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初中八年级(下学期)导学案


八年级数学(下册)导学案

第十六章

分式

课题 16.1 分式 课时:三课时 第一课时 16.1.1 从分数到分式 【学习目标】 1. 会从实际问题抽象出分式的概念,理解分式的概念。 2. 能正确判断一个代数式是否为分式,能区分整式与分式。 3. 理解并掌握分式有意义的条件。 4. 通过对分式与分数的类比,学会运用

类比转化的思想方法研究数学问题。 【重点难点】 重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件。 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么是整式?什么是单项式?什么是多项式?

2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式? ⑴ x+2y/3 ⑵ a-b/π ⑶ 2/m+n ⑷ 2/3 (a?-b?) (5)2/a

学习新知:阅读教材 P2-P4 相关内容后回答, 1.一般地, A, 表示 用 B , 并且 B 中含有 , 式子 A/B 就叫做分式。 其中,A 叫做分式的 ,B 叫做分式的 ,因为零不能做除数,所以 不能为零。 2.当 x 时,分式 4/x-1 有意义。 3. 当 x 时,分式 x-1/x+1 的值为 0。 4. 当 x 时,分式 2/|x|-2 无意义。 【课堂练习】 1. 教材 p4 练习第 1,2,3 题。 2. 当 x 为何值时,分式 2-x/3x+2 无意义?

3. 当 x 为何值时,分式 x/x?-3x+2 的值为 0?

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4. 当 x 为何值时,分式 5/6-x 的值为 1?

5. 当 x 为何值时,分式 2/3+x 的值为负数? 【要点归纳】 与同伴交流一下,本节课你有哪些收获?

【拓展训练】 1. 当 x 为何值时,分式|x|-1/(x+3)(x-1)的值为 0?

2. 若不论 x 取何值时,分式 5/x?-2x+m 总有意义,试求 m 的取值范围?

3. 已知分式 k?-9/3k-9 的值为 0,试求关于 x 的函数 y=(k+2)x+(2-k)的图象与 x 轴,y 轴围成的三角形的面积。

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第二课时

16.1.2

分式的基本性质

【学习目标】 1. 通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质。 2. 能够灵活运用分式的基本性质进行分式的变形。 3. 会用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则。 【重点难点】 重点:理解并掌握分式的基本性质。 难点:灵活运用分式的基本性质进行分式变形。 【导学指导】 复习旧知: 1.下列分数是否相等?可以进行变形的的依据是什么? 2/3 4/6 8/12 16/24 32/48

2. 分数的基本性质是什么?试着用字母表示分数的基本性质。

3. 类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗?

学习新知: 阅读教材 P4-P5 相关内容,思考,讨论,交流后完成下列问题。 1. 分式的基本性质是什么?和你猜想的一样吗?它和分数的基本性质有什么异 同?

2. 你能用式子表示分式的基本性质吗?

【课堂练习】 1. 利用分式的基本性质,将下列各式化为更简单的形式。 (1)2bc/ac (2) (x+y)y/xy? (3)x?+xy/(x+y)?

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2. 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号。 (1)-2a/-3b (2) -3x/2y (3)- -x?/2a

3. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都为正数。 (1) x+1/-2x-1 (2) 2-x/-x?+3 (3)-x-1/x+1

【要点归纳】 1. 分式的基本性质是什么?运用分式的基本性质应注意什么?

2.经历分式基本性质得出的过程,从中学到了什么方法,受到什么启发?

【拓展训练】 1. 不改变分式的值,把下列分式的分子与分母各项的系数都化为整数。 (1) 1/2 x+ 1/3 y/ 1/2 x -2/3 y (2) 0.3a+5b /0.2a-b

2. 已知 x/2=y/3=z/4 ,求 2x+3y+4z/5x-2y 的值。

3.已知 x?+3x+1=0,求 x?+1/x? 的值。

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第三课时

16.1.2

分式的基本性质

【学习目标】 1. 类比分数的约分、通分,理解分式约分、通分的意义。 2. 类比分数的约分、通分,掌握分式约分、通分的方法与步骤。 【重点难点】 重点:运用分式的基本性质正确的进行分式的约分与通分。 难点:通分时最简公分母的确定;运用通分法则将分式进行变形。 【导学指导】 阅读教材 P6-P8 相关内容,思考,讨论,交流下列问题。 1. 做下列各题: (1) 4/64 (2)20/1280 你做这些题目的根据是什么?我们称为什么运算?

2.与分数的约分类似,你能把分式 4a/8a b 约分吗?分式约分的依据是什么?分 式约分约去的是什么?

2

3.什么叫做分式的约分?什么叫做最简分式?

4.把分数 1/2 , 3/4 , 5/6 通分。什么叫分数的通分?

5.类似于分数的通分,你能说出分式的通分吗?什么叫做最简公分母?

【课堂练习】 1. 教材 P8 练习 1、2 题。 2 2 2 2 2. 分式 4y+3x/2a , a -b /a-b ,m+n/m-n ,x -2xy/xy-2y 中是最简分式的有哪些?

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3. 约分: 2 2 (1) 2ab /20a b 2 2 2 2 (4)4x -8xy+4y /2x -2y

(2)

x -2x/x -4x+4

2

2

(3)

x -9/x -6x+9

2

2

4. 通分: 2 2 ( 1 ) x/6ab ,x/9a bc 2 3/3-2a ,2a+15/4a -9

(2) a-1/a +2a+1 ,6/a -1

2

2

(3) 2a/2a+3 ,

【要点归纳】 1. 什么是分式的约分?怎样进行分式的约分?什么是最简分式?

2. 什么是分式的通分?怎样进行分式的通分?什么是最简公分母?

3.你还有什么要和同伴交流的?

【拓展训练】 阅读下题的解答过程,并解决后面的问题。 2 2 已知 x+ 1/x =2 ,求 x + 1/x 的值。 2 2 2 解:将 x+ 1/x =2 两边平方得(x+ 1/x) =4 ,即 x + 2·x·1/x + 1/x =4 ,所 以 2 2 x + 1/x =4-2=2 2 2 2 问题:已知 y +y-1=0 ,求 y + 1/y 的值。

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课题

16.2

分式的运算
16.2.1

课时:五课时
分式的乘除

第一课时

【学习目标】 1. 通过类比分数的乘除运算法则,探究得出并掌握分式的乘除法法则。 2. 会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数划归能力。 3. 能解决一些与分式有关的简单实际问题。 【重点难点】 重点:分式的乘除法法则。 难点: 运用分式的乘除法法则对分子、 分母是多项式的分式进行乘除运算和符号变 化。 【导学指导】 阅读教材 P10-P12 内容,思考、讨论、交流完成下列问题。 1. 用语言描述分数的乘除法法则,并用字母表示出来。

2. 类比分数的乘除法法则,用语言描述分式的乘除法法则,并用字母表示出来。

3.在进行分式的乘除运算时,如果分式的分子、分母是多项式时,应该怎么办?分 式的乘除法对运算结果有什么要求?

【课堂练习】 1. 教材 P13 练习 1,2,3 题。 2. 计算: 2 2 2 (1) c /ab· a b /c

(2) – n /2m· 4m /5n

2

2

3

(3) y/7x ÷(- 2/x)

(4) -8xy ÷ 2y/5x

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(5) a -4/a -2a+1 · a -1/a +4a+4

2

2

2

2

(6) y -6y+9/y+2 ÷(3-y)

2

【要点归纳】 你在本节课中学习了哪些知识?有什么需要与同伴交流的?

【拓展训练】 2 2 1. 若 2a=3b ,则 2a /3b 等于( A. 1 B. 2/3
2

) C. 3/2
2 2

D. 9/6
2

2.先化简,再求值:a-1/a+2 ·a -4/a -2a+1÷ 1/a -1 ,其中 a 满足 a -a=0 .

3.通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西 瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看 3 成是均匀的,西瓜的皮厚都是 d,已知球的体积公式为 V=4/3 π R (其中 R 为球的半 径) 。那么: (1)西瓜瓤和整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤和整个西瓜的体积 的比是多少?(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?

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第二课时

16.2.1

分式的乘除

【学习目标】 1. 进一步熟悉分式的乘除法法则,会进行分式乘、除的混合运算。 2. 掌握分式乘方的运算法则,会进行简单的乘、除、乘方混合运算。 3. 在实际生产生活背景中运用分式的乘除解决一些问题,提高应用能力。 【重点难点】 重点:分式乘除、乘方的混合运算。 难点: (1) 乘、除、乘方混合运算中运算顺序以及结果符号的确定。 2 2 (2) 例 3 第 1 小题中比较(a-1) 与 a -1 的大小过程比较复杂,也是本节的难 点。 【导学指导】 复习旧知: 1. 分式的乘除法法则。

2. 乘方的意义。

学习新知: 阅读教材 P12“例 3”-P14 相关内容,思考、讨论、交流后完成下列问题。 1. 分式的乘方法则: 公式: 文字叙述: 2. 分式的乘除混合运算怎么做?

3. 分式的乘、除、乘方混合运算又怎么做?

4.“例 3”中, 比较两个分式的大小,当分子一样时,可以通过比较分母来比 2 2 较两个分式的大小,分母越大,分式越 ,为什么当 a>1 时, (a-1) =a -2a+1 会“<”a-2+1 呢?

5.到目前为止,幂的运算法则都有什么?

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【课堂练习】 1. 教材 P15 练习 1,2 题。 【要点归纳】 我们今天学习了哪些知识?你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1. 计算: 2 2 2 (1) ( xy-x )· xy/x -2xy+y ÷ 2y+x/xy · 1/x(2y-x)

x /x-y

2

(2)(x -4y ) ÷

2

2

(3) x +xy/x -xy ÷ (x+y) ÷ xy/y -xy × 1/d

2

2

2

(4) a ÷b÷ 1/b ÷c× 1/c÷d

2

2. 已知|a+4|+(b-9) =0,求 a +ab/b · a -ab/a -b 的值。

2

2

2

2

2

2

3.某中学的操场原来是长方形,后来将其长缩短了 10 米,宽增加了 10 米,使操场 变成了正方形。 (1)试用分式表示操场变化后于变化前的面积之比。 (2)若操场扩大后的面积不小于原来面积的 2 倍,求正方形操场的边长至多是多 少米?(精确到米)

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第三课时

16.2.2

分式的加减

【学习目标】 理解并掌握分式的加减法则,并会运用它们进行分式的加减运算。 【重点难点】 重点:运用分式的加减运算法则进行运算。 难点:异分母分式的加减运算。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么叫通分?通分的关键是什么?

2. 什么叫最简公分母?

