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2015-2016学年天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题


天津一中 2015-2016-1 高一年级数学学科期末考试试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。第Ⅰ卷第 1 页,第Ⅱ卷第 2 页至第 3 页。考生务必将答案涂写规定的位置上,答在 试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分)在每

小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. (1 ? tan 2 15?)cos2 15? 的值等于( A. ) C.-
1 2

1? 3 2

B. 1

D.

1 2

2. 已知 a ? ( x,3) , b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 ( A.-9 B.9 C.-1

?

?

?

?

) D.1

3.要得到函数 y ? 3cos(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? 3sin 2 x 的图象( 4 π A.沿 x 轴向左平移 个单位 8 π B.沿 x 轴向右平移 个单位 8 π C.沿 x 轴向左平移 个单位 4 π D.沿 x 轴向右平移 个单位 4 4.已知 sin(

?



?
3

? ? ) ? sin ? ?

7? 4 3 ) 的值是( ,则 sin(? ? 6 5
C.



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D. ?

4 5

5.已知函数 f ?x ? ? ?sin x ? cos x ?cos x ,则下列说法正确的为( A.函数 f ?x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ?x ? 的最大值为 2
第1页 共7页



C.函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? ? D.将 f ?x ? 图像向右平移 像

?
8

对称
1 个单位长度后会得到一个奇函数图 2

?
8

个单位长度,再向下平移

6.已知向量 a, b 的夹角为 60°,且 a ? 1, b ? 2 ,则 2a ? b ? ( A. 3 B. 5 C. 2 2

? ?

?

?

?

?

) D. 2 3

7.在△ABC 中,若 sin B ? sin C ? cos2 A.等边三角形 C.直角三角形

A ,则此三角形为( 2
B.等腰三角形



D.等腰直角三角形

8.将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能取值为( 3π A. 4 ) π B. 4

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 8

C.0

π D.- 4

??? ? ???? ??? ? ???? 9 .在 △ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC , AB ? 2,AC ? 1 , E, F 为 BC 的三等分点,则

??? ? ??? ? AE ? AF ? (

) B.

A.

8 9

10 9

C.

25 9

D.

26 9

? ? ?sin( x) ? 1,x ? 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? 的图像上关于 y 轴对称的点至少有 3 2 ? ?log a x(a ? 0, 且a ? 1),x ? 0
对,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ) C. ?

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? 5 ,1? ? ? ?

? 3 ? ? 3 ,1? ? ? ?

D. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

天津一中 2015—2016—1 高一年级 数学学科期末考试试卷答题纸 第Ⅱ卷
二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
第2页 共7页

? ) ( 0 ? x ? 9 )的最大值与最小值之和为 3 ? ? ? ? 3 1 12.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a ∥ b ,则锐角 ? 为 2 3
11.函数 y ? 2 sin(

?x ?
6

.2? 3 . 450 .?

13.已知 sin ? ? cos ? ?

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3 ? 4?

2 3


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 均为非零向量,且 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a, b 的夹角为 14.若 a,

? 3

15.函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0 )的部分图象如图所示,则
f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2011) ? f (2012) 的值为



16.给出下列五个命题:

? 5? ①函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的一条对称轴是 x ? ; 3 12
? ,0)对称; 2 ③正弦函数在第一象限为增函数; ? ? ④若 sin(2 x1 ? ) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z ; 4 4
②函数 y ? tan x 的图象关于点(
⑤ 函数f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? [0, 2? ]的图像与直线y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则k的取值范围为(1,3).

以上五个命题中正确的有

(填写所有正确命题的序号)①②

三.解答题:本大题共 4 小题,共 46 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ? 1 17. (本小题满分 10 分)已知 tan(? ? ) ? . 4 3 (Ⅰ)求 tan? 的值;

? 3? (Ⅱ)求 2sin 2 ? ? sin(? ? ? )sin( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 的值. 2 2

解析:(1)∵tan?α+
?

?

π? tan α+1 1 1 ?= = ,∴tan α=- . 2 4 ? 1-tan α 3

(2)原式=2sin2α-sin αcos α+cos2α

第3页 共7页

2sin2α-sin αcos α+cos2α 2tan2α-tan α+1 = = sin2α+cos2α tan2α+1
? 1?2 ? 1? 2×?-2? -?-2?+1 ? ? ? ? 8 = = . 5 ? 1?2 ?- ? +1 2 ? ?
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2cos x . 6 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)若 f ( x) ?

?

6 ? ,求 cos(2 x ? ) 的值. 5 3

? π? 解析:(1)f(x)=2sin?x+ ?-2cos x 6? ?

