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2010年全国高中数学联赛试题


2010 年全国高中数学联赛试题
一.填空题(每小题 7 分,共 56 分)

1. 已 知 k1 ? k2 ? ? ? kn 是 非 负 整 数 , 满 足 2 1 ? 2 2 ? ? ? 2
k k

kn

? 227 , 则

k1 ? k2 ? ? ? kn ?

>
.

2. 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?| x ? 2a | 和 g ( x) ?| x ? a | 的图像交于 C 点且它们分别与 y 轴交于 A 和 B 点,若三角形 ABC 的面积是 1 ,则 a ? .
S n ? 210 n

3. 已知 S n 是公差为正数 q 的等差数列的前 n 项之和,如果 最小值, 则 q 的取值范围是
3

在 n ? 6 时取到

.
n ??

4. 已知函数 y ? x 在 x ? ak 的切线和 x 轴交于 ak ?1 ,如果 a1 ? 1 , 则 lim S n ? 5. 函数 f : R ? R 对于一切 x, y, z ? R 满足不等式

.

f ( x ? y ) ? f ( y ? z ) ? f ( z ? x) ? 3 f ( x ? 2 y ? z ) ,
则 f (1) ? f (0) ? ;
b a 1 tan A 1 tan B
x
2

6. 锐角三角形 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

?

a b

? 4 cos C ,则

?

的最小值是



7. P 是椭圆 取值范围是

?

y

2

12

4

???? ???? ? ? 1 上的一动点, F1 和 F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 的



8. 用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染 4 个顶点.则 任一棱的两个端点都不同色的概率是 ;

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分)

9. 已知 sin ? ? sin ? ?

1 5

, cos ? ? cos ? ?

1 3

,求

1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

的值. 10. 设 a1 , a2 ,? , an 是 1, 2,? , n 的一个排列( n ? 3 ) ,求证:
1 a1 ? a2 ? a3
2 2 2

?

1 a2 ? a3 ? a4
2 2 2

?

1 a3 ? a4 ? a5
2 2 2

?? ?

1 an ? 2 ? an ?1 ? an
2 2 2

?

2 ? n ? 2?

2

n ? n ? 1?? 2n ? 1?

. 11.对任意的正整数 n ,证明恒等式

?k
k ?1

n

k
4

? k ?1
2

?

1
2

n ? n ? 1 k ?1

?k .

n

12. 设 S 是一些互不相同的 4 元数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的集合,其中 ai ? 0 或 1 ,
i ? 1, 2, 3, 4 .已知 S 的元素个数不超过 15 且满足:

若 (a1 , a2 , a3 , a4 ), (b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S ,则
(max{a1 , b1}, max{a2 , b2 }, max{a3 , b3}, max{a4 , b4 }) ? S


(min{a1 , b1}, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3}, min{a4 , b4 }) ? S .

求 S 的元素个数的最大值.


1. 19 提示:



227 ? 1 ? 2 ? 32 ? 64 ? 128 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,
0 1 5 6 7

- 2 -


k1 ? k2 ? ? ? kn ? 0 ? 1 ? 5 ? 6 ? 7 ? 19 ,

于是应填 19 . 2. 2
a

提示:由 f ( x) 和 g ( x) 的图像知三角形 ABC 是底为 a 的等腰直角三角形,故
2

其面积 1 ?

,于是 a ? 2 . 应填 2 .
n( n ? 1) 2

4

3. [10,14] 提示:设 an ? a1 ? (n ? 1)q ,则 S n ? na1 ?
S n ? 210 n ? q 2 n? 210 n ? a1 ?

q ,于是

q 2



由题设知
6q 2 q 2 ? 210 6 ? min{ 5q 2 ? 210 7 q 210 , ? }, 5 2 7

由此可得 5 ?

? 7 ,故 q 的取值范围是 [10,14] .

