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2012第一学期高一数学期末考试题及答案


2012 学年度第一学期高一年级期末数学试卷
班别: 姓名: 学号: 成绩: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.设集合 U= ?1,2,3,4? , M ? ?1,2,3? , N ? ?2,3,4? , 则 CU ?M ? N ? ? ( A. ?1 , 2? B. ?2, 3? C. ?2,4? D. ?1 ,4? )


2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x , 4) ,若向量 a //b ,则 x ? ( A.2 B. ?2 C.8 3.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( ) A. f ( x) ? 2
x

?

?

?

?

) D. ? 8

B. f ( x) ? log 1 x
3

C. f ( x) ? ln x ) C.

D. f ( x ) ?

1 x

4.下列各选项中,与 sin2011° 最接近的数是( A. ?

1 2

B.

1 2


2 2

D. ?

2 2

5.下列四个命题中正确的是( A. lg 2 ? lg 3 ? lg 5

B. a m ? a n ? a mn

C. n a n ? a

D. loga x ? loga y ? loga

x y

6.已知函数 f ( x) ? ? A.-1

?3 x ( x ? 0) 1 , 则f [ f ( )] ? ( 2 ?log2 x( x ? 0)
B. log2



3
2

C. 3

D.

1 3


5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是( 7.设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a ?? ? 8.为了得到函数 y ? sin ? 3x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 3x 的图象上所有的点( 4? ? A.向左平移

A.a>c>b

) 。

? 个单位长度 12 ? D.向右平移 个单位长度 12 ??? ? ??? ? ??? ? b ? b? c ? c? a 的值是( 9.正三角形 ABC 的边长为 1,设 AB ? c , BC ? a , CA ? b ,那么 a ?
B.向左平移 A.

? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 4



3 2
3

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

?1? 10.设函数 f ? x ? ? x ? ? ? 的零点为 x0 ,则 x0 所在的区间是( ) ?2? 1) 2) 3) 4) A. (0, B. (1, C. (2, D. (3,
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x ?2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.函数 f ? x ? 是 y ? 2x 的反函数,则函数 f ? x ? 恒过定点________。 12.已知平行四边形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O ,已知 AB ? a, AD ? b ,则 DO ?
D C O A B



13. 若 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ?

3 ,则 sin ? ? ________。 4
2

14. 若函数 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(12 分)已知集合 A 是函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域.
2



(1)求集合 A ,并求出满足不等式 log 1 ? x ? 1? ? 1的 x 的取值范围;
2

(2)若集合 B 是函数 g ? x ? ? 2x , x ???1, 2? 的值域,求出集合 B ,并求出 A ? B .

? ? ? ? ? ? ? 16.(12 分)已知向量 a ? (3 ,1) 和 b ? (?1, 3) ,若 a ? c ? b ? c ,试求模为 5 的向量 c 的坐标。

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17.( 14 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x . ( 1)求 f ( x ) 的最小正周期; ( 2 )若

?? ? ?? ? f ? ? ? 3 ,且 ? ? ? , ? ? ,求 cos? . ?2? ?3 ?

18.(14 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) 。 (1)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? cos(2? ? ? ) tan ?? ? ? ? ?sin ?

?? ? ?? ? ? ? ?cos ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值。 ?2 ? ?2 ?

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19.(14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ?

π π ?? ? ) ,其部分图像如 2 2

图 5 所示。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ?1、 1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都 在函数 f ( x ) 的图像上,求 NM 与 NP 所成角的余弦值。

???? ?

??? ?

y 1 ?2 ?1 0 ?1 1
图5

2

3

4

5

6 x

20.(14 分)已知 f ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 1 ? (a ? 0) .(1)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 a x

的单调性, 并证明; (2) 若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? , 求 a 的值; (3) 求 x ? ? ??,0? 时函数 f ? x ? 2 2 的解析式.

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

高一年级数学答案

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2012 学年度第一学期高一年级期末数学试卷参考答案
一、选择题 1~5 二、填空题 DABAD 11. ?1,0 ? 6~10 DADCB 12.

a ?b 2
2

13. ?

3 5

14. ?6 .………2 分

15. (12 分)解: (1)∵函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 有意义的条件是 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 , 故函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域是 ?x | x ? 1 ?, 即 A ? ?x | x ? 1? . ∵ log 1
2

.………3 分 .………4 分

1 1 ? 1 ,∴原不等式变形为 log 1 ? x ? 1? ? og 1 . 2 2 2 2 2 又∵函数 y ? log 1 x 是单调减函数,
2

3 1 ∴ x ? 1 ? ,得 x ? . 2 2 又因为 x ? 1 ,
∴所求 x 的取值范围是 1 ? x ?

.………5 分

3 .………6 分 2 (2)∵函数 g ? x ? ? 2x 在区间 ? ?1, 2? 上是单调增函数,
∴ g min ? x ? ? g ? ?1? ? 2
?1

?

gmax ? x ? ? g ? 2? ? 22 ? 4 ,
x

1 , 2

.………7 分 .………8 分

故函数 g ? x ? ? 2 的值域是 ? y | 即 B ? ?y |

? ?

1 ? ? y ? 4? , 2 ?

