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§1正弦定理 余弦定理


§1 正弦定理
一、一周知识概述

余弦定理

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用,正弦定理是指在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即

余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2ca

cosB, c2=a2+b2-2abcosC.通过两定理的学习,掌握正弦定理和余弦定理,并能利用这两个定理去 解斜三角形,学会用计算器解决解斜三角形的计算问题,熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题.认识在三角形中,已知两 边和其中一边的对角解三角形,产生多解的原因,并能准确判断解的情况. 二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系 在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则有 (1)角与角之间的关系:A+B+C=180° ; (2)边与角之间的关系:

正弦定理:

余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 射影定理:a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式:

3、余弦定理的另一种表示形式:

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在 △ ABC

中 , 易 证 明

再 在 上 式 各 边 同 时 除 以

在此方法推导过程中,要注意对面积公式的应用.

例 1、在△ABC 中,ab=60, sinB=cosB.面积 S=15,求△ABC 的三个内角. 分析:

在正弦定理中,由 解题. 解:

可以把面积进行转化,进而可以利用三角函数之间的关系进行

由公式 ∴C=30°或 150° 又 sinA=cosB ∴A+B=90°或 A-B=90°

显然 A+B=90°不可能成立

当 C=30°时,由 A+B=150°,A-B=90°得 A=120° B=30°

当 C=150°时,由 A-B=90°得 B 为负值,不合题意 故所求解为 A=120°,B=30°,C=30°. 例 2、在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的外边,若 b=2a,B=A+60° ,求 A 的值. 分析: 解: 把题中的边的关系 b=2a 利用正弦定理化为角的关系,2RsinB=4RsinA,即 sinB=2sinA. ∵B=A+60°

∴sinB=sin(A+60°)=sinAcos60°+cosAsin60°

= 又∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA,∴sinB=2sinA

例 3、在△ABC 中,若 tanA︰tanB=a2︰b2,试判断△ABC 的形状. 分析:三角形分类是按边或角进行的,所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式,从而得到诸如 a2+b2 =c2,a2+b2>c2(锐角三角形) 2+b2<c2(钝角三角形)或 sin(A-B)=0,sinA=sinB,sinC=1 或 cosC=0 等一些等式,进而判定 ,a 其形状,但在选择转化为边或是角的关系上,要进行探索.

解法一:由同角三角函数关系及正弦定理可推得, ∵A、B 为三角形的内角,∴sinA≠0,sinB≠0.

∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二:由已知和正弦定理可得:



整理得 a4-a2c2+b2c2-b4=0, 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 于是 a2=b2 或 a2+b2-c2=0,∴a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状,此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角,要么同时化角为边,然后再找出它们 之间的关系,注意解答问题要周密、严谨. 例 4、若 acosA=bcosB,试判断△ABC 的形状. 分析:本题既可以利用正弦定理化边为角,也可以利用余弦定理化角为边. 解:解法一:由正弦定理得: 2RsinAcosA=2RsinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或 2A+2B=180° ∴A=B 或 A+B=90° 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形 解法二:由余弦定理得

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b 或 a2+b2=c2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

6、正弦定理,余弦定理与函数之间的相结合,注意运用方程的思想. 例 5、如图,设 P 是正方形 ABCD 的一点,点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别是 1,2,3,求正方形的边长.

分析: 解:

本题运用方程的思想,列方程求未知数. 设边长为 x(1<x<3),设∠ABP=α,则∠CBP=90°-α,在△ABP 中

设 x2=t,则 1<t<q,得(t+3)2+(t-5)2=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角,解三角形时,将出现无解、一解和两解的情况,应分情况予以讨论. 下图即是表示在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时解三角形的各种情况. (1)当 A 为锐角时(如下图),

(2)当 A 为直角或钝角时(如下图),

也可利用正弦定理

进行讨论.

如果 sinB>1,则问题无解; 如果 sinB=1,则问题有一解; 如果求出 sinB<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2、用方程的思想理解和运用余弦定理:当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时,等式便成为方程.式中有四个量,知道任意三 个,便可以解出另一个,运用此式可以求 a 或 b 或 c 或 cosA.

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC 中,设三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c.

4、正弦定理解三角形可解决的类型: (1)已知两角和任一边解三角形;(2)已知两边和一边的对角解三角形.

5、余弦定理解三角形可解决的类型:

(1)已知三边解三角形; (2)已知两边和夹角解三角形.

6、三角形面积公式:

例 6、不解三角形,判断三角形的个数. ①a=5,b=4,A=120° ②a=30,b=30,A=50° ③a=7,b=14,A=30° ④a=9,b=10,A=60° ⑤a=6,b=9,A=45° ⑥c=50,b=72,C=135° 解析:①a>b,A=120° ,∴△ABC 有一解. ②a=b,A=50° <90° ,∴△ABC 有一解.

③a<b,A=30° , ∴B=90° ,△ABC 有一解.

④a<b,A=60° , ∴△ABC 有两解(A 为锐角和钝角) . 方法二:a2=b2+c2-2bccosA, ∴92=102+c2-2× ccos60° 10× , 即 c2-10c+19=0 ∵△=102-4× 19=24>0 ∴△ABC 有两解.

⑤b>c,C=45° , ∴△ABC 无解(不存在) . ⑥b>c,C=135° >90° ,又由 b>c 知∠B>∠C=135° ,这样 B+C>180° ,

∴△ABC 无解.


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