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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第10讲 函数的值域与最值


理解函数的单调性、值域和最值的概念; 掌握求函数的值域和最值的常用方法与 变形手段.

1.函数的值域与最值

?1?函数的值域是① ________ 的集合,它是由
定义域和对应法则共同确定的,所以求值域时 应注意函数的② ________.

? 2 ?函数的最值.设函数y ? f ? x ?的定义

域为I,如果 存在实数M 满足:) ⅰ对于任意的x ? I,都有f ? x ? ? M ; ( (ⅱ)存在x0 ? I,使得f ? x0 ? ? M ,则称M 是函数 y ? f ? x ?的③ _______.类似地可定义f ? x ?的最小值.

2.基本初等函数的值域

?1? 一次函数y ? kx ? b(k 的值域为④ 2 ? 二次函数y ? ax 2 ? bx ? c(a 的值域: ?
当a ? 0时,值域为⑤ __________ ; 当a ? 0时,值域为⑥ __________. k ? 3?反比例函数y ? (k ? 0)的值域为⑦ ________. x

4 ? 指数函数y ? a x (a ? 0且a ? 1)的值域为⑧ ________ . ?

? 5? 对数函数y ? log a x(a ? 0且a ? 1)的值域为⑨ ______ . ? 6 ? 正、余弦函数y ? sin x( x ? R) y ? cos x( x ? R)的值域
为⑩ _________ ;正切函数y ? tan x( x ? k? ? ,k ? Z) 2 的值域为11 __________ .

?

3.求函数的值域(最值)常用的方法

?1? 二次函数用配方法.2 ? 单调性法.3? 导数法. ? ? ? 4 ? 复合函数的值域由中间变量的范围确定.
此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等. 4.若f ? x ? 为闭区间[a,b]上的连续函数,则f ? x ? 在[a,b]上一定有最大、最小值.

【要点指南】 ①函数值;②定义域;③最大值;④R; 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ⑤[ , ?);⑥(??, ? ]; 4a 4a ⑦{ y | y ? 0};⑧(0, ?);⑨R; ? ⑩ ? ?1,1?; R

1.函数 y=x2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A.{-1,0,3} C.{y|-1≤y≤3} B.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}

【解析】当 x=0 或 2 时,y=0;当 x=1 时,y=-1; 当 x=3 时,y=3,故选 A.

1 2.函数 f(x)= 2(x∈R)的值域是( 1+x A.(0,1) C.[0,1) B.(0,1] D.[0,1]

)

1 【解析】函数 f(x)= (x∈R),所以 1+x2≥1,所以 1+x2 原函数的值域是(0,1].

3.(2010· 山东卷)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A ) A.(0,+∞) C.(1,+∞) B.[0,+∞) D.[1,+∞)

x2+2x+2 4.已知函数 f(x)= (x>-1),则当 x= 0 时,f(x) x+1 取最小值,且最小值为 2 .

【解析】因为 x>-1,所以 x+1>0, ?x+1?2+1 1 所以 f(x)= =(x+1)+ x+1 x+1 ≥2 1 ?x+1?· =2, x+1

1 当且仅当 x+1= ,即(x+1)2=1,x=0(x=-2 舍 x+1 去)时,f(x)取最小值.

5.已知 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,则 2x+3y2 的 3 最小值为 . 4

【解析】因为 x+2y=1,x≥0,y≥0, 1 所以 0≤2y≤1?0≤y≤2, 22 2 2x+3y =3y +2-4y=3(y-3) +3,
2 2

1 1 22 2 3 2 所以当 y=2时,(2x+3y )min=3(2-3) +3=4. 2 易错点:忽视 x、y 的取值范围,错解为 ymin=3.



求函数的值域

【例 1】求下列函数的值域: 1-x2 (1)y= ; 1+x2 4 (3)y=x+x ; (2)y=2x2-4x+1; (4)y=x- 4-x2.

-1-x2+2 2 【解析】 (1)方法 1: 因为 y= =-1+ 2 , 2 1+x x +1 2 而 x +1≥1,所以 0< 2 ≤2, x +1
2

2 所以-1<-1+ 2 ≤1, x +1 1-x2 所以函数 y= 2的值域是(-1,1]. 1+x

1-x2 2 2 方法 2:因为 y= 2,所以 y+yx =1-x , 1+x 1-y 所以(y+1)x =1-y,所以 x = ≥0, 1+y
2 2

所以-1<y≤1,故值域为(-1,1]. (2)因为 t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3, 1 1 所以 2 ≥2 =8,所以该函数的值域为[8,+∞).
t
-3

(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 4 当 x>0 时,y=x+x ≥2 4 x·=4,当 x=2 时取等号; x

4 4 当 x<0 时,y=x+x =-(-x+ )≤-4,当 x=-2 -x 时取等号, 所以该函数的值域是(-∞,-4]∪[4,+∞).

