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40江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学


徐州、淮安、宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试
一、填空题: 1.己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,则 A

B 中元素的个数为_______.

2.设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为_______. 3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩, 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______. 4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名应聘者被录用 的机会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用的概率为_______. 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为_____. 6. 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 ______. 7. 若实数 x, y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 10 的最小值为_____. 8. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为______. 9. 己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互 相平行,则 2a+3b 的最小值为________. 10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A, B1 , B2 , F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点, a 2 b2

若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为______. 11.已知 a、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | c | 的最大值 是_____________.
?x,x≥0, 12.已知函数 f (x)=? 2 ,则关于 x 的不等式 f(x2)>f(3-2x)的解集是 ?x ,x<0,





x x2 13.已知 a 为正的常数,若不等式 1 ? x ? 1 ? ? 对一切非负实数 x 恒成立,则 a 的最大值为 2 a
▲ .

14.设点 P 是曲线 y=x2 上的一个动点,曲线 y=x2 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直 线与曲线 y=x2 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为
1





二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 己知向量 a ? (1, 2sin ? ), b ? (sin(? ? (1)若 a ? b ,求 tan ? 的值: (2)若 a / / b ,且 ? ? (0,

?
3

),1) , ? ? R .

?
2

) ,求 ? 的值.

17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知点 A(?3, 4), B(9, 0) ,C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且 满足 AC=BD. (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程; (2)证明: ? OCD 的外接圈恒过定点(异于原点 O).

2

18.(本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4 km.,地块的一角是湿地(图中阴影部 分),其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不 计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km),△ BEF 的面积为 S(单位: km ). (I)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由.
2 2

19.(本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x, a ? R 2

(1)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值:

(3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 2

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