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清镇市卫城中学人教A版高中数学必修5重要知识点总结(高一)


★★清镇市卫城中学新课标高中数学必修5重要知识点总结

★★吴忠岭编★★

★★2015 年 3 月 21 日★★

★★清镇市卫城中学新课标高中数学必修5重要知识点总结

★★吴忠岭编★★
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★★2015 年 3 月 21 日★★
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【衔接知识】 比例的性质 已知 a, b, c, d ? C ,且有 b ? 0, d ? 0 : a c a?b c?d a c a?b c?d ? ? 1.合比性质:如果 ? ,则有 ; 2.分比性质:如果 ? ,则有 ; b d b d b d b d a c a?b c?d a c a c a?c ? 3.合分比性质:如果 ? ,则有 ; 4.等比性质:如果 ? ,则有 ? ? ; b d a?b c?d b d b d b?d a c a b a c 5.更比性质:如果 ? ,则有 ? ( c ? 0, d ? 0 ); 6.基本性质: 如果 ? ,则有 ad ? bc . b d c d b d 第一章 解三角形
1.三角形的性质: (1)三角形内角和定理: A ? B ? C ? π . (2)三角形中常见结论:

数称为等差数列的公差.等差数列定义的数学符号表述:a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2, n ? N ) ,或 a n ?1 ? a n ? d ( n ? 1, n ? N ) . 14.等差中项:如果 a , ? , b 成等差数,那么 ? 叫做 a 与 b 的等差中项.若 ? 是 a 与 b 的等差中项,则 A ?

a?b ,反 2

姓名:



之亦成立. 15.等差数列的通项公式:若等差数列 {a n } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ? 1? d . 通项公式的变形:① a1 ? an ? ? n ? 1? d ;② d ? 16.等差数列的性质: 【性质 1】通项公式的推广: a n ? a m ? ( n ? m) d ,( n, m ? N ); 【性质 2】若 {a n } 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 {a n } 是等差数列,且 m ? n ? 2 p ,则 a m ? a n ? 2a p ( n 、 p 、 q ? ? ) . 【性质 3】若 {a n } 是等差数列,公差为 d ,则 a k , a k ? m , a k ? 2 m , a k ?3 m , ? ( k , m ? N ) 是公差为 md 的等差数列.(简言 之:等差数列 {a n } 中,若下标成等差,则项成等差). ※【性质 4】若 {a n } 是等差数列,公差为 d ,则数列 {a 2 n } 、 {c ? a n } 、 {c ? a n } 、 {a n ? a n ? k } 分别是公差为 2d 、 d 、
*
* *

an ? a1 a ? a1 ?1. ;③ n ? n n ?1 d
*

A? B ? C A? B C A? B C ? ? , sin ? cos , cos ? sin . 2 2 2 2 2 2 2 ②在 ΔABC 中, a ? b ? c , a ? c ? b , b ? c ? a . A ? B ? sin A ? sin B ; A ? B ? cos A ? cos B ; a ? b ? A ? B (大边对大角,大角对大边)
① sin( A ? B ) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C , ③若 ΔABC 为锐角三角形,则 A ? B ?

cd 、 2d 的等差数列( k ? N * , c 为任一常数). ※【性质 5】若 {a n } 、 {bn } 分别是以 d1 、 d 2 为公差等差数列,则数列 { pa n ? qbn } 是公差为 pd1 ? qd 2 的等差数列.
17.等差数列的前 n 项和公式:① S n ? 18.等差数列的前 n 项和性质:
2

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ;② S n ? na1 ? d .(推导方法:倒序相加法) 2 2
2

?
2

,B ?C ?

?
2

,A?C ?

?
2

; a ? b ? c ,b ? c ? a ,a ? c ? b .

2

2

2

2

2

2

2

2

【性质 1】等差数列中依次 k 项和 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,…组成公差为 k d 的等差数列.

2.正弦定理: (1) 正 弦 定 理 : 在 一 个 三 角 形 中 , 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 相 等 , 并 且 都 等 于 该 三 角 形 外 接 圆 的 直 径 . 即

a b c ? ? ? 2 R ( 2 R 为 ΔABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C
(2)正弦定理的常见变形: ①边化角公式: a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C .

d d , B ? a1 ? . 2 2 S 偶 a n ?1 * ? 【性质 3】(1)若等差数列的项数为 2n ? n ? ? ? ,则 S2 n ? n ? an ? an ?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd , . S奇 an
【性质 2】数列 {a n } 是等差数列 ? S n ? An ? Bn ( A 、 B 为常数),其中 A ?
2

(2)若等差数列的项数为 2n ? 1 n ? ?