学习新知: 阅读教材 P15-P16 相关内容,思考,讨论,交流后完成下列问题。 1. 分数的加减运算法则是什么?计算下列各式:

(1)1/5 + 2/5

(2) 1/5 – 2/5

(3) 1/2 + 1/3

(4) 1/2 – 1/3

2. 类比分数的加减法,你能猜想出分式的加减法法则吗?分别用语言和式子表 示分式的加减法法则。

【课堂练习】 1. 教材 P16 练习 1、2 题。 2. 计算: (1) 3a/a-b + 5a/b-a 4/3-x

(2)5a/2a+3b + 4b/-2a-3b

(3) x+2/x-3 –

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(4) 4/x-1 – 9/2x+1

(2) 5/x?-9 + 7/x+3

(3) a?/a-1 –a-1

【要点归纳】 今天我们学习了哪些知识?你有什么收获?还有什么疑惑?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1. 已知 ab/a+b = 1/3 , bc/b+c = 1/4 ,ca/c+a = 1/5 ,求 abc/ab+bc+ca 的值。

2.计算:1/1-x + 1/1+x + 2/1+x? + 4/1+x – 8/1-x

4

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3.某车间师傅小李和小王生产同一种零件,小李比小王每小时多生产 8 个。现在要 求小李生产出 168 个这种零件,要求小王生产出 144 个这种零件,他们两谁先完成任 务呢?

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第四课时

16.2.2

分式的加减

【学习目标】 1. 明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算。 2. 能灵活运用运算律简便运算。 【重点难点】 重点:熟练地进行分式的混合运算。 难点:熟练地进行分式的混合运算。 【导学指导】 复习旧知: 1. 我们已经学习了分式的哪些运算?

2.分式的乘除运算主要是通过 行的。 3.分数的混合运算法则是什么?

进行的, 分式的加减运算主要是通过



学习新知: 阅读教材 P17-P18 相关内容,思考讨论,合作交流完成下列问题: 与分数类似,分式的混合运算法则是什么?

【课堂练习】 1. 教材 P18 练习 1、2 题。 2. 计算: 2 (1)x /x-1 –x-1

(2) (1- 2/x+1) ÷ x-1/x+1

2

(3)(1/x-y +1/x+y)÷xy/x -y

2

2

(4)( x+2/x -2x – x-1/x -4x+4) ÷ 4-x/x

2

2

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(5)x/x-y·y /x+y – x y/x -y ÷ x /x +y

2

4

4

4

2

2

2

【要点归纳】 今天你学到了什么知识?有什么收获?有什么疑问?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1. 阅读例题:计算 1/x(x+1) + 1/(x+1)(x+2) + 1/(x+2)(x+3) 解:原式=1/x – 1/x+1 + 1/x+1 – 1/x+2 + 1/x+2 -1/x+3 =1/x – 1/x+3 =3/x(x+3) 请仿照上题, (1)计算 2/(x+1)(x+3) + 2/(x+3)(x+5) + 2/(x+5)(x+7)

(2) 计算 3/(x+1)(x+4) + 3/(x+4)(x+7) + 3/(x+7)(x+10)

你发现什么了,验证一下,然后与同伴交流。

2.若 3x-5/(x-3)(x+1)=A/x-3 + B/x+1,求 A、B 的值。

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第五课时

16.2.3

整数指数幂

【学习目标】 -n n 1. 知道负整数指数幂 a =1/a (a≠0,n 是正整数). 2. 掌握整数指数幂的运算性质。 3. 会用科学计数法表示小于 1 的数。 【重点难点】 重点:掌握整数指数幂的运算性质;会用科学计数法表示小于 1 的数。 难点:负整数指数幂的性质的理解和应用。 【导学指导】 阅读教材 P18-P22 相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。 1.回忆正整数指数幂的运算性质: (1) 同底数的幂的乘法: (2) 幂的乘方: (3) 积的乘方: (4) 同底数的幂的除法: (5) 分式的乘方: 2.回忆 0 指数幂的规定: 3.探索负整数指数幂的运算性质: (1)仿照同底数幂的除法公式来计算: 2 5 3 7 5 ÷5 = 10 ÷10 = (2)利用约分计算这两个式子: 2 5 2 5 2 2 3 3 3 7 3 7 3 3 4 4 5 ÷5 =5 /5 =5 /5 ×5 =1/5 10 ÷10 =10 /10 =10 /10 ×10 =1/10 由此,我们得到 5= 10= (3) 负整数指数幂的运算法则:

3. 探索用科学计数法表示小于 1 的数: -1 -2 -3 -4 -5 由:10 =0.1;10 = ;10 = ;10 = ;10 = -n 归纳:10 = 应用:0.000021=2.1×0. =2.1×10 【课堂练习】 1. 教材 P21 练习第 1、2 题。 2. 教材 P22 练习第 1、2 题。 3. 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式。 -2 -2 -3 2 2 -2 (1)2(a-1) bc (2)2/3 (x-y) (y-z) (3)-5x (y-z)



(4)x y (x y)

2 3

-1

3

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4. 用科学计数法表示下列各数: (1)光的速度是 300000000 米/秒; (2)银河系中的恒星约有 160000000000 个; (3)0.000054 (4)-0.000786 (5)-0.0020008

【要点归纳】 本节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?

【拓展训练】 -x y z+2 1.已知 3 =27, (2/3) =9/4,5 =1 求 x,y,z 的值。

2.比较(-2/3) ,-(2/3) , (2/3) 的大小。

-3

3

-3

4. 请你化简下面的算式并求出 S 的值。 -1 -2 -3 -2009 S=1+2 +2 +2 +??+2

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课题

16.3

分式方程

课时:三课时

第一课时 16.3 分式方程 【学习目标】 1. 理解分式方程的意义。 2. 了解解分式方程的基本思路和解法。 3. 理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法 【重点难点】 重点:解分式方程的基本思路和解法。 难点:理解解分式方程时可能无解的原因。 【导学指导】 阅读教材 P26-P29 相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。 1. 什么是分式方程?它与我们学过的整式方程有何不同?

2. 我们已经会解整式方程,对于我们今天新学的分式方程,我们能否把它转化成 我们会解的整式方程来做呢?应该怎样转化呢?

3.在将分式方程变形为整式方程时, 有时可能产生不适合原分式方程的解 (或根) , 为什么会产生增根呢?

【课堂练习】 1. 教材 P29 练习题。 2. 指出下列方程中哪些是分式方程?哪些不是分式方程?为什么? (1)2x/3 + x-1/2 = 6 (2) x – 1/x = 2 (3)1/2x+1 –1=0 -1/3x=5

(4)1/2x

3. 解下列方程: (1)3/x-2 + x/2-x =-2 + x/2-x=0

(2) 1/x+1=2/x-1

(3)1/x-1 + 2x/x+1=2 (4)2/x-2

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【要点归纳】 今天我们学了哪些知识?你有什么收获?还有什么疑问?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1.若方程 x-3/x-2=m/2-x 无解,求 m 的值。

2.已知 x=3 是方程 x-1/k-2=1 的解,求 k 的值。

3.阅读下列材料:关于 x 的方程 x + 1/x=c + 1/c 的解是 x1=c,x2=1/c; x - 1/x=c - 1/c 的解是 x1=c,x2=-1/c; x + 2/x=c + 2/c 的解是 x1=c,x2=2/c; x + 3/x=c + 3/c 的解是 x1=c,x2=3/c;?? (1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于 x 的方程 x + m/x=c + m/c 的解是什么? 并利用“方程的解”的概念进行验证。 (2)由上述的观察、比较、猜想、验证可以得出结论:如果方程的左边是未知数与 其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的未知数换成某个 常数, 那么这样的方程可以直接得解。 请利用这个结论, 解关于 x 的方程: + 2/x-1=a x + 2/a-1

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第二课时

16.3 分式方程

【学习目标】 1. 掌握含有字母系数的分式方程的解法。 2. 进一步了解分式方程产生增根的原因,理解分式方程若有增根,则增根一定是 使分式的分母为 0 时的未知数的值。 3. 能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。 【重点难点】 重点:含有字母系数的分式方程的解法。 难点:正确运用题设条件解含有字母系数的分式方程。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么叫分式方程?

2. 解分式方程的一般步骤是什么?

3.什么叫做分式方程的增根?为什么会产生增根?

学习新知: 1. 从 2009 年 9 月起某列车平均提速 v 千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶 s 千米,提速后比提速前多行驶 50 千米,提速前列车的平均速度为多少? 分析:这里的 v,s 表示已知数据,设提速前列车的平均速度为 x 千米/时,则 提速前列车行驶 s 千米所用的时间为 小时,提速后列车的平均速度为 千米/时, 提速后列车运行 s+50 千米所用的时间为 小时。 根据行驶时间的等量关系可以列出方程 。 这里,x 是未知数,字母 s,v 是已知数,上述方程是含有字母系数的分式方程。 2.如何解含有字母系数的分式方程呢? 解分式方程; 类似的,只把 x 当成未知数,s 像 300,v 像 10 是已知数,我们可以解下面的含有 字母系数的分式方程: 300/x=300+50/x+10 s/x=s+50/x+v

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【课堂练习】 1. 教材 P32 习题 16.3 第 2 题。 2. 照相机成像应用了一个重要的光学原理,即 1/f=1/u + 1/v (f≠v)。其中 f 表 示照相机镜头的焦距,u 表示物体到镜头的距离,v 表示胶片(像)到镜头的距 离。如果一架照相机 f 已固定,那么就要依靠调整 u,v 来使成像清晰,问在 f,v 已知的情况下,怎样确定物体到镜头的距离 u?

【要点归纳】 今天我们学习了哪些知识?你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1.当 a 为何值时,分式方程 x/x-3=2 + a/x-3 会产生增根?

2.若 1/2y+3y+7 的值为 1/8,求 1/4y+6y-9 的值。

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第三课时

16.3

分式方程

【学习目标】 1. 进一步熟练的解可化为一元一次方程的分式方程。 2. 能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。 【重点难点】 重点:审明题意设未知数,列分式方程。 难点:在不同的实际问题中,设未知数列分式方程。 【导学指导】 复习旧知: 1. 解分式方程的步骤是什么?

2. 列方程解应用题的步骤是什么?

3. 我们学过哪几种类型的应用题?每种类型的基本公式是什么? (1) 行程问题:

(2) 数字问题:

(3) 工程问题:

(4) 顺水逆水问题:

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(5) 利润问题:

学习新知: 阅读教材 P29-P31 相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。 1. 讨论完成例 3,例 4。 2. 看看它们分别属于我们学过的哪种类型的应用题。与我们以前列的方程有什么 异同?

