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北京大学2016年优秀中学生数学金秋营试题


北京大学 2016 年优秀中学生数学金秋营

2016

10

14

14:00-17 30

∠ + ∠ , 在 上且 平分 ∠ , 4 延长 交 △ 的外接圆于 . 证明: 平分 ∠. 1. 在 △ 内部有一点 满足 ∠ = ∠ =

/>2. 对于 {1, 2, ? , 2} 的一个排列 {1 , 2 , ? , , 1 , 2 , ? , } 定义函数 (1 , 2 , ? , , 1 , 2 , ? , ) =
?1


=1

| ? +1 +1 | 求所有的排列中, (1 , 2 , ? , , 1 , 2 , ? , ) 的最小值.

3. 求所有正整数 , , 满足对任意实数 , , 0 ≤ < ≤ 1. 存在正整数 , 使得 {2 + + } ∈ (, ) 成立.

4. 设 为奇素数, ≡ 1(mod4). 正整数 , 满足 2 ? 2 = 1.  设 也为奇素数, (, ) = 1. 考虑同余方程 4 ? 22 + 1 ≡ 0(mod). 证明下述 3 个论述等价: (1) 为摸 的二次剩余; (2) 同余方程存在一个解; (3) 同余方程存在四个互不相同的解.

2016
4

10

15

09:00-12 00

5. 设函数 () =


=0

, 且 ∈ [?1, 1] 时 | ()| ≤ 1. 求 |2 | 的最大可能值.

6. 一个班里有 50 人, 互相之间发短信, 若三个人 , , 之间, 仅有 给 发过短信, 给 发过短信, 给 发过短信, 则称 , , 三个人构成一个“循环”, 试求这 50 人中“循环”个 数的最大可能值.

7. 试求所有正整数 , 使得对任意正整数 , 都存在正整数 , 使得 + 2016 是一个正整数的 次方.

8. 对 (0, 1) 中的实数称其中两个为相邻的, 如果这个两个数的十进制表示中只有一位不同, 是否 可以将 (0, 1) 中的实数 10 染色, 使得任意两个相邻的数颜色都不相同?


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