π π =2sin xcos +2cos xsin -2cos x 6 6 = 3sin x-cos x=2sin?x-
? ?

π? ?. 6?

由- 得-

π π π +2kπ≤x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π 2 +2kπ≤x≤ π+2kπ,k∈Z, 3 3 π 2 +2kπ, π+2kπ](k∈Z). 3 3

所以 f(x)的单调增区间为[-

? ? π? π? 3 (2)由(1)知 f(x)=2sin?x- ?,即 sin?x- ?= . 6? 6? 5 ? ?

∴cos?2x-
?

?

? π? π? 7 ?=1-2sin2?x- ?= . 3? 6 ? 25 ?
1 ? cos 2 x 2sin(

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

?
2

? sin x ? a 2 sin( x ? ) 4 ? x)

?

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ?[0,
2 5? ,试确定常数 a 的值. ] 时,函数 y ? f ( x) 的最小值为 1 ? 2 12

第4页 共7页

【答案】 (Ⅰ) ? 2k? ? 【解析】

? ?

3? ?? ? ? ?? (Ⅱ) a ? ?1 , 2k? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ; 4 2? ? 2 4?

试 题 分 析 : 首 先 利 用 恒 等 变 换 化 简 , f ( x) ?

2 ? a 2 sin( x ? ) , ( Ⅰ ) 由 4 ? ? ? 3? ? x? ? [2k? ? , 2k? ? ] [2k? ? , 2 k? ? ] ?k ? Z? 得 x ? ?k ? Z? , 4 2 2 4 4

?

?

?

? ? ? ? 2? ? ? 5? ? sin( ? x) ? cos x ? 0 , 据此求出函数的单调性; (Ⅱ) 当 x ? ?0, ? 时, x ? ?? , ? , 2 4 ?4 3 ? ? 12 ?
当x?

?
4

?

?
4

时,函数 y ? f ? x ? 取得最小值,由此即可求出结果.

试题解析: f ( x) ?

? sin x ? a 2 sin( x ? ) ? 4 2sin( ? x) 2

1 ? cos 2 x

?

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4
?
4 ) ? a 2 sin( x ?
? [2k? ?

? 2 sin( x ?
(Ⅰ)由 x ?

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ?

?
4

)

?

?

4 2 2 3? ? x? [2k? ? , 2 k? ? ] ?k ? Z? 4 4

, 2 k? ?

?

] ?k ? Z? 得

∵ sin(

?

2

? x) ? cos x ? 0

∴ x ? k? ?

?
2

(k ? z )

∴ 函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间是

3? ?? ? ? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? . ? 4 2? ? 2 4? ?
(Ⅱ)当 x ? ?0, ? 时, x ? ? ? , 4 ?4 3 ? ? ? 12 ? ∴当 x ?

? 5? ?

?

? ? 2? ?

?
4

?

?
4

时,函数 y ? f ? x ? 取得最小值为 ( 2 ? a 2 ) ?

2 2 2 ? 1? a 2 2

∴由已知得 1 ? ∴ a ? ?1 .

2 2 2 , a =1 ? 2 2

第5页 共7页

考点:1.三角恒等变化;2.函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的性质;3.三角函数的最值. 【方法点睛】本题主要考查了三角函数 y ? A sin ?? x ? ? ? , ?? ? 0? 在特定区间上的最值问 题, 在解决这类问题时, 一般先根据 x ? ? a, b? 的取值范围, 求出 ? x ? ? ???a ? ?, ?b ? ? ? 的取值范围,然后再作出三角函数在 ??a ? ?, ?b ? ? ? 上的大致图象,根据数形结合,即可 求出三角函数 y ? Asin ??x ? ? ? 在特定区间上的最值.

20. (本小题满分 12 分) ? ? 已 知 向 量 a ? (cos ? x ? sin ? x,sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x) , 设 函 数

? ? 1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? ? 对称,其中 ?, ? 为常数,且 ? ? ( ,1) . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? 3? (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 4 5

解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ =-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ π =2sin(2ωx-6)+λ. 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π 可得 sin(2ωπ-6)=± 1, π π 所以 2ωπ-6=kπ+2(k∈Z), k 1 即 ω=2+3(k∈Z). 1 5 又 ω∈(2,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω=6.
第6页 共7页

6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y=f(x)的图象过点(4,0),得 f(4)=0, 5 π π 即 λ=-2sin(6×2-6) π =-2sin4=- 2, 即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin(3x-6)- 2, 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ 5 ,有-6≤3x-6≤ 6 , 1 5 π 所以-2≤sin(3x-6)≤1, 5 π 得-1- 2≤2sin(3x-6)- 2≤2- 2, 3π 故函数 f(x)在[0, 5 ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2].

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