【课堂练习】 1. 教材 P31 练习第 1、2 题。 2. 轮船顺水航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同。已知水 流的速度是 3 千米/时,求轮船在静水中的速度。

【要点归纳】 本节课学习了哪些知识?你有什么收获与疑惑?与同伴交流一下。

【拓展训练】 某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召,在本乡建起了农民文 化活动室,现要将其装修,若甲、乙两个装修公司合作需要 8 天完成,需要工钱 8000 元;若甲公司单独做 6 天后,剩下的由乙公司来做,还需要 12 天完成,共需要工钱 7500 元。若只选一个公司单独完成,从节约角度考虑,该乡是选甲公司还是还是乙公

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司?请你说明理由。

本章小结
一、画出本章知识结构图。

二、本章相关知识。 1.分式的概念:

2.分式的基本性质:

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分式的基本性质是分式约分和通分的理论依据。 3. 分式的乘除法法则:

4. 分式的加减法法则: (1) 同分母分式的加减法法则: (2) 异分母分式的加减法法则: 5. 分式的混合运算顺序:

6.分式方程的解法:

三、做一做。 1.当 x= 时,分式 1/x-3 没有意义;若分式|x|-1/x+1 的值为 0,则 x 的值 为 。 2.下列运算中,错误的是( ) 2 2 A. a/b=ab/b B.ab/b =a/b C.0.5a+b/0.2a-0.3b=5a+10b/2a-3b D.a/b=ac/bc 2 2 2 3.已知 x -5x+1=0,求出 x + 1/x 的值。

4.已知 x/y=2/3,求出 x -y /x -2xy+y ÷ xy+y /2x -2xy 的值。

2

2

2

2

2

2

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5.解方程。 (1)5/x-1 + 3=x/x-1

(2)x-1/x+1 + 2x/1-2x=0

6.若分式方程 a/x-2 + 1/x-4 + 2=0 有增根 x=2,求 a 的值。

7.甲、乙两组学生去距学校 5.5 千米的敬老院打扫卫生,甲组学生步行出发半小时 后,乙组学生骑自行车开始出发,结果两组学生同时到达敬老院,如果步行的速度是 骑自行车的速度的 1/3,求步行和骑自行车的速度各是多少?

第十七章 课题 17.1.1

反比例函数 课时: 一课时

反比例函数的意义

【学习目标】 1. 理解并掌握反比例函数的概念。 2. 会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3. 会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】

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重点:理解反比例函数的意义,确定反比例函数的表达式。 难点:反比例函数的意义。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么是常量?什么是变量?函数是如何定义的?

2. 我们学过哪几种函数?每一种函数形式怎样?

3. 写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数. (1) 梯形的上底长是 2,下底长是 4,一腰长是 6,则梯形的周长 y 与另一腰长 x 之间的函数关系式。

(2) 某种文具单价为 3 元,当购买 m 个这种文具时,共花了 y 元,则 y 与 m 的 关系式。

学习新知:阅读教材 P39-P40 相关内容,思考,讨论,合作交流完成下列问题。 1. 什么是反比例函数?反比例函数的自变量可以取一切实数吗?为什么?

2. 仔细观察反比例函数的解析式 y=k/x,我们还可以把它写成什么形式?

3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数, 我们是用什么方法求它们的解析式的? 以此类推,我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。

【课堂练习】 1. 下列等式中 y 是 x 的反比例函数的是( ) ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑦y=-√2/x

⑤y=5/x+2

⑥y=x/2

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⑧y=-3/2x 2. 已知 y 是 x 的反比例函数,当 x=3 时,y=7, (1) 写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当 x=7 时,y 等于多少?

【要点归纳】 通过今天的学习,你有哪些收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 3-|m| 1.函数 y=(m-4)x 是反比例函数,则 m 的值是多少?

2.若反比例函数 y=k/x 与一次函数 y=2x-4 的图象都过点 A(m,2) (1)求 A 点的坐标; (2)求反比例函数的解析式。

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课题:17.1.2

反比例函数的图象和性质
第一课时 反比例函数的图象和性质的认识

课时:二课时

【学习目标】 1. 体会并了解反比例函数图象的意义。 2. 能用描点的方法画出反比例函数的图象。 3. 通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质。 【重点难点】 重点:画反比例函数的图象;探索并掌握反比例函数的主要性质。 难点:画反比例函数的图象;理解反比例函数的性质,并能初步运用。 【导学指导】 复习旧知: 1. 根据上节课的学习,说说反比例函数的意义和如何用待定系数法求反比例函数 的解析式。

2.用描点法画函数图象的步骤是什么?

3. 我们研究一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象是什么?性质有哪些?正 比例函数呢?

学习新知: 1. 在同一个平面直角坐标系中用不同颜色的笔画出反比例函数 y=6/x 和 y=-6/x 的 图象。并思考, (1) 从以上作图中,发现 y=6/x 和 y=-6/x 的图象是什么? (2) y=6/x 和 y=-6/x 的图象分别在第几象限? (3) 在每一个象限 y 随 x 是如何变化的? (4) y=6/x 和 y=-6/x 的图象之间的关系?

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2.请同学们自己给 k 赋值,再画一组反比例函数的图象,看看是不是反比例函数 y=k/x(k 为常数,k≠0)的图象都有类似的性质?思考:影响反比例函数的图象的 因素主要是什么?图象和坐标轴是否有交点?

【课堂练习】 1.教材 P43-P44 练习第 1,2 题。 2.已知反比例函数 y=4-k/x,分别根据下列条件求 k 的取值范围。 (1) 函数图象位于第一、三象限; (2)函数图象的一个分支向左上方延 伸。

【要点归纳】 通过今天的学习,你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】

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1.已知反比例函数 y=(2-a)x 中,y 随 x 的增大而减小,则 a= . 2.反比例函数 y=m/x 的图象的两个分支在第二、四象限,则点(m,m-2)在第 象 限。 3.如图是三个反比例函数 y=k/x,y=k/x,y=k/x,在 x 轴上方的图象,由此观察得到 k1,k2,k3 的大小关系是 。

|a|-3

第二课时

反比例函数的图象和性质的应用

【学习目标】 1. 进一步理解和掌握反比例函数的图及其性质。 2. 结合函数图象,能利用待定系数法求函数关系式,并能比较大小。 3. 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。 【重点难点】 重点:灵活运用反比例函数的性质。 难点:利用数形结合的思想比较大小及求函数关系式。 【导学指导】 复习旧知: 1.反比例函数 y=-2/x 的图象在第 象限,在每个象限中 y 随 x 的增大而 。 2.已知反比例函数 y=m/x 的图象位于一、三象限,则 m 的取值范围是 。 3.已知点(-3,1)在双曲线 y=k/x 上,则 k= . 4.面积为 4 的三角形 ABC,一边长为 x,设这条边上的高为 y,则 y 与 x 的变化规律 用图象表示大致为 ( )

5.已知 y 是 x 的反比例函数,当 x=3 时,y=-2, (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)求当 x=-2 时 y 的值; (3)求当 y=4 时 x 的值。

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学习新知: 1. 已知反比例函数的图象经过点 A(2,6) , (1) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大如何变化? (2) 点 B(3,4) 、点 C(-5/2,-24/5) 、点 D(2,5)是否在函数图象上?

2.下图是反比例函数 y=m-5/x 的图象的一支,根据图象回答下列问题: (1)图象的另一支在哪个象限?常数 m 的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(a,b)和 B(a1,b1).如果 a>a1,那么 b 和 b1 有怎样的大小关系?

【课堂练习】 1. 教材 P45 练习第 1,2 题。 2. 比较练习第 1 题与学习新知的第 1 题,你发现了什么?

3. 比较练习第 2 题与学习新知的第 2 题,你发现了什么?

【要点归纳】 通过本节课的学习,你有什么收获?还有什么疑惑?与同伴交流一下。

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【拓展训练】 如图,在反比例函数 y=6/x 的图象上任取一点 P,过 P 点作 x 轴和 y 轴的垂线,垂 足分别是 N,M,那么四边形 ONPM 的面积是多少?

课题

17.2

实际问题与反比例函数
第一课时 实际问题与反比例函数

课时:四课时

【学习目标】 1. 运用反比例函数的概念和性质解决实际问题。 2. 利用反比例函数求出问题中的值。 【重点难点】 重点:运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。 难点:把实际问题转化为反比例函数这一数学模型。 【导学指导】 复习旧知: 1. 反比例函数的意义、图象和性质。

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2. 已知 y 是 x 的反比例函数,当 x=3 时,y=-5, (1) 写出 y 与 x 的函数关系式; (2) 求当 y=2/3 时 x 的值。

前面我们学习了反比例函数的意义、 图象及其性质, 今天我们将研究如何利用反比 例函数来解决实际问题。 学习新知: 1. 某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、 迅速通过湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干木板,构筑成一条临时通道,从 而顺利完成了任务。 (1) 你能理解这样做的道理吗? (2) 若人和木板对湿地地面的压力合计 600 牛,那么如何用含 S 的代数式表示 p?p 是 S 的反比例函数吗?为什么? 2 (3) 当木板面积为 0.2m 时,压强多大?当压强是 6000Pa 时,木板面积多大?

2. 教材例 1。 【课堂练习】 1.教材 P54 练习第 1 题。 2.一个面积为 42 的长方形,相邻两边长分别为 x 和 y,写出 x 与 y 的关系式并画出 图象。小红的解答:y 与 x 的函数关系式是 y=42/x,画出的图象如下图所示。小红的解 答对吗?为什么?

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八年级数学(下册)导学案

【要点归纳】 今天你有什么收获?还有什么疑惑?与同伴交流一下。

【拓展训练】 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价 x(元) 与日销售量 y(张)之间有如下关系: X(元) Y(张) 3 20 4 15 5 12 6 10

(1) 猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系。 (2) 设经营此贺卡的利润为 w 元。试求出 w 与 x 间的函数关系。若物价局规定 此贺卡的售价最高不能超过 10 元/个,请你求出当日销售单价 x 定为多少 元时,才能获得最大日销售利润?

第二课时

实际问题与反比例函数
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八年级数学(下册)导学案

【学习目标】 1. 进一步体验现实生活与反比例函数的关系。 2. 能解决确定反比例函数中常数 k 值的实际问题。 3. 进一步运用反比例函数的概念和性质解决实际问题。 【重点难点】 重点:运用反比例函数的知识解决实际问题。 难点:如何把实际问题转化我数学问题,利用反比例函数的知识解决实际问题。 【导学指导】 复习旧知: 1. 反比例函数的意义、图象和性质。

2. 利用待定系数法求解问题的思路。

学习新知: 自主学习教材 P51 例 2 后,讨论、交流合作完成下列问题。 1. 在例 2 中,什么是不变的?由此我们可以得到一个怎样的等量关系?这是我们 学过的什么函数?为什么?

2.今天的例 2 求出的反比例函数和昨天的例 1 求出的反比例函数有什么不同?那么 例 2 的第 2 问应如何解决?

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P54 练习第 2 题。 2. 某蓄水池的排水管每小时排水 8 立方米,6 小时可将满池水全部排空。 (1) 蓄水池的容积是多少? (2) 如果增加排水管,使每小时的排水量达到 Q 立方米,将满池水排空所需要的 时间为 t 小时,求 Q 与 t 之间的函数关系式。 (3) 如果准备在 5 小时内将满池水排空,那么每小时排水量至少为多少? (4) 已知排水管的最大排水量为每小时 12 立方米,那么最少多长时间可将满池 水全部排空呢?

