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天津市天津一中2013届高三第四次月考 文科数学


天津一中 2012-2013 学年高三年级四月考数学试卷(文) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.复数

2 ? i3 1? 2 i

?(

) .

A. i

B. ? i

C. 2 2 ? i

D. ? 2 2 ?

i

?y ? 0 y ?1 ? , 若W ? 2.实数 x , y 满足丌等式组 ? x ? y ? 0 ,则有( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.

) .

1 2

?W ?1

B. ?

1 2

?W ?

1 3

C. W ? ?

1 2

D. ? 1 ? W ?

1 3

3. 对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算原理如图示, 则 (log 1 2) ? 4 2 的值为(
2 ? 1

) .
3 4

A. ? C.
5 8

1 4

B.

D.

5 2

4.设 a ? ( )0.5 , b ? ( )0.4 , c ? log 3 (log 3 4), 则(

3

4

4

3

) . C. c ? a ? b D. a ? c ? b

4

A. c ? b ? a 5.已知点 F 是双曲线

B. a ? b ? c

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F

且垂直于 x 轴的直线不双曲线交于 A 、 B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是( A. ?1,+ ? ? ) . B. ?1,2 ? C. 1,1+ 2

?

?

D. 2,1+ 2

?

?

6.对于任意实数 x ,< x >表示丌小于 x 的最小整数,例如<1.1>=2,< -1.1 >= -1 ,那么 “ | x ? y |? 1 ”是“< x >=< y >” ( A.充分丌必要条件 C.充分必要条件 ) . B.必要丌充分条件 D.既丌充分也丌必要条件

7.已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x ) ?| f ( ) | 对 x ? R 恒成立,且

?

6

f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是( 2
A. ? k? ?

?

) .

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

B. ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. ? k? , k? ?

? ?

??

(k ? Z ) 2? ?

D. ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

2 8.平面直角坐标系 xOy 内,已知点 A ? a , 0 ?? a ? 0 ? ,点 B (b , d ) 在函数 f ( x ) ? mx

则实数 b ? 0 ? m ? 1? 的图象上,?BOA 的平分线不 f ( x ) ? mx 2 的图象恰交于点 C ?1, f ?1? ? , 的取值范围是( A. ( 2 , ? ? ) D. [8 , ? ? ) 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) ) . B. (3 , ? ? ) C .

[4 , ? ?)

| 9.已知三元实数集 A ? ? x,x ? y,xy?,B ? ?0,x | ,y? ,且

A ? B ,则 x ? y 的值为



10.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的体积是 .

? 11. 已知各项为正数的数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2 a n ? 0 ( n ? N ), a 3 ? 2 是 a2与a4 的 且
2 2

等差中项,则数列 {a n } 的通项公式是



? ? 1 ??? ???? 1 ??? 12.设 D 、 P 为 ?ABC 的两点,且满足 AD = ( AB ? AC ), AP ? AD + BC , 5 4



S ?APD S ?ABC

? __________.

13.如图,已知⊙ O 的直径 AB ? 6 , C 为囿周上一点, BC ? 3 , ,过 C 作囿的切线 l ,

AD ? 直线l 于点 D ,交⊙ O 于点 E ,则 DE 的长为
14. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且



2 x

?

1 y

? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围

是 三、解答题:



15. (本小题满分 13 分) 2013 年春节,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿 321 国道 返乡过年,为保证他们的安全,交管部门在 321 国道沿线设立多个驾乘人员休息站,交警小 李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问 结果如下图所示 (Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川 籍的应抽取几名? (Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率. 系统抽样

16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 cos(B ? C ) ? 2 sin B sin C ? ? (Ⅰ)求角 A 的大小;

1 2



(Ⅱ)若 a ? 3 , sin

B 2

?

1 3

,求边 b 的长.

17. (本小题满分 13 分) 如图,底面△ ABC 为正三角形的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2 , AA1 ? 1 , D 是 BC 的中点,点 P 在平面

BCC1 B1 内, PB1 ? PC1 ?
(Ⅰ)求证: PA1 ? BC ;

2.

(Ⅱ)求证: PB1 ∥平面 AC1 D ; (Ⅲ)求二面角 C1 ? AD ? C 的大小.

18. (本小题满分 13 分) 已 知 数 列 ? a n ? 是 等 差 数 列 , 且 满 足 : a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 ; 数 列 ?bn ? 满 足

bn ? bn ?1 ? an ?1 ( n ? 2, n ? N * ), b1 ? 1 .
(1)求 a n 和 bn ; (2)记数列 cn ?

1 , ( n ? N * ) ,若 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证 ? Tn ? 1 . bn ? 2 n 3

1

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ? x ? x ln a ( a ? 0, a ? 1) .
x 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增; (Ⅱ)若函数 y ?| f ( x ) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值.

20. (本小题满分 14 分)

已知椭囿 E :

x2 a
2

?

1? ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 F1 ? 3, 0 且过点 H ? 3, ? . 2? b ?

y2
2

?

?

(Ⅰ)求椭囿 E 的方程; (Ⅱ)设椭囿 E 的上下顶点分别为 A1,A2,P 是 椭囿上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2 分 别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 不过点 M,N 的 囿 G 相切,切点为 T. 证明:线段 OT 的长为定值,幵求出该定值.

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1-5 ADCCB 6-8 BBA

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.2 10. 2? + 2
n 11. an ? 2

12. 13.