(4)函数的定义域为{x|-2≤x≤2}. π π 令 x=2sinα(-2≤α≤2), π 则 y=2sinα-2cosα=2 2sin(α-4), π 3π π 且 α-4∈[- 4 ,4], π 2 所以 sin(α-4)∈[-1, 2 ],所以 y∈[-2 2,2], 所以该函数的值域是[-2 2,2].

【点评】1.函数的值域由定义域和对应法则一并确定,故 应特别注意定义域对其值域的制约. 2.求值域的常用方法有: 1° 观察法:一看定义域;二看函数性质;三列举. 2° 函数单调性法(见例 2).

3° 转换法. ax+b ①转换为基本函数(或条件基本函数),如 y= 与 cx+d a1x2+b1x+c1 k y=x的关系,y= 2 与 Ax2+Bx+C=0. a2x +b2x+c2 ②转换为几何问题,数形结合. ③转换为三角函数问题,利用三角函数的有界性. 4° 不等式法. 5° 导数法.

素材1

2x+1 (1)函数 y= x 的值域是 2 -1

(-∞, -1)∪(1, +∞) ; [-1,+∞) ; (-∞,4] .

1 (2)函数 y=log2 4-x2的值域是 (3)函数 y=2x+4 1-x的值域是

2x-1+2 2 【解析】(1)y= x =1+ x , 2 -1 2 -1 该函数的定义域为{x|x≠0}, 所以-1<2x-1<0 或 2x-1>0, 2 2 从而 x <-2 或 x >0,所以 y<-1 或 y>1, 2 -1 2 -1 所以该函数的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).

(2)函数的定义域为(-2,2). 1 令 t= 4-x ,则 0<t≤2,所以 y=log2t≥-1,
2

故该函数的值域是[-1,+∞). (3)函数定义域为(-∞,1]. 令 1-x=t,则 x=1-t2,且 t≥0, 所以 y=2-2t2+4t=-2(t-1)2+4(t≥0), 所以 y≤4,故该函数的值域是(-∞,4].



求函数的最值
【例 2】已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数 f(x)的最小值为 0,求 a 的值; (2)若函数 f(x)≥0 对任意 x∈R 都恒成立,求函数

g(a)=2-a|a+3|的最大值.

【解析】 (1)因为 f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2,① 且 f(x)min=0,所以 2a+6-4a2=0, 3 所以 a=-1 或 a=2.

(2)因为 f(x)≥0,由①知,2a+6-4a2≥0, 3 解得-1≤a≤2.② 所以 g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3) 3 2 17 3 =-(a+2) + 4 (a∈[-1,2]), 所以当 a=-1 时,g(a)max=4.

【点评】 1.因为二次函数 f(x)在 R 上连续, 所以 f(x)的最小 值为 0,即 f(x)的值域为[0,+∞). 2.由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已, 故求值域的方法都适用于求函数的最值.

素材2

(1)函数 f(x)=x3-4x2+4x,x∈[0,3]的最小值是 (2)函数 f(x)=cosx+lg(1-x2)的最大值是 1 .

0



【解析】(1)f′(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2). 2 由 f′(x)=0,得 x1=3,x2=2, 2 8 16 8 32 而 f(3)=27- 9 +3=27,f(2)=8-16+8=0, 又 f(0)=0,f(3)=27-36+12=3, 所以当 x=0 或 2 时,f(x)有最小值 0.

或 f(x)=x(x-2)2,x∈[0,3],所以[f(x)]min=0, 当 x=0 或 x=2 时,取最小值. (2)因为 f(x)的定义域是{x|-1<x<1},且 f(x)是偶函数, 故可考虑 0≤x<1 时的情况,此时 f(x)为减函数, 所以 f(x)≤f(0)=1, 所以 f(x)的最大值为[f(x)]max=f(0)=1.



函数的值域与最值的综合应用

【例 3】已知△ABC 是边长为 2 的正三角形,P、Q 依 次是 AB、AC 边上的点,且线段 PQ 将△ABC 分成面积相等 的两部分,设 AP=x,AQ=t,PQ=y,求: (1)t 关于 x 的函数关系式,并写出函数的值域; (2)y 关于 x 的函数关系式, 并求出 y 的最大值和最小值.