【要点归纳】 今天你有哪些收获,与同伴交流一下。

【拓展训练】 一辆汽车从甲地开往乙地,汽车速度 v 随时间 t 的变化情况如图所示。 (1) 甲乙两地的路程是多少? (2) 写出 t 与 v 的函数关系式。 (3) 当汽车的速度是 75 千米/时时,所需时间是多少? (4) 如果准备在 5 小时之内到达,那么汽车的速度最少是多少?

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第三课时

实际问题与反比例函数

【学习目标】 1. 掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科整合思想。 2. 通过解决“杠杆原理”实际问题与反比例函数关系的探究,能够从函数的观点 来解决实际问题。 【重点难点】 重点:运用反比例函数的知识解决实际问题。 难点:如何把实际问题转化成数学问题,利用反比例函数的知识解决实际问题。 【导学指导】 希腊科学家阿基米德发现“杠杆定律”后,豪言壮志地说:给我一个支点我能撬 动这个地球。 杠杆定理:若两个物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡, 通俗点说:阻力×阻力臂=动力×动力臂 学习新知: 自主学习教材 P52 例 3,讨论、交流合作完成下列问题。 1. 例 3 中,相等关系是什么?由此得到一个什么等式?它是什么函数关系?

2. 例 3 第(2)中,至少是什么意思?如何解决?

3. 用反比例函数的知识解释,我们在使用撬棍时,为什么动力臂越长越省力?

4. 希腊科学家阿基米德发现“杠杆定律”后说的撬动地球,请同学们帮他计算一

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八年级数学(下册)导学案

下: 25 假定地球的质量的近似值是 6×10 牛顿(即为阻力) ,假设阿基米德有 500 牛顿的力 量(即为动力) ,阻力臂为 2000 千米,计算多长的动力臂才能把地球撬动?

5.同学们还能否举出我们生活中经常碰到的具有“杠杆定律”的物理模型?

【课堂练习】 1. 教材 P54 习题 17.2 第 4 题。 2. 教材 P55 习题 17.2 第 5 题。 【要点归纳】 本节课你有哪些收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 教材 P55 习题 17.2 第 7 题。

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第四课时

实际问题与反比例函数

【学习目标】 1. 体验现实生活与反比例函数的关系。 2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科整合思想。 3. 通过解决电学中的问题与反比例函数关系的探究,能够从函数的观点来解释生 活中的一些规律。 【重点难点】 重点:运用反比例函数的知识解释生活中的一些规律和解决实际问题。 难点:如何把实际问题转化为数学问题,利用反比例函数的知识解决实际问题。 【导学指导】 通过对教材 P53 内容的自主学习,与同伴的合作交流后,完成下列问题。 1.电学知识告诉我们,用电器的输出功率 P(瓦) 、两端的电压 U(伏)及用电器的 2 电阻 R(欧姆)有如下关系:PR=U ,这个关系也可以写成 P= 。或 R= 。说 明P与R是 函数关系。 2.仔细研究例 4 后,想一想,为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的 转速可以调节?

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P55 习题 17.2 第 5 题。 2. 一封闭电路中,电流 I(A)与电阻 R(Ω )的图象如下图,回答下列问题: (1) 写出电路中电流 I(A)与电阻 R(Ω )之间的函数关系式。 (2) 如果一个用电器的电阻为 5Ω ,其允许通过的最大电流为 1A,那么这个用 电器接在这个封闭电路中,会不会烧毁?说明理由。

【要点归纳】 与同伴交流一下你今天的体会。

【拓展训练】

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八年级数学(下册)导学案

为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y 与 x 成反比例(如图)现测得药物 8 分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克, 请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,写出 y 与 x 的函数关系式,自变量 x 的取值范围,药物燃烧后, 写出 y 与 x 的函数关系式。 (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时,员工方可进办公室, 那么从消毒开始,至少需要经过几分钟后,员工才能回到办公室? (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

本章小结
一、画出本章的知识结构图。

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二、本章的相关知识: (一)反比例函数的意义

(二)反比例函数的图象和性质:

(三)反比例函数的应用:

三、做一做。 3-m2 1.函数 y=(m-2)x 是反比例函数时,则 m 的值是多少?

2.如图,Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y=k/x 与直线 y=-x+(k+1)在第四象限的交点, AB⊥x 轴于 B,且 S△ABO=3/2。(1)求这两个函数的解析式;

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八年级数学(下册)导学案

(2)求直线和双曲线的两个交点 A,C 的坐标和△AOC 的面积。

3. 某水库蓄水 160 万立方米,由于连降大雨,水库的蓄水量达到了 190 万立方米, 为保证安全,该区地防洪部门决定开闸放水,使水库蓄水量回到 160 万立方米。 (1) 写出放水时间 t(天)与放水量 a(万立方米/天)之间的函数关系。 (2) 如果每天放水 6 万立方米,几天可以使水库的蓄水量回到 160 万立方米?

4. 你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中渗透着数学知识:一定体积的面团做 2 成拉面,面条的总长度一(m)是面条的粗细(横切面积)x(mm )的反比例函数, 其图象如图。 (1) 写出 y 与 x 的函数关系式。 (2) 若面条的粗细应不小于 1.6mm 时,面条的总长度最长是多少?

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第十八章

勾股定理

课题 18.1 勾股定理 课时:4 课时 第一课时 勾股定理 【学习目标】 1. 了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。 2. 了解利用拼图验证勾股定理的方法。 3. 利用勾股定理,已知直角三角形的两边求第三边的长。 【重点难点】 重点:探索和体验勾股定理。 难点:用拼图的方法验证勾股定理。 【导学指导】 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家,相传 2500 年以前,他在朋友家做客时,发现朋 友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。 是什么呢?我们来研究一下吧。 阅读教材 P64-P66 内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题。 1. 请同学们观察一下,教材 P64 图 18.1-1 中的等腰直角三角形有什么特点?请用 语言描述你发现的特点。

2. 等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也满足这种特 点?你能解决教材 P65 的探究吗?由此你得出什么结论?

3. 我们如何证明你得出的结论呢?你看懂我国古人赵爽的证法了吗?动手摆一 摆,想一想,画一画,证一证吧。

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P69 习题 18.1 第 1 题。 2. 求下图字母 A,B 所代表的正方形的面积。

3.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若 a=4,c=8,则 b= . 【要点归纳】 本节课你学到了什么知识?还存在什么困惑?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1.直角三角形的两边长分别是 3cm,5cm,试求第三边的长度。

2.你能用下面这个图形证明勾股定理吗?

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八年级数学(下册)导学案

第二课时 【学习目标】

勾股定理的应用(1)

1. 能熟练的叙述勾股定理的内容,能用勾股定理进行简单的计算。 2. 运用勾股定理解决生活中的问题。 【重点难点】 重点:运用勾股定理进行简单的计算。 难点:应用勾股定理解决简单的实际问题。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么是勾股定理?它描述了直角三角形中的什么的关系?

2. 求出下列直角三角形的未知边。

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八年级数学(下册)导学案

3. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°。 (1) 已知 a:b=1:2,c=5,求 a. (2) 已知 b=6,∠A=30°,求 a,c.

4. 如下图,长方形 ABCD 中,长 AB 是 4cm,宽 BC 是 3cm,求 AC 的长。

学习新知: 先自主解决教材 P66 的探究 1,然后合作交流。

【课堂练习】 1. 教材 P68 练习第 1 题。 2. 如图所示:一个圆柱形铁桶的底面半径是 12cm,高为 10cm,若在其中隐 藏一细铁棒,问铁棒的长度最长不能超过多长?

【要点归纳】 通过本节课的学习你有哪些收获?与同伴交流一下。

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【拓展训练】 有一根长 70cm 的木棒,要放在长、宽、高分别是 50cm,40cm,30cm 的木箱中,能否 放进去?

第三课时

勾股定理的应用(2)

【学习目标】 1. 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题。 2. 通过例题的分析与解决,感受勾股定理在实际生活中的应用。 【重点难点】 重点:运用勾股定理解决实际问题。 难点:勾股定理的灵活运用。 【导学指导】 复习旧知: 1.由于台风的影响,一棵树在地面上 6 米处折断,树顶落在离树干底部 8 米处,则 这棵树在折断前(不包括树根)的高度是 。 2.小民为准备新年元旦晚会,布置拉花时搬来了一架高为 2.5 米的梯子靠在墙上, 已知梯子上端离地面 2.4 米,则梯子离墙角的距离为 . 3. 如下图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥BC 于点 D, CD 的长。 求

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八年级数学(下册)导学案

学习新知: 先自主探究教材 P67“探究 2” ,然后合作交流,并完成教材上的问题。 【课堂练习】 1. 教材 P68 练习第 2 题。 2. 如下图,图中三个正方形围成一个直角三角形,三个正方形的面积分别是 S1、S2、S3,则 S1、S2、S3 三者之间的关系是 。

3.教材 P71 习题 18.1 第 11 题。

【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】

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八年级数学(下册)导学案

1.某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高 3 米,消防队员取来 6.5 米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的水平距离时 2.5 米,请问消防队员能否进入三楼 灭火?

2.如图,以直角三角形的三边向外作等边三角形,探究 S,S 和 S 之间的关系。

C S1 S2

B

A

S3

[总结反思]

第四课时

勾股定理的应用(3)

【学习目标】 1. 熟练地掌握勾股定理,并能灵活的运用勾股定理解决数学中的实际问题。

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八年级数学(下册)导学案

2. 能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的思 想。 【重点难点】 重点:运用勾股定理解决数学中的实际问题。 难点:勾股定理的灵活运用。 【导学指导】 复习旧知: 1.勾股定理的内容: 。 2.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,已知 a=2,b=3,则 c= ,当 c=13,a=5,则 b= . 3.实数包括 和 。 4.数轴上的点和 一一对应。 5.在数轴上画出表示下列各数的点:0,2,3,-2,-1.

-5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

学习新知: 自主探究教材 P69“探究 3” ,合作交流后完成教材上的问题。 【课堂练习】 1. 教材练习第 1、2 题。 2. 在数轴上画出表示-√13 的点。

【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。

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八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 1. 如图,一只壁虎在一座底面半径为 1 米,高为 2 米的油桶的下底边沿 A 处,发现油桶 的另一侧的中点 B 处有一只萤火虫,便决定捕捉它,于是它小心翼翼的向萤火虫爬去, 若壁虎要在最短的时间里获得一顿美餐,问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火 虫?(π 取 3.14,结果保留 1 位小数)

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课题

18.2

勾股定理的逆定理
第一课时 勾股定理的逆定理

课时:二课时

【学习目标】 1. 了解互逆命题和互逆定理的概念。 2. 理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。 3. 掌握勾股定理的逆定理, 并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直 角三角形。 【重点难点】 重点;勾股定理的逆定理及应用。 难点:勾股定理的逆定理的证明。 【导学指导】 复习旧知: 1. 勾 股 定 理 的 内 容 。 2.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,a、b、c 是△ABC 的三边,则 (1)已知 a=3, b=4, 求 c; (2)已知 a=2.5, b=6, 求 c; (3)已知 a=4, b=7.5, 求 c. 3.思考:分别以上述 a,b,c 为边的三角形的形状是什么样的? 学习新知: 阅读教材 P73-P74 相关内容,思考,讨论,合作交流后完成下列问题: 1. 命题 1 和命题 2 的题设和结论分别是什么?

