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立体几何之线面平行(教案、练习)


立体几何之线面平行 周郑鹃 福州高级中学

【教材分析】 立体几何对于培养学生的空间想象力、逻辑推理能力、思维严谨性等都有着 重要的作用。同时,立体几何也是高考考察的重要内容之一。每年高考必有一 道证明题,或证平行、或证垂直。本节微课着力于线面平行问题。 【学情分析】 学生经过初中平面几何的学习,已对几何论证的方法有了一定的认识。然 而,从平面几何变为空间几何

时,图形不易想象,同时也增加了论证的难度。 因此,空间感较弱的学生在学习立体几何时,常常感到吃力。 微课教学设计 【教学目标】 1.知识与能力 理解线面平行的证明思路,并能严谨书写。 2.过程与方法 启发引导 3.情感态度与价值观 通过几何直观图形的演示,帮助学生“大胆猜想”,并引导学生“小心论 证”,同时收获成功的喜悦。 【教学重点】 线面平行的证明思路 【教学难点】 寻找、构造平行线(面) 【教学设计】 教学内容 一、引 入 例 题、激 发思考 二、追 本 溯 源、回 归定理 例题 已知:正方形 ABCD、ABEF 中,M,N 分别为 BD、AE 中点, 求证:MN∥面 BCE 线面平行判定定理:
a ? ?,

设计意 图 激发学 生思考 的热情 让学生 再次体 会 公 理、定 义、定 理是每 一道证 明题证 明思路 的 依 归。 帮助学

b ? ?,

a // b

?

a // ?

由线面平行定义、面面平行定义可知:
?//?
a ? ?,

?

a // ?

三、大 (方法一)

胆 猜 证明:∵在正方形ABCD中,M是BD的中点 想、小 ∴AC与BD交于点M,M也是AC中点 心求证 (正方形对角线互相平分) 又∵N 是 AE 中点∴MN 是△ACE 的中位线 ∴MN//CE 且 MN 不在面 BCE 内 ∴ MN//面 BCE (方法二) 证明:分别在正方形 ABCD、ABEF 中,过点 M 、N 作 AB 的平行线,与 BC、BE 交于点 P、Q ,并连接 PQ ∵M、N 是 BD、AE 中点∴NQ=AB/2=MP 又∵NQ//AB//MP∴四边形 MNQP 是平行四边形 ∴MN//PQ 且 MN 不在面 BCE 内 ∴ MN//面 BCE (方法三) 证明:记 AB 的中点为 H,连接 MH,NH ∵MH 是△ABD 的中位线 ∴ MH//AD//BC 且 MH 不在面 BCE 内 ∴ MH//面 BCE 同理,NH//面 BCE 且 MH 与 NH 相交于点 H ∴ 面 HMN//面 BCE ∴ MN//面 BCE 四、 拓 变式 展 延 已知:正方形 ABCD、ABEF 中,“(DM/DB)=(AN/AE)”, 伸、巩 求证:MN∥面 BCE 固提高

生结合 图形、 展开联 想,分 析证明 的突破 口。

变外在 形式、 不变内 在 本 质,考 验学生 是否真 已掌握 线面平 行的解 题 思 路。 五、归 总结:证明线面平行有两个途径。第一个是通过线线平行来 归 纳 总 纳 总 证明。第二个是通过面面平行来证明。而线线平行常 结 , 形 结、理 常通过三角形中位线、构造平行四边形等方法来证明 成 经 性升华 。而要证面面平行,则是在一平面中寻找两条相交直 验 , 有 线 助于提 与另一平面平行。 高学生 今后解 题的速 度。

微练习: 1、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,点 E、F 分别为棱 AB、 PD 的 中点.求证:AF∥平面 PCE 2、如图,已知 E、F、G、M 分别是四面体的棱 AD、CD、BD、BC 的中点,求证: AM∥平面 EFG 3、如图,三棱锥 P-ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA,E 为 PC 的中 点,M 为 AB 的中点, 点 F 在 PA 上,且 AF=2FP. (1)求证:BE⊥平面 PAC ;(2)求证:CM//平面 BEF ;
P

A E

F

B
E B A C D

G M C F

D


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