4.3 提示: 由 y ? x 知 y? ? 3 x ,于是 y ? x 在 x ? ak 的切线方程为
3 2 3

y ? ak ? 3ak ? x ? ak ? .
3 2

它与 x 轴交于点 (ak ?1 , 0) ,故
? ak ? 3ak ? ak ?1 ? ak ? ,
3 2

由此可得 ak ?1 ?

2 3

ak .又 a1 ? 1 ,故
2 n 1? ( ) 3 ? 1 ?3, lim S n ? lim n ?? n ?? 2 2 1? 1? 3 3

所以应填 3 . 5. 0 提示:

x ? ? y ? z ? f (0) ? f (0) ? f ? 2 x ? ? 3 f ? 0 ? ? f ? 2 x ? ? f ? 0 ? ,

x ? y ? ? z ? f (2 x ) ? f (0) ? f (0) ? 3 f (2 x) ? f (0) ? f (2 x)
由此得 f (0) ? f ( x ) ? f (0) , 从而 6.提示:由题设及余弦定理
4ab ? a ?b ?c
2 2 2

f ( x) ? f (0) ? c (常数).故应填 0 .

? a ? b ? a ? b ? 2c ,
2 2 2 2 2

2ab

于是
1 tan A ? 1 tan B ? cos B sin A ? sin B cos A sin A sin B
sin( A ? B ) sin C sin A sin B sin C
? ? c
2

?

?

sin C sin A sin B sin C
2

2

? ?

a ?b
2

ab sin C 2ab 2ab sin C

2ab sin C 1 sin C ? 2 3

而上式等号成立当且仅当 A ? B ? C
1 tan A ? 1 tan B ? 2 3



7. [?4, 4]

提示:设 P ( x0 , y0 ) , F1 ? ?c, 0 ? , F2 ? c, 0 ? ,则有
???? PF1 ? (?c, 0) ? ( x0 , y0 ) ? ( ? x0 ? c, ? y0 ) , ???? ? PF2 ? (c, 0) ? ( x0 , y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ,

于是
???????? ? 2 2 2 2 2 2 PF1 ?PF2 ( ? x0 ? c, ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? c ? y0 ? x0 ? y0 ? c .

注意到 b ? x0 ? y0 ? a ,即有
2 2 2 2

b ? c ? x0 ? y0 ? c ? a ? c ,
2 2 2 2 2 2 2

- 4 -

也即
???????? ? 2 2 2 2 b ? c ? PF1 ?PF2 ? a ? c

(其中 a ? 12, b ? 4, c ? a ? b ? 8 ) ,故有 ?4 ? PF1 ?PF2 ? 4 .
2 2 2 2 2

???????? ?

8.

1 35

提示:当其中一种颜色染 4 个顶点时,其余两种颜色可任意染色剩余的 4 个

顶点.于是满足要求的染色方法共有
C3 ? C8 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 3 ? 70 ? 15 (种)
1 4 0 1 2 3

若要求任一棱的两个端点都不同色,则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种,此时其 余两种颜色仍可任意染色剩余的 4 个顶点.于是这样的染法共有
C3 ? 2 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 6 ? 15 (种)
1 0 1 2 3

故所求概率为

6 ? 15 3 ? 70 ? 15

?

1 35

.

9.


sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

?

1 5


cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

?

1 3

可得 tan

? ??
2

?

3 5

,于是

tan ?? ? ? ? ?

2 tan 1 ? tan

? ??
2 ? ? ?

2? ? 1?

3

6

2

5 ? 5 ? 15 . 9 16 8 25

2

25

注意到

tan ?? ? ? ? ? ?

1 ? cos 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

?

从而
1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

=

15 8

.

10.由柯西不等式容易得到:
? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? a12 ?a2 ?a32 ??? a2 ?a32 ?a4 ?????an ?2 ?an ?1 ?an ?? ? ? ?