2. 它们的题设和结论有什么联系?

3. 你能否举出类似的例子?

4. 原命题成立, 那么它的逆命题一定成立吗?那么怎样才成立呢?如何证明命题 2 成立?证证看。

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P75 练习第 1、2 题。 2. 在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,则∠ =90°。 3. 写出下列定理的逆命题,并判断它是否有逆定理。 (1) 如果两个角是直角,那么它们相等。 (2) 对顶角相等。

【要点归纳】 本节课你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,我们称为勾股数,观察下列表格给出 的三个数 a,b,c,a<b<c. 3,4,5 5,12,13 7,24,25 9,40,41 ?? 17,b,c ?? (1)求出 b,c 的值。 (2)写出你发现的规律。 3 +4 =5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 +12 =13

7 +24 =25 9 +40 =41 ?? 17 +b =c ??
2 2

2

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八年级数学(下册)导学案

第二课时

勾股定理的逆定理的应用

【学习目标】 1. 进一步理解勾股定理的逆定理。 2. 能灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。 3. 进一步加深性质定理与判定定理之间的关系的认识。 【重点难点】 重点:灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。 难点:灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。 【导学指导】 复习旧知: 1. 叙述勾股定理及逆定理。

2. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°。 (1) 已知 a=6, c=10, 求 b. (2) 已知 a=40, b=9, 求 c.

3. 直角三角形两条直角边分别是 3 和 4,则斜边上的高是 4. 判断下列三角形是否是直角三角形:



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八年级数学(下册)导学案

(1) a=3, b=5, c=6; (2) a=3/5, b=4/5, c=1; (3) a=3, b=2√2, c=√17

学习新知: 自主学习教材 P75 例 2,合作交流后完成下列问题: (1) 如何画出示意图,建立数学模型?

(2) “海天”号轮船的航行方向会有几种可能?

【课堂练习】 1. 教材 P76 练习第 3 题。 2. 如下图所示:三个村庄 A、B、C 之间的距离分别是 AB=5km,BC=12km,AC=13km, 要从 B 修一条公路 BD 直达 AC,已知公路的造价 2600 万元/km,求修这条公路的 最低造价是多少?

【要点归纳】 谈谈你本节课的收获。

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八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 已知,如图四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,求:四边形 ABCD 的面积。

本章小结
一、画出本章知识结构图。

二、本章相关知识。 1.勾股定理:

57

八年级数学(下册)导学案

2.勾股定理的逆定理:

3.互逆命题和互逆定理:

三、做一做。 1.如图,在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子,当它靠在一侧的墙上时,梯子的顶 端在 B 点, 当它靠在另一侧墙上时, 梯子的顶端在 D 点, 已知∠BAC=60°, ∠DAE=45°, DE=3√2 m,求 BC 的长度。
B

D

60 C A

45 E
2 2 2

2.若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a +b +c +50=6a+8b+10c,则△ABC 的形状是什么?

3.下列命题的逆命题正确的是 ( ) A.如果两个角是直角,那么它们相等 B.全等三角形的对应角相等 C.如果两个实数相等,那么它们的平方也相等 D。到角的两边距离相等的点 在角的平方线上 4.直角三角形的两条边的长度分别是 8 和 10,试求第三边的长度。

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八年级数学(下册)导学案

5. 有一个水池,水面是一个边长为 10 米的正方形。在水池的中央,有一根芦苇, 它高出水面 1 米,把芦苇的顶端拉向水池一边的中点,芦苇和岸边的水面正好

平齐,则水的深度是多少?

6. 如图,将一张矩形纸片沿着 AE 折叠后,D 点恰好落在 BC 边上的 F 点上,已知 AB=8cm,BC=10cm,求 EC 的长度。

第十九章

四边形

课题 19.1 平行四边形 课时:四课时 第一课时 19.1.1 平行四边形的性质

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八年级数学(下册)导学案

【学习目标】 1. 理解平行四边形的定义及有关概念。 2. 能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。 3. 了解平行四边形在实际生活中的应用,能根据平行四边形的性质进行简 单的计算和证明。 【重点难点】 重点:平行四边形的概念和性质。 难点: 如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法 (即为 什么要添加对角线) 【导学指导】 现实世界中,四边形也在装点着我们的生活,宏伟的建筑物,铺满地砖的地板、 别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝??处处都有四边形的身影。在小学,我们已经学 过一些特殊的四边形,如长方形、正方形、平行四边形和梯形等,这些特殊的四边形 与我们的生活关系更为密切。在章前图中,你能找出它们吗?在本章,我们将进一步 认识这些特殊的四边形, 分析它们的联系与区别, 探索并证明它们的性质及判定方法, 进一步提高分析问题、解决问题的能力。 学习新知: 阅读教材 P83-P84 内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1.什么叫做平行四边形?如何表示一个平行四边形?

2.四边形与平行四边形有怎样的从属关系?你能举出生活中的平行四边形的例子吗?

3.平行四边形有什么性质?你能证明吗?

60

八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P84 练习第 1,2,3 题。 2.如图在平行四边形 ABCD 中,如果 EF∥AD,GH∥CD,EF 与 GH 相交于点 O,那么图 中的平行四边形一共有( ) A. 个 4 B。 个 5 C。 个 8 D。 9个

3.在平行四边形 ABCD 中,AB 的度数之比为 5:4,则∠C 等于 A . 60 ° B.80 ° D.120° 【要点归纳】 通过学习,本节课你学到了哪些知识?与同伴交流一下。



) C.100 °

【拓展训练】 已知任意三点 A、B、C,是否存在点 D,使 A、B、C、D 围成一个平行四边形?如果 存在,请你作出平行四边形;如果不存在请说明理由。

61

八年级数学(下册)导学案

第二课时

平行四边形的性质(2)

【学习目标】 1. 探索并掌握平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分。 2. 会运用平行四边形的性质进行推理和计算。 【重点难点】 重点:平行四边形的对角线互相平分 难点:平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达。 【导学指导】 复习旧知: 1. 平行四边形是如何定义的?生活中有什么物体是平行四边形形状的?

2. 前面我们学习了平行四边形的哪些性质?

3. 我们是如何证明平行四边形的这些性质的?

学习新知: 自主学习教材 P85-P86 内容,思考,讨论,合作交流后完成下列问题。 1. 如下图所示,平行四边形 ABCD 的对角线有什么特征?请用文字语言叙述并用 数学符号表示出来。

2. 你能证明你叙述的对角线的特征吗?

62

八年级数学(下册)导学案

3. 你发现了吗?平行四边形的问题都是如何解决的?

【课堂练习】 1. 教材 P86 练习第 1,2 题。 2. 已知平行四边形 ABCD 的周长是 48cm, 比 BC 长 4cm, AB 那么这个四边形的各边 长为多少?

3. 在平行四边形 ABCD 中,已知∠B+∠D=140°,求∠C 的度数。

4. 平行四边形 ABCD 的周长为 60cm,△AOB 的周长比△COB 的周长大 8cm,则 AB= , BC= 。 【要点归纳】 1. 完成下列表格: 平行四边形的图形 平行四边形的 边 平行四边形的 角 平行四边形的对角 线

2. 解决平行四边形问题的常用辅助线是什么?

3.你还有哪些收获?

【拓展训练】 如图,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角 A、B、C、D 处均种有一棵梨树, 田村准备开始挖池塘建养鱼池,想使建后的鱼池面积为原来池塘面积的两倍,又想保 持梨树不动,并要求建后的池塘成为平行四边形形状。请问田村能否实现这一设想?

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八年级数学(下册)导学案

若能,请你设计并画出图形,若不能,请说明理由。 (画图保留痕迹,不写画法)

第三课时

19.1.2

平行四边形的判定(1)

【学习目标】 1. 运用类比的方法,得出平行四边形的两个判定方法。 2. 会运用这两个判定方法解决简单的问题。 【重点难点】 重点: 平行四边形判定方法的探究、 运用以及平行四边形的性质和判定的综合应用。 难点:对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合应用。 【导学指导】 复习旧知: 1. 平行四边形的定义是什么?它有什么作用?

2. 平行四边形还有哪些性质?

3. 你能说出上述三条性质的逆命题吗?把它们有文字表达出来。

64

八年级数学(下册)导学案

学习新知: 自主学习教材 P86-P87 相关内容,思考、讨论合作交流完成下列问题: 1.平行四边形的三条性质的逆命题是真命题吗?如何证明的?

2.现在你有多少种判定平行四边形的方法了?它们分别是从四边形的哪些方面去 考虑的?

【课堂练习】 1. 教材 P87 练习题第 1,2 题。 2. 在同一平面内,把两个全等的三角形(如图) ,按不同的方法拼成四边形, (1) 可以拼成几个不同的四边形? (2) 它们都是平行四边形吗?
C E

A

BD

F

【要点归纳】 本节课你有哪些收获?

65

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 1. 如图,已知点 M、N 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、DC 的中点。 求证:四边形 AMCN 是平行四边形。
A D N B

M

C

2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是各边中点。 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。
A E H D

G C

B

F

第四课时

19.1.2

平行四边形的判定(2)

【学习目标】 1. 掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。 2. 理解和领会三角形三角形中位线定理及其应用。 3. 会综合应用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题。 【重点难点】 重点:1.平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判 定方法; 2.理解并应用三角形中位线定理。 难点:1.平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。

66

八年级数学(下册)导学案

2.理解三角形中位线定理的推导,感悟几何的思维方法。 【导学指导】 复习旧知: 1. 平行四边形的定义是什么? 2. 平行四边形具有哪些性质?

3. 平行四边形是如何判定的?

学习新知: 阅读教材 P88-P90 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 今天又有了一种判定平行四边形的方法,是什么?如何证明?

2. 你看得懂例 4 吗?它是如何思考解决问题的?由例 4 我们知道了三角形的 中位线的性质,是什么?

3. 什么是两条平行线间的距离?我们还学过点与点之间的距离,点到直线的 距离,它们有何联系与区别?

