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高中数学配套同课异构2.1 曲线与方程 课件(人教A版选修2-1)


第二章 圆锥曲线与方程

§2.1 曲线与方程

Y
1 -1 O -1 Y 1 X

x ? y ? 1? y ? 0?
2 2

y ? x ( x ? 0)
X

O

探究(一):直线与方程的关系

设曲线C表示直角坐标 系中平分第一、三象 限的直线.

y

M(x0,y0)

C 思考1:曲线C上的点有什么几何特征?

O

x

到角的两边距离相等. 思考2:如果点M(x0,y0)是曲线C上任 意一点,则x0,y0应满足什么关系? x0=y0

思考3:x0=y0可以认为是点M的坐标是方 程x-y=0的解,那么曲线C上的点的坐 标都是方程x-y=0的解吗? y O
x

C 思考4:如果x0,y0是方程x-y=0的解, 那么点M(x0,y0)一定在曲线C上吗?

思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|=|y|的解吗?以方程|x|=|y|的解 为坐标的点都在曲线C上吗? y
O x

C 思考6:曲线C上的点的坐标都是方程 x ? y 的解吗?以方程 x ? y 的解 为坐标的点都在曲线C上吗?

探究(二):圆与方程的关系 y

设曲线C表示直角坐标 系中以点(1,2)为圆 心,3为半径的圆.

C
M x

O (1,2)

思考1:曲线C上的点有什么几何特征? 与圆心的距离等于3. 思考2:如果点M(x0,y0)是曲线C上任 意一点,则x0,y0应满足什么关系? (x0-1)2+(y0-2)2=9

思考3:(x0-1)2+(y0-2)2=9可以认为 是点M的坐标是方程(x-1)2+(y-2)2= 9的解,那么曲线C上的点的坐标都是方 程(x-1)2+(y-2)2=9的解吗? y C
O (1,2) x

思考4:如果x0,y0是方程(x-1)2+(y- 2)2=9的解,那么点M(x0,y0)一定在 曲线C上吗?

思考5:曲线C上的点的坐标都是方程
y ? 2 ? 9 ? ( x ? 1) 的解吗?以这个方
2

程的解为坐标的点都在曲线C上吗?
y O (1,2)

C
x

探究(三):曲线与方程的概念

思考1:在直角坐标系中,若曲线C表示 平分第一、三象限的直线,则方程x-y =0叫做曲线C的方程,同时曲线C叫做 方程x-y=0的曲线.那么,过原点且平 分第一象限的射线的方程是什么? y C x-y=0(x≥0) O x

思考2:在直角坐标系中,若曲线C表示 以点(1,2)为圆心,3为半径的圆, 则方程(x-1)2+(y-2)2=9叫做曲线C 的方程,同时曲线C叫做该方程的曲线, 那么,方程(x-1)2+(y-2)2=9(x≤0) 的曲线是什么?
y

C
x

O (1,2)

思考3:一般地,对于曲线C和方程 f(x,y)=0,在什么条件下,该方程是 曲线C的方程?同时曲线C是该方程的曲 线? (1)曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解;

(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标 的点都在曲线C上.

例:证明:与两条坐标轴的距离的积为常 数k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k.

证明:
(1)如图,设M ( x0 , y0 )是轨迹上的任意一点。因为 点M 与x轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 | , 所以 |x0|? | y0 |? k ,
R
y

即( x0 , y0 )是方程xy ? ? k的解。

M Q

O

x

例: 证明:与两条坐标轴的距离的积为常 数k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k.
(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ?k的解,则

x1 y1 ? ?k ,



| x1 | ? | y1 |? k .

而 | x1 | ,y1 | 正是点M 1到纵轴、横轴的距离,因此 | 点M1到这两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是 曲线上的点。

小结

(1)曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y) =0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在 曲线C上.
在领会定义时,要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.
2.曲线和方程之间一一对应的确立,进一步把 “曲线”与“方程”统一了起来,在此基础上, 我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。

1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定 义:

探究(一):直线与方程的关系

设曲线C表示直角坐标 系中平分第一、三象 限的直线.

y

M

C 思考1:曲线C上的点有什么几何特征?

O

x

2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程

曲线(包括直线)与其所对应的方程 f ( x, y) ? 0 之间有哪些关系?

⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; 就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是 这条曲线的方程.

坐标法

形成

解析几何
y

在平面上建立直角坐标系: 一一对应 ???? 坐标(x,y) ? 点 坐标化 ? 曲线 ???? 曲线的方程
研究

f(x,y)=0
0 x

平面解析几何研究的主要问题是:
1.求曲线的方程;
2.通过方程研究曲线的性质.

迪卡尔

问题 . 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程 .
y

M

B

O1

x

A

若线段AB的长为4,且A,B两点分别在x轴与y 轴上运动,求线段AB中点M的轨迹方程。

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 P={M||MA|=|MB|}
∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2x ? 1 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? 6x ? 9 ? y 2 ?14 y ? 49
2 2 2 2

化简得 x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;
⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 M1 A ? M1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

思考:( P

37

练习第 3 题)

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

B

M
0

?

( x, y ) C
A

x


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