.………9 分

1 ? .………10 分 ? y ? 4? . 2 ? 1? ? ∴ A ? B ? ?x | x ? ? . .………12 分 2? ? 16. (12 分)解:法 1、设 c ? ( x, y ) , .………1 分
( x, y) ? 3x ? y, , 则 a? c ? (3 ,1)?
b ?c ? ( ? 1,3 )? ( x, y) ? ? x ? 3 y,
c ? b? c ,得 ? 由 a?
.………3 分 .………5 分

? ?

?3x ? y ? ? x ? 3 y , 2 2 ? x ? y ?5
或?

.………8 分

解之得 ?

?x ? 1 ?y ? 2

? x ? ?1 , ? y ? ?2

.………10 分

所以 c ? (1, 2) 或 c ? (?1, ?2) .

.………12 分 .………2 分

法 2、∵ a? b ? 3? ? ?1? ? 1? 3 ? 0 ,

1

∴a ? b.

?

?

.………3 分 .………5 分 .………7 分 .………9 分 .………10 分

又∵且 a ? b ? 10 ,

从而以 a , b 为邻边的平行四边形是正方形,

c ? b? c ,所以 c 与 a , b 的夹角相等,从而 c 与正方形的对角线共线。 且由于 a ?
此外,由于 c ? 5 ,即其长度为正方形对角线长度( 2 c ? 10 )的一半, 故c ?

?

1 1 (a ? b) ? (1, 2) 或 c ? ? (a ? b) ? (?1, ?2) . 2 2

.………-12 分

17 、 ( 14 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x . ( 1 )求 f ( x ) 的最小正周期; ( 2 )若

?? ? ?? ? f ? ? ? 3 ,且 ? ? ? , ? ? ,求 cos? . ?2? ?3 ?
解: (1)∵ f ( x) ? cos 2x ? 3sin 2x .………2 分

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
∴ f ( x ) 的最小正周期是 T ? (2)∵ f ?

.………5 分

2? ?? 。 2

.………7 分

?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 2 6? 6? ?2? ? ?

.………8 分

∴ sin ? ? ? 又∵

? ?

??

3 ?0 ?? 6? 2

?
3

? ? ? ? ,∴

?
2

?? ?

?
6

?

7? 6

……10 分

∴ cos ? ? ?

? ?

??

1 ??? 6? 2 ? ?

……12 分

∴ cos ? ? cos ? ? ?

?
6

?

??

?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin 6? 6? 6 6? 6 ? ?
………14 分

1 3 3 1 ?? ? ? ? ?0 2 2 2 2
另解:本题还可以由 sin ? ? ? ∴? ?

? ?

??

? ? ? 7? 3 ? 0 ,且 ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ?? 3 2 6 6 6? 2

?
6

?

2? ? ? ,∴ ? ? ,∴ cos ? 0 。 2 3 2
2

18. (14 分)解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

r?

? ?3 ?

2

?

? 3?

2

?2 3

.………1 分

? sin ? ?

1 , .………3 分 2 3 , .………5 分 cos ? ? ? 2 3 .………7 分 tan ? ? ? 3 (2) ∵ f (? ) ? cos ? ? tan ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ,
.………12 分

.………11 分

? cos ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? 3? ? 3? ? 3? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?

?

19.(14 分)解: (1)由图可知, A ? 1 , 最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ?

2? 3 4

--------14 分 ………1 分 ……2 分 ………3 分



?

? 8,? ?

π . 4

由图像可知 f (1) ? sin( 又∵ ?

π ? ?) ? 1 , 4

……4 分

π π ?? ? 2 2 π π 3π ∴ ? ? ?? ? , ………5 分 4 4 4 π π π ∴ ? ? ? ,? ? . ……6 分 4 2 4 π ∴ f ( x) ? sin ( x ? 1) . ………7 分 4 π (2)因为 f ( ?1) ? sin ( ?1 ? 1) ? 0 ……8 分 4 π f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, ………9 分 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , ………10 分 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,

???? ? ??? ? NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) ,

.………11 分

???? ? ??? ? NM ? NP ? ?6 , .………12 分 ???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 , .………13 分

3

???? ? ??? ? NM ? NP ?6 3 则 cos ?MNP ? ???? ?? . ? ??? ? ? 5 5?2 5 NM ? NP

……14 分

20. (14 分)解: (1)函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数。 证明如下: 任取 x1 , x2 ? ? 0, ??? ,设 x1 ? x2 ,

………1 分

?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x ?x f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 x1 x2 ? a x1 ? ? a x2 ? x2 x1
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ∴ f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 ..………6 分

……3 分

(2)由(1)知函数 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 上是增函数,值域为 ? , 2 ? , 2 2 ∴f?

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

.………7 分

?1? 1 ? ? , f ? 2? ? 2 , ?2? 2

.………9 分

1 ?1 ?2? ? 2 ?a 2 即? ,解得 a ? . 5 ?1 ? 1 ? 2 ? ?a 2

.………11 分

(3)设 x ? ? ??,0? ,则 ? x ? ? 0, ?? ? , ∴ f ??x? ?

1 1 1 1 ? ? ? . a ?x a x

.………12 分

又因为 f ? x ? 为偶函数,所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ?

1 1 1 1 ? ? ? .. a ?x a x

………14 分

4


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