【课堂练习】 1. 教材 P90 练习第 1,2,3 题。 2. 如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O,E、F 分别为 BO、DO 的中 点。 求证:AF∥CE(请你用两种方法证明)

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八年级数学(下册)导学案
A D O F E B C

【要点归纳】 今天你有哪些收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 如图,已知 BE、CF 分别为△ABC 中∠B、∠C 的平方线,AM⊥BE 于 M,AN⊥CF 于 N, 求证:MN∥BC
A F N B M C E

68

八年级数学(下册)导学案

课题

19.2

特殊的平行四边形
第一课时 19.2.1 矩形的性质

课时:五课时

【学习目标】 1. 掌握矩形的性质定理及推论。 2. 能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。 【重点难点】 重点:掌握矩形的性质定理。 难点:利用矩形的性质进行证明和计算。 【导学指导】 阅读教材 P94-P96 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是矩形?

2. 矩形是特殊的平行四边形,平行四边形具有的性质它有没有?平行四边形的边 有什么性质?角呢?对角线呢?那么它特殊在什么地方?所以它有什么性质? 如何记住它呢?

3. 矩形的一条对角线把它分成了两个什么三角形?由矩形的性质,你可以得到这 个三角形的什么性质?

【课堂练习】 1. 教材 P95 练习第 1,2,3 题。 2. Rt△ABC 中,两条直角边分别为 6 和 8,则斜边上的中线长为 【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。



69

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 1. 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 对折, 再折叠使 AD 与对角线 BD 重合, 得折痕 DG, 若 AB=8,BC=6,求 AG 的长。
D E C

A

G

B

2. 在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,E 是 AC 的中点,EF 平分∠BED 交 BD 于 点 F。 (1) 猜想:EF 与 BD 具有怎样的关系? (2) 试证明你的猜想。
A

E D

B C

F

70

八年级数学(下册)导学案

第二课时

矩形的判定

【学习目标】 1. 理解并掌握矩形的判定方法。 2. 能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养分析 能力。 【重点难点】 重点:矩形的判定定理及推论。 难点:定理的证明方法及运用。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么是平行四边形?什么是矩形?

2. 矩形有哪些性质?你能猜想如何判定矩形吗?

学习新知: 阅读教材 P95-P96 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 利用矩形的定义可以判定一个平行四边形是矩形,由此你发现什么?

2. 还有哪些方法可以证明一个四边形是矩形?如何证明?试一试。

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P96 练习第 1,2 题。 2. 下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么? (1) 有一个角是直角的四边形是矩形。 (2) 有四个角是直角的四边形是矩形。 (3) 四个角都相等的四边形是矩形。 (4) 对角线相等的四边形是矩形。 (5) 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 (6) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 (7) 对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形。 (8) 一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形。 (9) 两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形。 【要点归纳】 今天你有什么收获,与同伴交流一下。

72

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 已知:如图,平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H。 求证:四边形 EFGH 是矩形。
A G F E C H D

第三课时

19.2.2

菱形的性质

【学习目标】 1. 理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质。 2. 了解菱形在生活中的应用实例,能根据菱形的性质解决简单的实际问题。 3. 理解菱形的面积公式,会选择适当的方法计算菱形的面积。 【重点难点】 重点:菱形的性质和应用。 难点:菱形性质的探究。 【导学指导】 阅读教材 P97-P98 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是菱形?它与平行四边形有何异同?

2. 菱形是不是轴对称图形?如果是它有几条对称轴?

3. 由菱形是轴对称图形你可以得到菱形具有哪些平行四边形不具有的特殊性质 呢?它的边、对角线之间有什么关系?你能证明上述结论吗?

73

八年级数学(下册)导学案

4.通过例 2,你发现菱形除了用平行四边形计算面积的方法外,还可以用什么方法 来计算吗?

【课堂练习】 1. 教材 P98 练习第 1,2 题。 2. 菱形和矩形都一定具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B.角线互相平分 C.对角线互相垂直 平分一组对角 3.菱形的两邻角的度数之比为 1:3,高为 7√2,求它的面积.

D.每条对角线

【要点归纳】 今天你有什么收获,与同伴交流一下。

74

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 如图,已知:在菱形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 上的点,且 CE=CF。过点 C 作 CG∥EA 交 AF 于 H,交 AD 于 G,∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC 的度数。

A H B E C

G D F

【拓展训练】

第四课时

菱形的判定

【学习目标】 1. 能说出菱形的两个判定定理,并会用判定方法进行相关的论证和计算。 2. 了解菱形的现实应用和常用判别条件。 【重点难点】 重点:菱形的判定方法。 难点:探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算。 【导学指导】 复习旧知: 1. 菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质?

75

八年级数学(下册)导学案

2. 怎样判定一个四边形是矩形?

学习新知: 学习教材 P99 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 想一想我们以前学的,首先,可以用什么来判定一个四边形是菱形?

2. 受矩形判定方法的启发,你对菱形的判定方法有什么猜想?你能证明你的猜想 吗?试试看。

【课堂练习】 教材 P100 练习第 1,2,3 题。 【要点归纳】 你能画出四边形、平行四边形、矩形和菱形的从属关系图吗?试试看。

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八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 如图,在四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、BC 的中点,G、H 分别是 BD、AC 的 中点,AB、CD 满足什么条件时,四边形 EGFH 是菱形?请证明你的结论。
E G D

A

H

B

C F

第五课时

19.2.3

正方形

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八年级数学(下册)导学案

【学习目标】 1. 了解正方形的有关概念。 2. 理解并掌握正方形的性质、判定方法。 【重点难点】 重点:探索正方形的性质与判定。 难点:掌握正方形的性质、判定的应用方法。 【导学指导】 复习旧知: 1. 矩形有哪些性质?如何判定?

2. 菱形有哪些性质?如何判定?

3. 矩形、菱形、平行四边形之间有什么关系?请用框图表示出来。

学习新知: 学习教材 P100-P101 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是正方形?它与矩形、菱形有什么关系?

2. 正方形有哪些性质?(提示:从边、角、对角线方面总结?)它有没有矩形、 菱形不具有的特殊性质?是什么?

3. 怎样判定一个四边形是正方形呢?试证明你的结论,并与同伴交流一下。

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1. 教材 P101 练习第 1,2,3 题。 2. 判断: (1) 两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 (2) 对角线相等的矩形是正方形。 (3) 四边都相等的四边形是正方形。 (4) 矩形包括长方形和正方形。 (5) 四角相等且两边相等的四边形是正方形。 【要点归纳】 本节课你有哪些收获?与同伴交流一下。 你能不能用一个框图把四边形、 平行四边 形、矩形、菱形、正方形之间的关系表示出来?

【拓展训练】 把边长为 1 的正方形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB1C1D1, 则图中阴 影部分的面积是( )
C B1 C1 D D1 A B

A . 1/2 D.1-√3/4

B. √ 3/3

C.1- √ 3/3

79

八年级数学(下册)导学案

课题

19.3

梯形

课时:二课时

第一课时

等腰梯形的性质

【学习目标】 1. 知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念;能说出并证明等腰梯形的两个性 质;等腰梯形同一底上的两个角相等;两条对角线相等。 2. 会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。 3. 通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,体会图形变 换的方法和转化的思想。 【重点难点】 重点:探索梯形的有关概念、性质及其应用。 难点:探索等腰梯形的性质。 【导学指导】 学习教材 P106-P107 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是梯形?什么是梯形的上底?什么是梯形的下底?什么是梯形是高?什 么是梯形的腰?

2. 什么是等腰梯形?什么是直角梯形?

3. 等腰梯形有哪些性质?教材上是如何发现的?你能证明它吗?

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八年级数学(下册)导学案

【课堂练习】 1.在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,则 DC= 。 2.直角梯形的高为 6cm,有一个角是 30°, 则这个梯形的两腰分别是 和 。 3.等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC 平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为 8cm,则 AD= . 4.等腰梯形 ABCD 中,AB=2CD,AC 平分∠DAB,AB=4√3, (1)求梯形的各角。 (2)求梯形的面积。

【要点归纳】 本节课你有哪些收获,与同伴交流一下。

【拓展训练】 如图:已知在等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC=BC+AD,求∠DBC 的度数。

81

八年级数学(下册)导学案

A

D

B

C

第二课时

等腰梯形的判定

【学习目标】 1. 掌握同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形这个判定方法,以及这个判定方法 的证明。 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算,体会转化的思想。 3. 通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,体会图形变 换的方法和转化的思想。 【重点难点】 重点:梯形的判别条件。 难点:解决梯形问题的基本方法。 【导学指导】 复习旧知: 1. 什么是梯形?梯形一般分为哪几类?

2. 等腰梯形有哪些性质?(提示:从边、角、对角线等方面整理)

82

八年级数学(下册)导学案

学习新知: 学习教材 P108 相关内容,思考讨论、合作交流后完成下列问题: 1.前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题。 等腰梯形同一底上两个底 角相等的逆命题是什么?这个命题是否成立?证明一下。

2.你能尝试着写写等腰梯形其他性质的逆命题并证一下吗?

【课堂练习】 1. 教材 P108 第 1,2,3,4 题。 2. 下列说法正确的是( ) A.等腰梯形两底角相等。 行 C. 等腰梯形同一底上的两个角都等于 90° 有直角. 【要点归纳】 今天你有什么收获,与同伴交流一下。

B.等腰梯形的一组对边相等且平 D.等腰梯形的四个内角中不可能

83

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 如图:梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 点开始沿 AD 边向 点 D 以 1cm/s 的速度移动, Q 从 C 点开始沿 CB 边向 点 B 以 2cm/s 点 的速度移动,如果 P、Q 分别从 A、C 同时出发,设移动时间 t 秒,求 t 为何值时,梯 形 PQCD 是等腰梯形?
A P D

B

Q

C

课题

19.4

课题学习

重心

课时:一课时

【学习目标】 通过寻找常见的几何图形重心的数学活动, 经历探究物体与图形的重心的过程, 了 解规则几何图形的重心就是它的几何中心。 【重点难点】 重点:通过课题的学习,培养探究能力和创新意识。 难点:实验活动的规范操作,以及寻找三角形的重心。 【导学指导】 学习操作教材 P112P114 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是物体的重心?

84

八年级数学(下册)导学案

2. “ 均 匀 ” 的 木 条 的 重 心 在 哪 ? 为 什 么 ? 由 此 我 们 得 到 线 段 的 重 心 就 是 。

3. “均匀”的正方形的重心在哪?“均匀”的矩形,菱形,一般的平行四边形呢? 为什么?由此我们得到平行四边形的重心就是 。

4. 根据上面的实验,我们要找一块质地“均匀”的三角形的重心,也就是要找具 有什么特征的点?所以应该怎么办?由此我们得到三角形的重心就 是 。

5. 由上面的操作实验,我们如何找到任意一个多边形的重心在什么位置?

【课堂练习】 1.圆的重心是 。 2.请用尺规作图法作出△ABC 的重心。

85

八年级数学(下册)导学案

【要点归纳】 通过这个课题的学习活动,你得出哪些主要结论?在得到这些结论的过程中,你有 哪些体会?

