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1.5.2二项式定理(2)


1.5.2 二项式系数的 性质和应用
兴化市楚水实验学校高二数学备课组

知识回顾
1.二项式定理
0 1 2 r n ( a ? b ) n ? C n a n ? C n a n ?1b ? C n a n ? 2 b 2 ? ? ? C n a n ? r b r ? ? ? C n b n

一般地,

对于n N*,有: ?

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式

其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,记作Tr+1

2.注意区别二项式系数与项的系数的概念
r 二项式系数为 C n ;

项的系数为:二项式系数与数字系数的积

问题情境
试计算下列各展开式中的二项式系数:
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3
1 C10 C1 0 1 2 C2 C2 C2

1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1 1

0 1 3 C3 C3 C32 C3
0 1 3 4 2 C4 C4 C4 C4 C4

(a+b)4
(a+b)5

0 3 5 1 C5 C5 C52 C5 C54 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6

5 10 10 5

(a+b)6

1

6 15 20 15 6

(a+b)1 (a+b)2
(a+b)3

1 C10 C1 0 1 2 C2 C2 C2

1 1

1
1

2
3 3

1 1

0 1 3 C3 C3 C32 C3
0 1 3 4 2 C4 C4 C4 C4 C4

(a+b)4
(a+b)5 (a+b)6

1
1 1

4

6

4

1
1 1

0 3 5 1 C5 C5 C52 C5 C54 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6

5 10 10 5 6 15 20 15 6

类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了,这个表称为杨辉三角。在书中,还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪) 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕 斯卡(Blaise Pascal, 1623-1662)首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨 辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自 豪的.

讨论总结
(a+b)1 (a+b)2
1 C10 C1 0 1 2 C2 C2 C2

1 1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1

(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6

0 1 3 C3 C3 C32 C3
0 1 3 4 2 C4 C4 C4 C4 C4

0 3 5 1 C5 C5 C52 C5 C54 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6

5 10 10 5 6 15 20 15 6

1

帕斯卡三角

杨辉三角

通过探究,你能发现什么结论?

数学建构
(1)对称性:

二项式系数的性质

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值:

从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大, 随后又逐渐减小.
(3)各二项式系数的和

C ? C ? C ??? C ??? C ? 2
0 n 1 n 2 n r n n n

n

即: ? b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n (a

数学建构

二项式系数的性质

(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. m n?m n n (2)增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增 大,随后又逐渐减小. n! n ? k ?1 n! k Cn ? ? ? k !? (n ? k )! k (k ? 1)!? ( n ? k ? 1)! n ? k ? 1 k ?1 ? ? Cn k

C ?C

(2)增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增 大,随后又逐渐减小. n ? k ? 1 k ?1 k Cn ? ? Cn k n ? k ?1 k k ?1 所以Cn 相对于Cn 的增减情况由 决定. k n ? k ?1 n ?1 由 >1 ? k < k 2 n ?1 可知,当 k < 时二项式系数逐渐增大, 2 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且 中间项的取值最大.

(2)增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增 大,随后又逐渐减小. 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数
n ?1 2 n

C

n 2 n

取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式 系数 C 、C
1 n
n ?1 2 n

相等且同时取得最大值

(3)各二项式系数的和

C ? C ? C ??? C ??? C ? 2
0 n 2 n r n n n

n

C n , C n , C n ,? , C n
0 1 2

n

f(r) 20 14

当n= 6时, f ( r ) ? C 其图象是7个孤立点

定义域 r ?{0, ? ? ?,n } 1,
r 6

令 : f (r ) ? C

r n

6

O

3

6

函数思想

n r直线 r ? 作为对称轴 2
将图象分成对称的两部分.

代数意义:C 几何意义:

m n

?C

n ?m n

数学运用
例1 证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

C ? C ? C ?? ? C ?? ? C ? 2 0 2 1 3 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2 0 1 n 证明:在展开式 Cn an ? Cn an?1b ? ? ? Cn bn 中
0 n 1 n 2 n r n n n n ?1 n

令a=1,b=-1得

? C ? C ? ??? ? C ? C ? ???
0 n 2 n 1 n 3 n

(1 ?1) ? C ? C ? C ? C ? ?? (?1) C 0 2 3 即0 ? ? Cn ? Cn ? ?? ? ? C ? Cn ? ??
n 0 n 1 n 2 n 3 n 1 n n

n n

数学运用
例2 用二项式定理证明:9910-1能被1000 整除.

C 例3 求证: ? 2C ? 3C ??? ? n ?1? C ? ? n ? 2? ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n?1

证明:∵ 2 ?C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ? ? ?

? C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ?
0 n 1 n 2 n n n 0 n

0 n

1 n

2 n

n n

? n ? 1? C

0 1 2 n ?Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? ? n ?1? Cn ? ? n ?1? ? 2n?1

? ? n ? 2? ? 2

? ? n ? 2? ? (C ? C ? C ??? C )
0 n 1 n 2 n n n n

? nC ? ? 2 ? C
1 n

n ?1 n

?C

n n

倒序相加法

数学运用
0 n

变式训练: 是否存在等差数列 ?an ?,使

a1C ? a2C ? a3C ? ?? an?1C ? n ? 2
1 n 2 n n n

n

对任意 n ? N 都成立?若存在,求出数列 ?an ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.
*

课堂练习

随堂检测

课堂小结
对称性

(1) 二项式系数的三个性质 (2) 数学思想:函数思想 a 图象; b 单调性; c 最值.

增减性与最大值 各二项式系数和

(3) 数学方法 : 赋值法 、递推法

课后作业

课时作业


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