1 10
3 2

14. (-4,2) 三、解答题: 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)系统抽样 (II)2 名 (III)

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=-

1 2

cosBcosC-sinBsinC=-

1 2

cos(B+C)=-

1 2

∵0°<B+C<180°, ∴B+C=120° ∵A+B+C=180°, ∴A=60° (II)∵sin

B 2

=

1 3

, ∴cos

B 2 B 2

= 1?( ) ?
2

1

2 2 3

3

∴sinB=2sin

B 2

cos

=

4 2 9



a sin A

?

b sin B

得 b=

a sin B sin A

3? ?

4 2 9 ?8 6 9 3 2

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)如图,取 B1C1 的中点 Q ,连结 A1Q , PQ , ∴ B1C1 ? A1Q , B1C1 ? PQ . 又 PQ ? A1Q ? Q , PQ ? 平面 A1 PQ , A1Q ? 平面 A1 PQ , ∴ B1C1 ? 平面 APQ . 1 又 PA1 ? 平面 AP1Q , ∴ B1C1 ? PA1 . ∵ BC∥ B1C1 ,∴ BC ? PA1 . (Ⅱ)连结 BQ ,在 △ PB1C1 中, PB1 ? PC1 ? ∴ PQ ? 1 , BB1 ? PQ . ∴ BB1∥PQ ,∴四边形 BB1 PQ 为平行四边形. ∴ PB1∥BQ . 又 BQ∥ DC1 , ∴ PB1∥ DC1 . 又∵ PB1 ? 面 AC1 D , ∴ PB1∥ 平面 AC1 D . (Ⅲ)二面角 C1 ? AD ? C 的大小为 45? . 18. (本小题满分 13 分)

2 , B1C1 ? 2 , Q 为中点,

解: (1)因为 a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 ,所以 ? 又 bn ? bn ?1 ? an ?1 ? n ? 1 ,所以,

?3a1 ? 3d ? 6

? a1 ? 1 ?? ,所以 an ? n ; ?d ? 1 ? a1 ? 4 d ? 5

(bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? (bn ? 2 ? bn ?3 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 ) ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ( n ? 3) ? ? ? 2 ? 1
得 bn ? b1 ?

n ( n ? 1) 2
1

,所以 bn ?
? 2

n ( n ? 1) 2
?

? b1 ?
2

n2 ? n ? 2 2
? 2?( 1


? 1 n?2 ) ,所以

(2)因为 cn ?

bn ? 2 n

n ? 3n ? 2
2

( n ? 1) ? ( n ? 2)

n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) ? 2( ? ) 2 3 3 4 3 4 n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 2 ? 2( ? ) ? 1? 2 n?2 n?2

而0 ?

2 n?2

?

2 3

,所以 Tn ? [ ,1) 。

1

3

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)f’(x)=axlna+2x-lna =(ax-1) lna +2x 当 a>1 时,lna >0 当 x∈(0,+∞)时,ax-1>0,2x>0 ∴f’(x)>0 ∴f(x)在(0,+∞)↑ (II)当 a>1 时,x∈(-∞,0)时 ax-1<0,2x<0 f’(x)<0 ∴f(x)在(-∞,0)↓ 当 0<a<1 时, x∈(0,+∞)时 lna <0, ax-1<0,

f’(x)>0,f(x)在(0,+∞)↑ x ∈(-∞,0)时, ax-1>0, lna <0 f’(x)<0, f(x)在(-∞,0)↓ ∴当 a>0 且 a≠1 时,f(x) 在(-∞,0)↓,f(x)在(0,+∞)↑ ∴x=0 是 f(x)在 k 上唯一极小值点,也是唯一最小值点. f(x)min=f(0)=1 若 y=[f(x)-t]-1 有三个零点 即|f(x)-t|=1 f(x)=t±1 有三个根 t+1>t-1 ∴t-1=f (x)min= 1 ∴t=2 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 由题意得 a ? b ? 3 ,
2 2

3 a
2

?

1 4b
2

? 1 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 ,

所以椭囿 E 的方程为

x

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A1 ? 0,1? , A2 ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? ,其中 ?1 ? y0 ? 1 , 直线 PA1 : y ? 1 ? 直线 PA2 : y ? 1 ? 设囿 G 的囿心为 ?

4

? y2 ? 1.

y0 ? 1 x0 y0 ? 1 x0

x ,令 y ? 0 ,得 x N ? x ,令 y ? 0 ,得 x M ?

? x0 y0 ? 1 x0

; .

y0 ? 1

? 1 ? x0 x ? ? ? 0 ? , h ? ,半径为 r , ? ? 2 y ?1 y ?1 ? 0 ? ? ? ? 0


2

r ?
2

? 1 ? x0 x ? x ? x ? 1? x ? 0 ? ? 0 ? ? h2 ? ? 0 ? 0 ? ? h2 ? ? 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? ? 2 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? y0 ? 1 ?
2

2

2



x ? 1? x OG ? ? 0 ? 0 ? ? h 2 , 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ?

2 1? x x0 ? 1? x x0 ? x0 ? ? h2 ? ? 0 ? ? ? h2 ? OT ? OG ? r ? ? 0 ? . 2 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 1 ? y0 ? ? ? ? 2 2 2

2

2



x0 2 4

2 2 ? y0 2 ? 1 ,所以 x0 ? 4 ?1 ? y0 ? ,所以 OT 2 ?

2 4 ?1 ? y0 ?

1 ? y0 2

?4,

所以 | OT |? 2 ,即线段 OT 的长为定值 2 .

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