【拓展训练】 如图所示是一个矩形缺损一个角(也是矩形)的平面图形,请画出一条直线将该图 形的面积分成相等的两部分,并简要说明理由。

A E

F D

B

C

86

八年级数学(下册)导学案

本章小结
一、画出本章知识结构图。

二、本章相关知识。 (一)平行四边形的定义、性质和判定:

(二)特殊平行四边形的定义、性质和判定: 1.矩形

2.菱形

3.正方形

87

八年级数学(下册)导学案

(三)梯形的定义、性质与判定: 1.一般梯形

2.直角梯形

3.等腰梯形

(四)三角形的中位线定理。

(五)本章中解决问题时常用的辅助线的做法。

88

八年级数学(下册)导学案

第二十章
课题

数据的分析
课时:六课时 平均数

20.1 数据的代表 第一课时 20.1.1

【学习目标】 1. 认识和理解数据的权及其作用。 2. 通过实例了解加权平均数的意义,会根据加权平均数的计算公式进行有关计算。 【重点难点】 重点:加权平均数的概念以及运用加权平均数解决实际问题。 难点:对数据的权及其作用的理解。 【导学指导】 学习教材 P124-P127 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 你认为 P124“思考”中小明的做法有道理吗?为什么?

2. 正确的解法应是怎样的?请谈谈你的看法。

3. 什么是加权平均数?

4. P125“例 1”中,所求的结果已不再是各人听说读写成绩的简单平均,而是听 说读写成绩的加权平均数,它们的权分别是多少?

89

八年级数学(下册)导学案

5. P126“例 2”中,两名选手的单项成绩都是两个 95 分与一个 85 分,为什么他 们的最后得分不同呢?谈谈你对权的作用的体会。

【课堂练习】 1. 教材 P127 练习第 1,2 题。 2. 某广告公司欲招聘广告策划人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了三 项素质测试,他们的各项测试成绩如下表所示: 测试项目 甲 创新 综合知识 语言 74 85 45 测试成绩 乙 66 72 66 丙 70 50 90

(1) 如果根据三项测试平均成绩确定录用人选,那么谁将被录取? (2) 根据实际需要,公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按 4:2:2 的比例确定各人的测试成绩,此时谁将被录用?

【要点归纳】 你今天有什么收获?与同伴交流一下。

90

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 学校对各个班级的教室卫生情况考察包括以下几项:黑板、门窗、桌椅、地面。三 个班的各项卫生成绩情况分别如下: 黑板 1班 2班 3班 8.5 9.5 9 门窗 9 8.5 9.5 桌椅 9.5 9 9 地面 9 9 8.5

请你设计一个评分方案,并根据你的评分方案计算一下哪个班的卫生情况最好?

第二课时

20.1.1

平均数

【学习目标】 1. 理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理,进一步加深对加权 平均数的认识。 2. 能根据频数分布表利用组中值的方法计算加权平均数。 3. 掌握利用计算器计算加权平均数的方法。 【重点难点】 重点:能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数。 难点:对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解。 【导学指导】 学习教材 P127-P129 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 你能为教材 P127 的算术平均数举一个例子吗?

2. 把算术平均数的公式与上节课的加权平均数公式进行对比,思考它们的相同之 处与不同之处。

91

八年级数学(下册)导学案

3. 教材 P128 的“探究”中,各组的载客量不是一个具体值,怎么办?

4. 你的计算器能求平均数吗?试试看。

【课堂练习】 1. 教材 P129 练习第 1,2 题。 2. 八年级一班有学生 50 人,八年级二班有学生 45 人。期末数学测试中,一班学 生的平均分为 81.5 分,二班学生的平均分是 83.4 分,这两个班的平均分是多 少?

【要点归纳】 本节课你学到了什么?与同伴交流一下。

【拓展训练】 1. 小民骑自行车的速度是 15 千米/时,步行的速度是 5 千米/时,如果小民先 骑自行车 2 小时,然后步行 1 小时,那么他的平均速度是多少?

92

八年级数学(下册)导学案

2. 小民和小亮家去年的饮食、教育、和其他支出均分别为 3600 元,1200 元, 7200 元。小民家今年的这三项支出依次比去年增长了 10﹪,20﹪,30﹪,小 亮家今年这三项支出依次比去年增长了 20﹪,30﹪, 10﹪。 小民和小亮家今 年的总支出比去年增长的百分数相等吗?它们分别是多少?

第三课时

20.1.1

平均数

【学习目标】 1. 能根据频数分布直方图计算平均数。 2. 能正确有效应用平均数知识解决问题,提高分析、解决问题的能力。 3. 学习并体会用样本平均数估计总体平均数的思想方法。 【重点难点】 重点:能根据频数分布直方图计算平均数。 难点:能根据不同特点的频数分布直方图采取相应的处理方法。 【导学指导】 我们知道,当所要考察的对象很多,或考察本身带有破坏性时,统计中常用通过样

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八年级数学(下册)导学案

本估计总体的方法来获得对总体的认识。例如,实际生活中经常用样本的平均数来估 计总体的平均数。 学习教材 P129-P130 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 教材 p129“例 3”中,表格里没有组中值,怎么办?

2. 某灯泡厂要测量一批灯泡的使用寿命,使用全面调查的方法考察这批灯泡的 平均使用寿命合适吗?由这 100 个灯泡的使用寿命估计这批灯泡的平均使用 寿命可以吗?这批灯泡的平均使用寿命是多少?

【课堂练习】 1. 教材 P130 练习题。 2. 小妹统计了她家 10 月份的长途电话费清单,并按通话时间画出直方图。 (1) 这张直方图与第 1 题中的直方图有何不同? (2) 从这张图你能得到哪些信息? (3) 小妹家 10 月份平均每个长途电话的通话时间是多少? (4) 你认为能通过(3)的结论估计小妹家一年中平均每个长途电话的通话时间 吗?
频数(通话次数)
30 25 20 15 10 5 0 1 5 10 20 25

15

时间/分

【要点归纳】 今天你有什么收获,与同伴交流一下。

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八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 1. 某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地产西瓜约 600 个,在西瓜上市前该瓜农随机摘下 10 个成熟的西瓜,称重如下: 西瓜质量/千克 西瓜数量/个 5.5 1 5.4 2 5.0 3 4.9 2 4.6 1 4.3 1

计算这 10 个西瓜的平均质量, 并根据计算结果估计这亩地的西瓜产量约是多 少?

2. 某班同学进行数学测验,将所得的成绩(得分取整数)进行整理后分成 5 组,并绘成频数分布直方图,请结合直方图提供的信息,回答下列问题: (1) 该班共有多少名学生?(2)80.5-90.5 这一分数段的频数、频率分别是多 少? (3) 这次考试的平均成绩是多少?
人数
18 15 12 10 9 6 4 3 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5

分数

95

八年级数学(下册)导学案

第四课时

20.1.2

中位数和众数

【学习目标】 1. 掌握中位数的概念,会求一组数据的中位数。 2. 能应用中位数知识分析解决实际问题。 3. 初步感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。 【重点难点】 重点:掌握中位数的概念,能应用中位数知识分析解决实际问题。 难点:感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。 【导学指导】 学习教材 P130-P131 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是中位数?

2. 你认为中位数和平均数有什么区别与联系?

【课堂练习】 1. 教材 P131 练习题。 2. 在一次测试中,全班平均成绩是 78 分,小妹考了 83 分,她说自己的成绩在班 里是中上水平,你认为小妹的说法合适吗?下面是小妹她们班所有学生的成绩: 20,35,35,40,40,52,63,65,74,79,80,83,84,84,85,85,85,85, 85,85,86,87,87,87,87,87,87,87,87,87,87,87,87,87,88,88, 90,91,92,93,95. 由数列可知,小妹的成绩在全班是中上水平吗?多少分才是中上水平?

【要点归纳】

96

八年级数学(下册)导学案

今天你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 约翰先生有一个小工厂生产超级小玩意。管理人员由约翰先生,他的弟弟,六个亲 戚组成;工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营得很顺利,需要增加一个工 人。汤姆需要一份工作,应征而来与约翰先生交流,约翰说: “我们这里报酬不错,平 均薪金是每周 300 美元,你在学徒期每周 75 美元,不过很快就可以加工资。 ”汤姆工 作几天后找到约翰说: “你欺骗了我,我已经找其他工人问过了,没有一个人的工资超 过每周 100 美元,平均工资怎么可能是一周 300 美元呢?”约翰说: “啊,汤姆,不要 激动,平均工资是 300 美元,你看,这是一张工资表。 ” 人员 工资 x/美 元 人数 f fx 约翰 2400 1 2400 约翰的弟 弟 1000 1 1000 约翰的亲 戚 250 6 1500 领工 200 5 1000 工人 100 10 1000 23 6900 合计

请你仔细观察表中的数据,回答下面的问题: (1) 约翰说每周平均工资 300 美元是否欺骗了汤姆?平均工资 300 美元能否 客观地反映工人的平均收入?若不能, 你认为应该用什么工资反映比较 合适? (2) 汤姆找工作时,你认为他应该首先了解什么工资?

97

八年级数学(下册)导学案

第五课时 20.1.2

中位数和众数

【学习目标】 1. 掌握众数的概念,会求一组数据的众数。 2. 能应用众数知识分析解决实际问题。 3. 初步感受众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。 【重点难点】 重点:理解众数的意义,能应用众数知识分析解决实际问题。 难点:众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。 【导学指导】 学习教材 P131-P132 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 什么是众数?

2. 众数与中位数、平均数有什么相同和不同的?

【课堂练习】 1. 教材 P132 练习第 1,2 题。 2. 在某电视台举办的歌咏比赛中,六位评委给 1 号选手的评分如下:

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八年级数学(下册)导学案

90, 96, 91, 96, 95, 94, 这组数据的众数是 A.94.5 B. 95 C. 96 D. 2 3. 8 年级一班 46 个同学中,13 岁的有 5 人,14 岁的有 20 人,15 岁的 15 人,16 岁的 6 人。8 年级一班学生年龄的平均数,中位数,众数分别是多少?

4. 求下列数据的众数: (1)3, 2, 5, 3, 1, 2, 3 (2)5, 2, 1, 5, 3, 5, 2, 2

【要点归纳】 今天你有什么收获? 与同伴交流一下。

【拓展训练】 1.甲、乙两班举行默写英语单词比赛,成绩如下: 参赛人数 甲班 乙班 55 55 平均字数 135 135 中位数 149 151

如果默写 150 个以上为优秀,你认为哪个班较好?为什么?

