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第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷(完整Word版)


第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷

第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共 8 题,满分 160 分。

一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体 积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放, 释放时物块的下底面和湖 水表面恰好相接触。已知湖水密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为

? ' ,且 ? ' ? ? 。 在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下, 求物块从初始位置出发往返一次 所需的时间。

二、 (23 分)设想在地球赤道平面内有 一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯, 电梯 顶端可超过地球的同步卫星高度 R(从地心 算起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电 梯可用于低成本地发射绕地人造卫星, 其发 射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度, 然后启动推进装置将卫星从 太空电梯发射出去。 1、设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度 可视为零)而进入太空。 (1)论证卫星脱落后不会撞击地面。 (2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。 讨论该卫星从脱落时刻起,在 0~12 小时及 12~24 小时两个时间段内被太空该电 梯回收的可能性。 2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 R X 处有 一卫星从电梯脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零) ,脱 落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点 的经度。提示:此问要用数值方法求解高次方程。 已知:地球质量

M ? 6.0 ?1024 kg , 半 径 Re ? 6.4 ?106 m 的 球 体 ; 引 力 恒 量

G ? 6.7 ?10?11 N ? m2 ? kg ?2 ;地球自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱落
后只受地球引力作用。

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三、 (25 分) 如图所示, 两根刚性轻杆 AB 和 BC 在

B 段牢固粘接在一起, AB 延长线与 BC 的夹角 ? 为
锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、

B 和 C 三点各固连一质量均为 m 的小球,构成一刚性
系统。整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固 定的光滑竖直挡板,杆 AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 v0 、方向沿

AB 的速度向挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球 C 在垂
直于挡板方向的分速度为零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先 于球 A 与挡板相碰,求夹角 ? 应满足的条件。

四、 (21 分)如图所示,虚线小方框是由 2n 个电容器联成的有限网络;虚线大方框是 并联的两个相同的无限网络,此无限网络的 结构是:从左到中间,每个电容器的右极板 与两个电容器的左极板相连,直至无穷;从 中间到右,每两个电容器的右极板与一个电 容器的左极板相连,直至联接到一个电容器 为止。网络中的所有电容器都是完全相同的 平行板真空电容器,其极板面积为 S ,极板 间距为 d ( d

?? S ) 。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接,

电池电动势恒定、大小为 ? 。忽略电容器的边缘效应,静电力常量 k 已知。 1、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢地向右拉动,使其两极板的 距离变为 2 d ,求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。 2、在电容器 a 两极板的距离变为 2d 后,再将一块与电容器 a 的极板形状相同、面

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积也为 S 、带电荷量为 Q ( Q ? 0 )的金属薄板沿平行于 a 的极板方向全部插入 到电容器 a 中,使金属薄板距电容器 a 左极板的距离为 x 。求此时电容器 a 的左极 板所带的电荷量。

五、 (25 分)如图所示,两个半径不等的用细金属 导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。 大圆环半径 为 R1 ,小圆环表面绝缘半径为 R2 ( R2 ?? R1 ) ,两圆环 导线每单位长度电阻均为 r0 ,它们处于匀强磁场中, 磁感应强度大小为 B ,方向竖直向下,一每单位长度 电阻为 r1 的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆 环中心左侧为 R1 / 100(> R2 )的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对 于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。 假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。 试求在上 述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R ,长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处 产生的磁感应强度大小为 B ? k m
Il ,方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的 R2

方向满足右手螺旋法则; 无限长直导线通有电流 I 时, 电流在距直导线距离为 r 处 产生的磁感应强度 B 的大小为 B ? k m
2I ,其中 k m 为已知常量。 r

六、 (15 分)如图所示,刚性绝热容器 A 和 水平放置,一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热 刚性细短管把容器 A、B 相互连通。初始时阀门 是关闭的, A 内装有某种理想气体, 温度为 T1 ; 内为真空。现将阀门打开,气体缓慢通过多孔
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B

B

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塞后进入容器 B 中。 当容器 A 中气体的压强降到与初始时 A 中气体压强之比为 ? 时, 重新关闭阀门。 设最后留在容器 A 内的那部分气体与进入容器 B 中的气体之 间始终无热量交换,求容器 B 中气体质量与气体总质量之比。已知:1 摩尔理想 气体的内能为 u ? CT ,其中 C 是已知常量, T 为绝对温度;一定质量的理想气 体经历缓慢的绝热过程时,其压强 p 与体积 V 满足过程方程 pV 中 R 为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。
C?R C

? 常量 ,其

七、 (16 分)图中 L1 为一薄凸透镜, Q 为高等于 2.00cm 与光轴垂直放置的 线状物,已知 Q 经 L1 成一实像,像距为 40.0cm。现于 L1 的右方依次放置薄凹透 镜 L2 、 L3 和薄凸透镜 L4 以及屏 P ,它们之间的距离如图所示,所有的透镜都共 轴,屏与光轴垂直, L2 、 L3 焦距的大小均为 15.0cm。已知物 Q 经上述四个透镜 最后在屏上成倒立的实像,像高为 0.500cm。

1、 L1 焦距的大小为

cm, L4 焦距的大小为

cm。

2、现保持 Q 、 L1 、 L4 和 P 位置不变,而沿光轴平移 L2 、 L3 ,最后在屏上成倒 立的实像,像高为 1.82cm,此时 L2 和 L1 的距离为 cm。 最后保留结果至小数点后一位。 cm, L3 和 L4 的距离为

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八、 (18 分)如图所示,竖直固定平行放置的两条相同长 直导线 1 和 2 相距为 a ( a <<长直导线的长度) ,两导线中通有 方向和大小都相同的稳恒电流,电流方向向上。导线中正离子 都是静止的, 每单位长度导线中正离子的电荷量为 ? ; 形成电 流的导电电子以速度 v0 沿导线向下匀速运动, 每单位长度导线 中导电电子的电荷量为 ? ? 。已知:单位长度电荷量为 ? 的无 限长均匀带电直导线在距其距离为 r 处产生的电场的强度大小 2? 为 E ? ke ,其中 ke 是常量;当无限长直导线通有稳恒电流 I
r

时,电流在距导线距离为 r 处产生磁场的磁感应强度大小为
B ? km 2I ,其中 k m 是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量 ke 和 k m r

的比值。 提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中 的光速为 c 。

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