? ? 2 ? ? 1 1 1 ? ??? ? n?2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2? a ?a ?a ? ? a1 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 n?2 n ?1 n ? ?

?

?

从而有

1 a ?a ?a
2 1 2 2 2 3

?

1 a ?a ?a
2 2 2 3 2 4

?? ? a
2 2 2

1
2 n?2

? an ?1 ? an
2

2

? ? ?

( n ? 2)
2 2 2

3( a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 2( a1 ? an ) ? ( a2 ? an ?1 )
2 2

( n ? 2)
2 2

2 2

3( a1 ? a2 ? ? ? an ) ( n ? 2) 1 2
2

n( n ? 1)(2n ? 1)

?

2( n ? 2)

2

n( n ? 1)(2n ? 1)

11.证明:

?k
k ?1

n

k
4

? k ?1
2

??
k ?1

n

k k ? 2k ? 1 ? k
4 2 2

??
k ?1

n

k (k ? 1) ? k
2 2 2

- 6 -

??
k ?1

n

k ( k ? 1 ? k )( k ? 1 ? k )
2 2

?

1 2

[? (
k ?1

n

1 k ?1? k
2

?

1 k ?1? k
2

)]

?

1 2

(1 ?

1 n ?1? n
2
n

)?

1

n ?n 1 n ?n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1? n n ?1? n 2
2 2

?

1
2

n ? n ? 1 k ?1

?k .

12. 显然所有可能的 4 元数组有 16 种.因为至少有一个那样的 4 元数组不在 S 中, 所以 (1, 0, 0, 0) , (0,1, 0, 0) , (0, 0,1, 0) 和 (0, 0, 0,1) 中至少有一个不在 S 中,若不然由题 中条件可推出所有那样的 4 元数组都在 S 中,不妨设 (1, 0, 0, 0) ? S . 此时由题中条件又知 (1,1, 0, 0) , (1, 0,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 中至少有 2 个不能在 S 中,不 妨设 (1,1, 0, 0) 和 (1, 0,1, 0) 不在 S 中.此时又可知 (1,1,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 不能同时在 S 中,不妨设 (1,1,1, 0) 不在 S 中.于是 S 的元素个数不超过 16 ? 4 ? 12 个. 现在设 S 是所有可能的 16 个 4 元数组中去掉 (1, 0, 0, 0) , (1,1, 0, 0) , (1, 0,1, 0) 和
(1,1,1, 0) 后所成的集合,我们要证 S 满足题中条件,从而 S 的元素个数最大值为12 .

任取 (a1 , a2 , a3 , a4 ), (b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S . (1)若 a1 ? b1 ? 0 或 a4 ? 1 或 b4 ? 1 ,则显然
(max{a1 , b1}, max{a2 , b2 }, max{a3 , b3}, max{a4 , b4 })

不 等 于 上 述 去 掉 的 4 个 4 元 数 组 中 任 何 一 个 , 从 而 属 于 S . 又
(min{a1 , b1}, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3}, min{a4 , b4 })

(2)若 a1 ? 1 或 b1 ? 1 且 a4 ? b4 ? 0 ,则
(max{a1 , b1}, max{a2 , b2 }, max{a3 , b3}, max{a4 , b4 }) ? (1, max{a2 , b2 }, max{a3 , b3 }, 0) ,

由此推出 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ,这种情况不会出现.类似地有:

(3)若 a1 ? 0 或 b1 ? 0 或 a4 ? b4 ? 1 ,则显然
(min{a1 , b1}, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3}, min{a4 , b4 })

不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个,从而属于 S . (4)若 a1 ? b1 ? 1 且 a4 ? 0 或 b4 ? 0 ,则
(min{a1 , b1}, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3}, min{a4 , b4 }) ? (1, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3 }, 0) ,

由此推出 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ,这种情况也不会出现. 综上所述, S 是满足题目要求的,故 S 的元素个数最大值就是 12 .

- 8 -


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