1 3 【解析】(1)因为 S△ABC= 3,所以2xtsin60° 2 , = 2 2 所以 xt=2,t= x,因为 t≤2,所以x ≤2,所以 x≥1. 又 x≤2,所以 1≤x≤2, 2 所以 t 关于 x 的函数是 t=x (1≤x≤2), 由单调性可知,其值域是[1,2].

4 (2)因为 y =x +t -2xtcos60° +x2-2, =x
2 2 2 2

又 y>0,所以 y=

4 x +x2-2(1≤x≤2).
2

4 令 f(t)=t+ t ,易证 f(t)在(0,2]上是减函数,[2,+∞)上是 增函数.因为 1≤x≤2,所以 1≤x2≤4, 4 所以当 x =2,即 x= 2时,x +x2有最小值 4,此时,y
2 2

4 取最小值 2;当 x =1 或 x =4,即 x=1 或 x=2 时,x +x2取
2 2 2

最大值 5,此时 y 取最大值 3.

【点评】函数的值域与最值,常与不等式、方程及函数的其他 性质综合.解决此类题型时要注意遵循“定义域优先”的原 则,注意应用换元、配凑等技巧,从而简化问题.

素材3

已知函数 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),t 为参数. (1)写出函数 f(x)的定义域,值域; (2)当 x∈[0,1]时,g(x)有意义,求参数 t 的取值范围; (3)当 x∈[0,1]时,若 f(x)≤g(x),求参数 t 的取值范围.

【解析】(1)由 x+1>0,知 x>-1, 所以定义域为(-1,+∞),值域为 R. (2)若 x∈[0,1],由 g(x)有意义,则 2x+t>0, 即 t>-2x 在[0,1]上恒成立. 而(-2x)max=0,所以 t>0,即 t 的取值范围是(0,+∞).

(3)由 f(x)≤g(x),即 lg(x+1)≤2lg(2x+t), 即 x+1≤2x+t,t≥ x+1-2x,在 x∈[0,1]上恒成 立. 令 u= x+1-2x= x+1-2(x+1)+2 1 2 17 =-2( x+1-4) + 8 .

由 x∈[0,1],则 x+1∈[1, 2], 1 2 17 所以 umax=-2(1-4) + 8 =1,所以 t≥1, 即参数 t 的取值范围是[1,+∞).

备选例题

1 已知函数 f(x)=|1-x |(x>0). 1 1 (1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b),求证:a+b=2; (2)是否存在实数 a、 b(a<b)使得函数 y=f(x)的定义域、 值域都是[a,b];若存在,则求出 a、b 的值;若不存在, 请说明理由.

【分析】 首先化简函数解析式, 判断函数的单调性, 利用单调性求解,注意思维的严谨性和敏捷性,要数形 结合,分类讨论.

1 【解析】 (1)证明:因为 f(x)=|1- x|
?1 ? -1?0<x≤1? ?x =? 1 ? ?1-x ?x>1? ?



故 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 1 1 1 1 由 0<a<b 和a-1=1-b,得a+b=2.

(2)假设存在这样的实数 a、b(a<b)使得函数 y=f(x)的 定义域、值域都是[a,b]. ①当 0<a<b≤1 时, 1 函数 f(x)=x -1 在(0,1]上是减函数, ?1 ? -1=b ?f?a?=b ?a 则? ,即? , ?1 ?f?b?=a ?b-1=a ? 解得 a=b,与 0<a<b≤1 矛盾, 故此时不存在满足条件的实数 a、b.

②当 1<a<b 时, 1 函数 f(x)=1- x在(1,+∞)上是增函数,
? ?1-1=a ?f?a?=a a ? 则? ,即? 1 ? ?f?b?=b ?1-b=b ?



此时实数 a、b 为方程 x2-x+1=0 的两根,但方程 x2 -x+1=0 无实根,因此不存在满足条件的实数 a、b.

③当 0<a<1<b 时,此时显然 1∈[a,b], 而 f(1)=0?[a,b](a>0),故此时不存在满足条件的实 数 a、b. 综合①②③可得,满足条件的实数 a、b 不存在.

求函数的值域或最值的常用方法有: 1.配方法:主要适用于二次函数或利用换元技巧转 化为二次函数,要特别注意自变量和新变量的范围. 2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等式求 最值时,一定要注意等号成立的条件. 3.函数单调性法. 4.导数法. 5.数形结合法:常用于条件及要求最值的表达式有 明显的几何意义.


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