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好的椭圆的定义与标准方程(公开课)课件


“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

引例:

若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它的两端 都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么图形?

平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.

思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢?

探究:若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉紧绳子,再移动笔尖一 周,这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢?

如果把细绳的两端的距离拉大,那是否还能画出椭圆?

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

1 .椭圆定义:
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
注意: (1)必须在平面内; (2)两个定点——两点间距离 确定;(常记作2c) F1 (3)常数——轨迹上任意点到两 定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c) 若2a=F1F2轨迹是什么呢? 若2a<F1F2轨迹是什么呢?

M
F2

轨迹是一条线段 轨迹不存在

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

y F2
M xx x
O

M
O F2

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

设P (x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

P ( x , y)
x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于 得方程
| PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0), b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2

2

椭圆的标 准方程

刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?
由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于
得方程
| PF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | PF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?) 焦点在x轴   ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

X

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个 轴上。

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

口答:
x2 y 2 1. 2 ? 2 ? 1 , 则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1, 则a= 6 ,b= 4 4 6
x2 y 2 3. ? ? 1 9 6 x2 y2 4. ? ? 1 7 4

; ;

则a= 3 ,b= 6

则a =

7 ,b= 2



例3.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上
每一点到两焦点距离的和。
x2 (1) ? y 2 ? 1 4 x2 y2 (2) ? ?1 4 5 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
(3)4 x 2 ? 3 y 2 ? 4

解:椭圆方程具有形式 因此 c ?
a2 ? b2 ? 4 ?1 ? 3

其中

a ? 2, b ? 1

两焦点坐标为

(? 3,0), ( 3,0)

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为

2a ? 4

例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程

| PF1 | ? | PF2 |? 10, | F1 F2 |? 8

解:椭圆具有标准方程 因此 c ? 4, a ? 5,

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

其中

2c ? 8,2a ? 10
x2 y2 ? ?1 25 9

b2 ? a 2 ? c 2 ? 25 ? 16 ? 9

所求方程为

x y2 ? ? 1上一点P到焦点 F1 的距离等于 1. 如果椭圆 100 36

2

课堂练习

6,那么点P到另一个焦点 F2 的距离是
x2 y 2 2. 已知经过椭圆 ? ? 1的右焦点 25 16

14

F2 作直线AB

交椭圆于A,B两点,F 是椭圆的左焦点,则△ AF1 B 1 的周长为

20

3、求满足下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两焦点坐标分别是 (0, ?2), (0, 2) ,且椭圆 3 5 经过点 P(? , ) ; 2 2
(2)焦距为8,椭圆上一点P到两焦点距离之和 为10;

小结:
一种方法: 求椭圆标准方程的方法 二类方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b a b

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2

不 同 点




F1

P
x

O

F2

x

O

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上


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