99

八年级数学(下册)导学案

2.某中学举行演讲比赛,8(1) 、8(2)班根据初赛成绩各选出 5 名选手参加复赛, 两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩(满分为 100 分)如下表所示: 8(1)班 8(2)班 75 100 80 80 85 100 85 75 100 70

(1) 根据上图填写下表: 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 8(1)班 8(2)班 85 85 80 85

(2) 结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪一个班级的复赛成绩较 好。 (3) 如果在每班参加复赛的选手中分别选出两人参加决赛,你认为哪个班 的实力更强一些,并说明理由。

第六课时 20.1.2

中位数和众数

【学习目标】 1. 在解决实际问题中进一步理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义,能 根据所给信息求出相应的数据代表。 2. 结合具体情景体会平均数、中位数、众数三者的特点与差异,能根据具体问题 选择适当的量来代表,并作出自己的评判。 【重点难点】 重点:理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义,能根据具体问题选择适当 的量来代表。 难点:能对具体问题进行分析,选择适当的量来代表。 【导学指导】 复习旧知: 什么是平均数?什么是中位数?什么是众数?它们有什么区别与联系?

100

八年级数学(下册)导学案

学习新知: 学习教材 P132-P134 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 如何在实际问题中选取平均数、中位数、众数来代表数据?

【课堂练习】 1. 教材 P135 练习题。 2. 8 年级某教室里, 三位同学正在为谁的数学成绩好而争论, 他们五次数学成绩分 别是: 小花:62,94,95,98,98 小妹:62,92,98,99,100 小路:40,62, 85,99,99 他们都认为自己的数学成绩比另两位同学好, (1) 他们认为自己的数学成绩比另外两位同学好的依据是什么? (2) 你认为哪一个同学的成绩最好呢?请说明理由。

【要点归纳】 你今天有什么收获?与同伴交流一下。

101

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 1.某超市购进一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据。要使 该超市销售皮鞋收入最大,该超市应多购( )的皮鞋。 皮鞋价(元) 160 销售百分率 A.160 元 60% B.140 元 140 75% 120 83% 100 95% D.100 元

C.120 元

2. 某 商 场 统 计 了 每 个 营 业 员 在 某 月 的 销 售 额 , 统 计 图 如 下 :

(1) 设营业员的月销售额为 x 万元,商场规定:当 x<15 时为不称职,当 15≤x<20 时为基本称职,当 20≤x<25 时为称职,当 x≥25 时为优秀,试求出不称职、 基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占的百分比。 (2) 根据(1)中的规定,所有称职和优秀的营业员月销售的中位数、众数、平均 数分别是多少? (3) 为了调动营业员的工作积极性, 决定实行销售奖励标准, 凡达到或超过这个标 准的营业员将受到奖励。 如果要使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获 奖,你认为这个奖励标准应定为多少合适?简述理由。

课题

20.2

数据的波动
20.2.1

课时:四课时
极差

第一课时

【学习目标】 理解极差可以用来表示一组数据的波动情况并会利用极差解决实际问题。

102

八年级数学(下册)导学案

【重点难点】 重点难点:极差的概念及其应用。 【导学指导】 学习教材 P137-P138 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 什么是极差?极差有什么用?极差易受什么影响?

【课堂练习】 1. 教材 P138 练习。 2. 为了调查居民的生活水平,有关部门对某地区 5 个街道的 50 户居民的家庭存款 进行了调查,数据(单位:元)如下: 16000 35000 23000 65000 22000 19000 68000 48000 50000 47000 23000 15000 31000 56000 37000 22000 33000 58000 43000 36000 38000 30000 51000 70000 31000 29000 44000 58000 38000 37000 33000 52000 41000 42000 48000 30000 40000 46000 60000 24000 33000 61000 50000 49000 30000 31000 72000 18000 50000 19000 (1) 这 50 个家庭存款的最大值、最小值、极差以及平均数分别是多少? (2) 将这 50 个家庭存款数分成下面 7 组,分别计算各组的频数。 储蓄额/元 10000------19000 20000------29000 30000------39000 40000------49000 50000------59000 60000------69000 70000------79000 (3)根据上表,作出频数分布直方图。 频数

103

八年级数学(下册)导学案

【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。

【拓展训练】 某单位要买一批直径为 60mm 的螺丝。现有甲、乙两个螺丝加工厂,它们生产的螺 丝的材料相同, 价格也相同。 该单位分别从甲、 乙两厂的产品中抽样调查了 20 个螺丝, 它们的直径(单位:mm)如下: 甲厂 60 60.3 59.5 59.9 乙厂 60.1 60.1 60 59.6 59 61 60.3 59.7 60 59.7 60.1 59.5 59.8 60 60.1 59.8 60 59.9 60.5 59.9 59.7 60 60.2 60 60.2 60 60.4 60.1 60.2 60.5 60 60 59.9 60 60 60

你认为该单位应买哪个厂的螺丝?为什么?

104

八年级数学(下册)导学案

第二课时

20.2.2

方差

【学习目标】 1. 了解方差的意义,会求一组数据的方差;会根据方差的大小,比较与判断具体 问题中有关数据的波动情况。 2. 经历知识的形成过程,感悟方差在实际生活中的运用。 【重点难点】 重点:方差的概念与计算。 难点:方差的计算。 【导学指导】 学习教材 P139-P140“例 1” 前的相关内容, 思考、讨论、 合作交流后完成下列问题: 1. 什么叫做方差?

2. 方差如何反映一组数据的波动情况?

【课堂练习】 1. 教材 P141 练习第 1 题。 2. 计算数据-1,1,1,1,-1 的方差。

3. 甲、乙两校对 2010 年数学中考成绩进行统计分析,得到样本平均数均为 85,

105

八年级数学(下册)导学案

样本方差为 s 甲=18.5,s 乙=24.3,可见考生数学成绩波动较大的是 【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。

2

2

校。

【拓展训练】 甲、乙两名九年级男生在参加中考前各做了 5 次投篮测试,一分钟内投中次数 分别如下: 甲 乙 7 7 8 8 6 7 8 7 6 5

请分别计算甲、乙两个样本的平均数与方差,并说明谁的成绩更稳定。

106

八年级数学(下册)导学案

第三课时

20.2.2

方差

【学习目标】 1. 了解方差的意义,会用科学计算器计算一组数据的方差,并根据计算结果对实 际问题作出评判。 2. 经历用科学计算器计算方差的过程,体会现代科技的优越性。 【重点难点】 重点难点:熟练掌握用科学计算器计算方差。 【导学指导】 复习旧知; 1. 什么叫做方差?

2. 如何计算方差?

学习新知: 弄清方差的计算方法后,探索用手里的计算器计算一组数据的方差。 1.计算教材 P140 例 1 中甲团和乙团的方差,并比较哪个芭蕾舞团女演员的身高更

107

八年级数学(下册)导学案

整齐?

2.计算教材 P141 练习第 2 题中甲、 乙两名运动员的成绩的方差, 并比较哪个运动员 的成绩更稳定?

【课堂练习】 1.数据 2,-1,1,3,0,1,下列说法错误的是 ( ) A.平均数是 1 B.中位数是 1 C.众数是 1

D.方差是 1

2.已知一个样本 1,3,2,5,x,它的平均数是 3,则这个样本的方差是多少?

【要点归纳】 今天你有什么收获?与同伴交流一下。

108

八年级数学(下册)导学案

【拓展训练】 甲、乙两名运动员在 10 次百米跑步练习中的成绩如下(单位:秒) : 甲 乙 10.8 11.1 10.9 10.9 10.9 10.8 10.9 10.8 11.0 11.0 10.8 11.1 10.7 10.7 10.8 10.9 11.2 10.9 11.0 10.8

如果根据这 10 次成绩选拔一人参加比赛, 你认为哪一个较为合适?为什么?

第四课时

20.2.2

方差

【学习目标】 1. 深化对极差、方差概念的认识。 2. 在实际问题情景中感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想。 【重点难点】 重点难点:感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想。 【导学指导】 复习旧知: 1.什么是平均数?中位数?众数?

109

八年级数学(下册)导学案

2.什么是极差?什么是方差?

3.什么时候用平均数、中位数、众数评判一组数据?什么时候用极差、方差来评判 一组数据?

学习新知: 学习教材 P141-P142 相关内容,思考、讨论、合作交流后完成下列问题: 1. 如果考察的总体数量很大时,或者考察本身带有破坏性时,应该怎么办?

2. 要比较甲、乙两个品种在试验田中的产量和产量的稳定性时,怎么办?

3.请你亲自动手计算一下甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性。

【课堂练习】 1. 教材 P142 练习题。 2. 下表是一次科技知识竞赛中两组学生的成绩统计: 分数 人数 甲组 乙组 50 2 4 60 5 4 70 10 16 80 13 2 90 14 12 100 6 12

已知算当年两组的人均得分都是 80 分,请你根据所学知识,判断这两个组的成绩

110

八年级数学(下册)导学案

优劣。并说明理由。

【要点归纳】 今天你学到了什么?与同伴交流一下。

【拓展训练】 8 年级 3 班分甲、乙两组各 10 名学生进行抢答比赛,共 10 道选择题,答对 8 题(含 8 题)以上为优秀,各选手答对题数统计如下: 答对题数 甲组选手 乙组选手 请完成下表: 平均数 甲组选手 乙组选手 并根据所学知识,从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩。 中位数 众数 方差 优秀率 5 1 1 6 0 0 7 1 0 8 5 4 9 2 3 10 1 2

课题学习

20.3

体质健康测试中的数据分析

课时:一

111

八年级数学(下册)导学案

课时
【学习目标】 1. 能根据实际需要确定和抽取样本。 2. 依据抽取的样本,对收集的数据进行整理、描述和分析。 3. 对统计结果做出正确的评估并提出合理的建议。 【重点难点】 重点:掌握对数据进行分析的方法。 难点:掌握对数据进行分析的方法。 【导学指导】 活动 1: 课前准备:根据教材,课前把所需数据准备好。 活动 2: 1. 你收集到哪几方面的信息?

2. 原始数据能清晰反映全体学生的体质健康状况吗?用什么方式作进一步整理 更好呢?

活动 3: 1. 描述数据可以用哪几种图形?各有什么特点?

2. 如何选取恰当的方法描述已整理的数据?

活动 4: 1. 由原始数据或统计图表计算出各组数据的平均数、中位数、众数、极差、方 差分别是什么?

2. 从这些统计量中你能得出什么结论?

112

八年级数学(下册)导学案

活动 5: 撰写调查报告。

活动 6: 回顾自己本次活动的环节,收获。

113

八年级数学(下册)导学案

本章小结
一、画出本章知识结构图:

二、本章相关知识: (一)平均数

(二)中位数

(三)众数

(四)极差

114

八年级数学(下册)导学案

(五)方差

三、做一做: 1.某中学学生, 随机调查了某小区 10 户家庭一周使用环保方便袋的数量, 数据如下: 6,5,7,8,7,5,8,10,5,9,利用上述数据估计该小区 2000 户家庭一周需要环 保方便袋 只。 2.数据 12,10,13,8,17,10,21 的中位数是 ,众数是 。

3. 有 5 名同学目测同一本教材的宽度,产生的误差如下(单位:cm) : 0,2,-2,-1,1,那么这组数据的极差为 cm. 4.数据 11,12,13,14,15 的方差是 。

115


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