) . -----------------------9 分 12

?
6

) ,的图象向右移

? 即得到偶函数 f ( x) ? cos(2 x) 的图 12

? 后对应的函数成为偶函数-------------------------12 分 12
有移成偶函数都行 只要跟 COS 就成

? 方法二:? f ( x) ? ? sin(2 x ? ) ,的图像向右移 即得到偶函数 12 3
f ( x) ? ? sin 2( x ?

?

?x 有关

?
6

?

?
12

) ? ? sin 2( x ?

?
2

) ? cos(2 x) 的图像

故函数 f (x) 的图象右移 20.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 分

? 后对应的函数成为偶函数-------------------------12 分 12

? 3 1 sin ? x ? cos ? x = sin(? x ? ) .------------------2 6 2 2
∵x?R ∴ ?1 ? sin(? x ?

T?

2?

?

? 2 ------3 分

?
6

) ? 1,

∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,—1.--------------5 分
7

(2)? 0 ? x ? 2 则,列表如下

?

?
6

??x?

?
6

?

13? ----------------------7 分 6

?x?
x y

?
6

? 6
0

? 2 1 3
1

?
5 6
0

3? 2 4 3
-1

2?
11 6
0

13? 6
2

y

1 2

1 2

--------------------9 分

没标关键点扣`1 分。

o

x

------------------------12 分

8

9

22.解:(1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π,即 分

2? =π,解得 ω=1.--------------------- ---2 2?

π π 因 f(x)在 x= 处取得最大值 2,所以 A=2.从而 sin?2×6+φ?=1, ? ? 6 π π π 所以 +φ= +2kπ,k∈Z.又由-π<φ≤π 得 φ= . 3 2 6 π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?.------------------------------------------------------------4 分 ? ?

?? 3 ? ---------------------------------------------5 分 ?sin? 2 x ? ? ? 6? 2 ? ? ? 2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? k?z ------------------------------------6 分 3 6 3 ? ? ? ? k? ? x ? ? k? k?z -------------------------------------------------7 分 12 4 ( k ? Z ) 没写扣 1 分 ? ?? ? -----------------------------------------------8 分 ?原不等式的解集为 ? ?, ? k? ? k ? z ?12 4 ? ? 4 2 4 cos x ? 2sin x (3)g(x) g ? x ? ? ?? ? f ?x? ? 6? ? 4 2 4 4cos x ? 2sin x 4cos x ? 2cos 2 x ? 2 = = 2cos(2 x) 2(2cos 2 x ? 1)
(2)? f ?x ? ? 3 ? 0

? 2cos =

2

? cos2 x ? 1 =------10 2(2cos 2 x ? 1) ?cos2x≠1?.------11 分,因 cos2x∈[0,1],……12 分 2? ?
1 且 cos2x≠ ,…………13 分 2 故 g(x)的值域为 ?1, ? ? ? , 2? -------14 分 2 2

x ? 1?? 2cos 2 x ? 2 ?

? 3? ? ?

?3 ?

? ?

10


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