?

*

? ,则 S

2 n ?1

? ? 2n ? 1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 n . ? S偶 n ? 1

a b c , sin B ? , sin C ? . 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin A : sin B : sin C . a b c a?b?c ? ? ? ? 2R . ※ ④ sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C . b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? b2 ? c 2 4.余弦定理的推论: cos A ? , cos B ? , cos C ? . (角化边) 2bc 2ac 2ab 1 1 1 5.面积公式: S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2 ※6.射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A 7.设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 2 2 ? ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
②角化边公式: sin A ? 8.证明边角恒等式:一般全化成边的关系或全化成角的关系.

(其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ? 1? an ) .

d ? Sn ? ? 是公差为 的等差数列. 2 ?n? a S ※【性质 5】设两个等差数列 {a n } 、 {bn } 前 n 项和 S n , Tn ,则 n ? 2 n ?1 . bn T2 n ?1
※【性质 4】若数列 {a n } 是公差为 d 的等差数列,则数列 ? 19.等差数列的判定方法: (1)定义法: a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2, n ? N ) ? {a n } 成等差数列. (2)等差中项法: 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ( n ? N ) ? {a n } 成等差数列. (3)通项公式法: a n ? kn ? b ( k , b 为常数, n ? N ) ? {a n } 成等差数列. (4)前 n 项和公式法:验证 S n ? An ? Bn . 20.等比数列:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常 数称为等比数列的公比. 等比数列定义的数学符号表述:
2
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第二章 数列
9.数列:按照一定顺序排列着的一列数. 10.数列的分类: (1)按项的个数分类: 有穷数列、无穷数列;(2)按项的变化趋势分类:递增数列、递减数列、常数列、摆 动数列. 11.数列的通项公式:表示数列 {a n } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 12.数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 13.等差数列:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常
数学教师赠同学们:★要迎着晨光实干,不要面对晚霞幻想★ ★第 1 页 共 4 页★ ★聪明来自勤奋,知识在于积累★

an a ? q 或 n ?1 ? q (n ? 2, n ? N * , q ? 0) . a n ?1 an
2

21.等比中项:在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则 称 G 为 a 与 b 的等比中项,即 G ? ? ab .注意: a 与 b 的等比中项可能是 ?G . 22.等比数列的通项公式:若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 23.等比数列的通项公式的变形: ① a1 ? a n q
1? n
n ?1



;② q

n ?1

?

an . a1
★第 1 页 共 4 页★ ★聪明来自勤奋,知识在于积累★

数学教师赠同学们:★要迎着晨光实干,不要面对晚霞幻想★

★★清镇市卫城中学新课标高中数学必修5重要知识点总结 24.等比数列的性质: 【性质 1】通项公式的推广: a n ? a m ? q
n?m

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,( n, m ? N );
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穿针引线法(序轴标根法)解一元高次不等式的方法: 【第 1 步】标根:在数轴上从左到右依次标出 x1,x2, ?,xk (在标的时候注意区别“空心”与“实心”); 【第 2 步】确定入口:最高次数项系数 an ? 0 时,从数轴的右上 方入, an ? 0 时,从数轴的右下 方入; . . 【第 3 步】确定出口:接第 2 步,用自由曲线自右向左依次连向各根所在点,注意“奇重根穿过去,偶重根弹出来”; 【第 4 步】读图:数轴上方线条所覆盖的 x 范围表示 f ( x ) ? 0 ,数轴下方线条所覆盖的 x 范围表示 f ( x ) ? 0 ,每个根 处 f ( x) ? 0 . 记忆口诀:首正右上翘,首负右下掉;奇过偶不过,引线解知道. 34.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

【性质 2】若 {a n } 是等比数列,且 k ? l ? m ? n ( k 、 l 、 m 、 n ? N ) ,则 a k ? a l ? a m ? a n ; 若 {a n } 是等比数列,且 k ? l ? 2m ,则 a k ? al ? a m ( k 、 l 、 m ? N ) . 【性质 3】 若 {a n } 是等比数列, 公比为 q , 则 a k , a k ? m , a k ? 2 m , a k ?3 m , ? ( k , m ? N ) 是等比数列. (简言之: 等比数列 {a n } 中,若下标成等差,则项成等比). ※【性质 4】若 {a n } 、{bn } 分别是以 q1 、 q 2 为公比的等比数列, ,则数列 {
* 2
*

