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两角和与差的正弦,余弦公式


两角和差的正弦、余弦、正切 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将正确答案填在题后括号内) 1.下列命题中的假命题是 ... A.存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 和β ,都有 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β 值,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 2.函数 y ? 2 sin( A.-3





?
3

? x) ? cos(
B.-2

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于
C.-1 D.- 5





3.在△ABC 中,cosA= A.-

33 65

5 3 且 cosB= ,则 cosC 等于 5 13 33 63 B. C.- 65 65

( D.



63 65
( )

4.已知 tan(? ? ? ) ? 7, tan ? ? tan ? ? A. 1
2

2 , 则 cos(? ? ? ) 的值 3
C. ? 2
2

B. 2
2

D. ? 2
2

5.若 3sinx- 3 cosx=2 3 sin(x+φ ) ∈(-π ,π ) ,φ ,则φ 等于 A.-
?





?
6
?

B.
?

?
6

C.

5? 6

D.-

5? 6
( )

6. sin 15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于 A. 3
4

B. 3
8

C. 1
8

D. 1
4

7.在△ABC 中,已知 tanA、tanB 是方程 3x2+8x-1=0 的两个根,则 tanC 等于 A.2 B.-2 C.4 D.-4





8. 3 tan11°+ 3 tan19°+tan11°tan19°的值是





-1-

A. 3 9.设 tan ?和 tan( A.p+q+1=0

B.

?
4

3 3

C.0

D.1 )

? ? )是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,则 p、q 之间的关系是(
B.p-q+1=0 C.p+q-1=0 D.p-q-1=0 (
2 D. ? 1 ? a a?4

10.已知 cos ? ? a, sin ? ? 4 sin(? ? ? ),则 tan( ? ? ) 的值是 ?
2 A. 1 ? a



a?4

B.-

1? a 2 a?4

C. ? a ? 4

1? a2

11.在△ABC 中,若 sinA·sinB<cosA·cosB 则△ABC 一定为 A.等边三角形 12.设 ? ∈( 0 , A. B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形





7 5

? 3 ? ),若 sin ? ? ,则 2 cos( ? ? ) = 4 2 5 1 7 B. C. 5 2

( D.4



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,将答案填在横线上) 13.若 tanα =

1 ? ,则 tan(α + )= 2 4
2

. .

14.在△ABC 中, tan A ? tan B ? tanC ? 3 3 , tan B ? tan A ? tanC 则∠B= 15.函数 y=sinxcos (x+

? ? )+cos xsin(x+ )的最小正周期 T=_ ? ?
2

__ .

16. 已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m , cs 则o

? ? cs o

2

? 的值为

三、解答题(本大题共 74 分,17—21 题每题 12 分,22 题 14 分) 17.化简 tanα +tan(45°-α ) (1+tanα ) .

-2-

18.已知 cosθ =- ,且θ ∈(π ,

3 5

3? ? ) ,则 tan(θ - )的值为多少? 2 4

19.已知 tanA 与 tan(-A+

? ? )是 x2+px+q=0 的解,若 3tanA=2tan( -A),求 p 和 q 的值. 4 4

20.已知 0<α <

? ? ? 5 ? , tan ? tan ? ,求 sin(? ? ) 的值. 2 2 2 3 2

-3-

21.求证:

sin x ? cos x ? =tan(x- ). sin x ? cos x 4

22.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ? (Ⅰ)求证 tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

-4-

参考答案
一、选择题 1.B2.C3.B4.D 5.A6.C 7.A8.D9.B10.D11.D12.B 二、填空题

13.3

14.

? 3

15.π

16.m

三、解答题 17.解析:原式=tanα +

1 ? tan ? (1+tanα )=tanα +(1-tanα )=1 1 ? tan ?
3 5
3? ) 2

18.解析:∵cosθ =- 且θ ∈(π , ∴sinθ =-
4 5

则 tanθ =

4 3

4 ? ?1 tan? ? tan 1 ? 4 = 3 ? ∴tan(θ - )= 4 7 ? 4 1? 1 ? tan? tan 3 4

19.解析:设 t=tanA,则 tan(

1 ? tan A 1 ? t ? ? -A)= 1 ? tan A 1 ? t 4 2(1 ? t ) 1 ? 由 3tanA=2tan( -A),得 3t= ,解之得 t= 或 t=-2. 1? t 3 4 1 ? 1? t 1 当 t= 时,tan( -A)= = , 3 4 1? t 2 5 1 1 1 ? ? p=-[tanA+tan( -A)]=- ,q=tanAtan( -A)= × = . 6 3 2 6 4 4 ? 1? t 当 t=-2 时,tan( -A)= =-3, 4 1? t ? ? p=-[tanA+tan( -A)]=5,q=tanAtan( -A)=6 4 4

5 ? ?p ? ? 6 ?p ? 5 ? 或? ∴满足条件的 p、q 的值为: ? ?q ? 6 ?q ? 1 ? 6 ?

-5-

20.解析:由已知 tan

?0 ? ? ?
从而

?
2

,

2 5 4 ? , 得 sin ? ? . 2 2 sin ? 2 5 3 2 ?c o s ? 1? s i n ? ? . ? 5 ? cot ?

?

?

? ? ? 4 1 3 3 1 s i n? ? ) ? s i n ? c o s ? c o s ? s i n ? ? ? ? ( ? ? ? (4 ? 3 3 ) . 3 3 3 5 2 5 2 10
2 sin(x ?

) 4 =tan(x- ? )=右边 21.证明:左边= ? 4 2 cos(x ? ) 4

?

? 或:右边=tan(x- 4

sin(x ?
)=

? ?
4 4

)


sin x cos

?
4

? cos x sin ? sin x sin

? ?
4 4


4 3 1 22. (Ⅰ)证明:? sin( A ? B ) ? , sin( A ? B ) ? , 5 5

cos(x ?

)

cos x cos

?

sin x ? cos x sin x ? cos x

=左边

3 ? ? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 5 , ?sin A cos B ? ? ? ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解析:?

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , ? tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 1 ? tan A tan B 4

?

2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.
解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 设 AB 边上的高为 CD.

-6-


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