b 1 } 、{a n ? bn } 、{ n } 、{| a n |} 、{λa n } 分 an an

q 1 别是公比为 、 q1 q 2 、 2 、 | q1 | 、 q1 的等比数列. q1 q1
?na1 ? q ? 1? ? 25.等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q .(推导方法:错位相减法) ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q 26.等比数列的前 n 项和性质: k 【性质 1】等差数列中依次 k 项和(注意:依次 k 项和必须非零) S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,…组成公比为 q 的等比
数列. 【性质 2】若等比数列的项数为偶数,则偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即 【性质 3】若 {a n } 是公比为 q 的等比数列,则 S m ? n ? S m ? q ? S n 或 S m ? n ? S n ? q ? S m . 27.等比数列的判定方法:
m n

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图象

2

有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根
2

有两个相等实数根

S偶 S奇

x1,2 ?

?q.
一元二次不 等式的解集

?b ? ? ? x1 ?x2? 2a
1 2

x1 ? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?

? x x ? x 或x ? x ?
?x x
1

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R
?

a a * (1)定义法: n ? q 或 n ?1 ? q (n ? 2, n ? N , q ? 0) ? {a n } 成等比数列. a n ?1 an
(2)等比中项法: a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ( a n ? 0, n ? N ) ? {a n } 成等比数列. (3)通项公式法: a n ? c ? q ( c , q 均是不为零的常数, n ? N ) ? {a n } 成等比数列. 28. a n 与 S n 的关系: a n ? ?
n
*

? x ? x2 ?

2

*

【特别提示】若二次项系数为负,先变为正. 35.线性规划问题: (见课本) 36.设 a 、 b 是两个正数,则

S1 , (n ? 1) . ?S n ? S n?1 (n ? 2) ?

2 a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数, 称为正数 1 1 2 ? a b
a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立). 2

a 、 b 的调和平均数.
37.基本不等式(均值不等式) : 若 a ? 0 , b ? 0 ,则

第三章 不等式 29.实数比较大小的依据: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b .
30.比较两个实数大小的方法:(1)作差法;(2)作商法. 31.不等式的性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a ; (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c ; (3)可加性: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4)可乘性: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (5)同向可加性: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (6)同向同正可乘性: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;

利用基本不等式求最值需要满足的条件:一正、二定、三相等.( “一正”指各数或各式均为正; “二定”指和或积为定 值; “三相等”指等号能否成立.) 38.重要不等式: a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? (当且仅当 a ? b 时,等号成立).
2 2

a2 ? b2 a?b? a2 ? b2 ? a ? b ? a ? 0, b ? 0 ?? 39.基本不等式的变形:(1) ab ? ; (3) ? a, b ? R ? ;(2) ab ? ? ? ? ? ? ? ? a, b ? R ? ; 2 2 ? 2 ? ? 2 ?
b a a2 ? b2 a ? b 2 ? ? 2 ( a, b 同号);※(5) ( a ? 0, b ? 0 ). ? ? ab ? 1 1 a b 2 2 ? a b 40.极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
(4)

2

2

? n ? ?, n ? 1? ; (8)可开方性: a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ? , n ? 1? .
(7)可乘方性: a ? b ? 0 ? a ? b 32.一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 33.穿针引线法(序轴标根法) : 序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小. 如果一个 n 次多项式函数 f ( x ) ? an ? x ? an ?1 ? x
r r
n n ?1

n

n

s2 . 4 (2)若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
(1)若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 记忆口诀:和定积最大,积定和最小. 赠同学们:1、知识改变命运,学习成就未来. 2、学如逆水行舟,不进则退.

? ? ? a1 ? x ? a0 可分解为:
r

f ( x) ? an ? ? x ? x1 ? 1 ? ? x ? x2 ? 2 ? ? ? x ? xi ? i ? ? ? x ? xk ? k
其中 x1 ? x2 ? ? ? xk ,

r

r1 ? r2 ? ? ? rk ? n , xi 叫作f ( x) ? 0 的 ri 重根 , an 是最高次数项系数,可正也可负,

祝同学们:学习进步!快乐成长!做一位对祖国对人民有用的人. 请妥善保存:此资料将是期中考试、期末考试、学业水平考试、高考等考试的重要复习资料,若有丢失,不再补发。
数学教师赠同学们:★要迎着晨光实干,不要面对晚霞幻想★ ★第 3 页 共 4 页★ ★聪明来自勤奋,知识在于积累★

以后每个因子内 x 的系数均化为“1”——这一点很重要.
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