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专题6 二元二次方程组的解法(必讲)(丁连根)


专题 6 二元二次方程组的解法
我们知道含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,叫做二元二 次方程.至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组叫做二元 二次方程组.通常由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成,或由两个二元二次方程 组组成。 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”,即通过“降次”、“消元”,将方程组转化为一 元二

次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂,解题方法灵活多样,具有较强的 技巧性, 因而在解这类方程组时, 要认真分析题中各个方程的结构特征, 选择较恰当的方法。 【例题 1】判断下列二元二次方程解的情况: (1) x2 ? y 2 ? 4 y ? 0, (2) x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0, (3) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 10 ? 0.
2 【解】由(1)得 x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,有无数组解; 2

由(2)得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 0 ,只有一个解 ?
2 2

?x ? 2 ; ?y ? 3

由(3)得 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? ?5 ,无解。
2 2

【小结】与二元一次方程不同,二元二次方程组的解可能有无穷多组、只有一解或无解。

? y ? 2x ? 【例题 2】解方程组: ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?4 2
【解】把 y=2x 代入另一方程得到: 即: x ?
2

x2 4 x2 9 x2 ? ? ?1 4 2 4

4 2 ,解得 x ? ? . 9 3

2 ? 2 ? x? x?? ? ? ? 3 ? 3 . 所以方程组的解为 ? ,? 4 4 ?y ? ?y ? ? ? 3 ? 3 ? ?
【小结】(1) 本题中的方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的,这是 二元二次方程组在高中数学应用中主要的类型; (2)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤:
1/8

①由二元一次方程变形为用 x 表示

y 的方程,或用 y 表示 x 的方程(3);

②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知数的值; ⑤写出答案. (3) 消 x ,还是消

y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,那么最好消去

系数绝对值较小的,如方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,可以消去 x ,变形得 x ? 2 y ? 1 ,再代入消元. (4) 消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值,不能代入 二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根,这一点切记.

?c+b=1①, 【例题 3】解关于 x 的方程组? x y ?a +b =1②,
2 2 2 2

x

y

【解】由①得 y ? ?

b x ? b ③,代入②式得到: c
2

? b ? ? x ? b? ? 2 x ? c ? ? 1, ? 2 2 a b
即:

x2 ? 1 ? ? ? ? x ? 1? ? 1 , 2 a ? c ?
2a 2 c ? 1 1 ? 2 2x x ? 0 ,解得 或 x ? ? ? x ? ? 0 2 2 ? 1 1 a2 ? c2 c ?a c ? ? a2 c2 2 c

2

即: ?

所以方程组的解为

? ? ?x=0, ? ? b(c -a ) 或? ? ?y=b, y= , ? ? a +c
x=
2 2 2 2

2a2c , a2+c2

【小结】 本题仍然是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组, 只不 过两个方程中都含有字母。解方程组的方法仍然是代入消元法,解题过程中要注意运算。
2 2 ? ? x ? y ? 5( x ? y ) 2 2 ? ? x ? xy ? y ? 43

【例题 4】解方程组 ? 【解】由(1)得:

(1) (2)

2/8

x 2 ? y 2 ? 5( x ? y ) ? 0 ? ( x ? y )( x ? y ) ? 5( x ? y ) ? 0 ? ( x ? y )( x ? y ? 5) ? 0
∴ x? y ? 0或x? y ?5 ? 0

∴ 原方程组可化为两个方程组: ?

?x ? y ? 5 ? 0

?x ? y ? 0 或 ? 2 2 2 2 ? x ? xy ? y ? 43 ? x ? xy ? y ? 43

用代入法解这两个方程组,得原方程组的解是:

? x ? ?1 ? x ? 6 ? ? x ? 43 ? ? x ? ? 43 , , ,? ? ? ? ? y ? ?6 ? y ? 1 ? ? y ? ? 43 ? ? y ? 43
【小结】由两个二元二次方程组成的方程组中,有一个方程可以通过因式分解,化为两个 二元一次方程,则原方程组转化为解两个方程组,其中每一个方程组均有一个方程是二元 一次方程. 注意到方程 x2 ? y 2 ? 5( x ? y) ,可分解成 ( x ? y)( x ? y ? 5) ? 0 ,即得 x ? y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 ,则可得到两个二元二次方程组,且每个方程组中均有一个方程为二元一 次方程.

【例题 5】解方程组 ?

?x ? y ? 7 (1) ; ?xy ? 6 (2)
2

【解】根据一元二次方程的根与系数的关系,把 x 、 y 看成是方程 z ? 7 z ? 6 ? 0 的两根, 解方程得: z ? 1 或 z=6 。 ∴ 原方程组的解是: ?

?x ? 6 ?x ? 1 ,? ?y ? 1 ?y ? 6 ?x ? y ? a ,利用一元二次方程的根与系数的关系 ? xy ? b ?x ? 1 ?x ? 6 ,则必有解 ? . ?y ?1 ?y ? 6

【小结】(1) 对于这种对称性的方程组 ?

构造方程时,未知数要换成异于 x 、 y 的字母,如 z . (2) 对称形方程组的解也应是对称的,即有解 ?

【例题 6】方程组 ?

? x 2 ? y ? 25, ?6 x ? y ? m.

有一个实数解,求 m 的值,并解方程组.

3/8

【解】 ?

? x 2 ? y ? 25, ?6 x ? y ? m.

(1) ( 2)

由( 2 )得 y ? 6 x ? m, 代入(1)整理得 : x 2 ? 6x ? m ? 25 ? 0,
令: ? ? 62 ? 4(?m ? 25) ? 0

解出 m ? ?34.
? 当m ? ?34 时,方程( 3)有两个相同的解。 ? x ? ?3, x1 ? x 2 ? ?3, 原方程组有一个实数解 ? ? y ? 16.
【小结】 方程组有一个实数解, 就是通过消元得到的那个一元二次方程有两个相同的实数根.

【练习题】 1.解下列方程组: (1) ?

?x ? y ? 4
2 2 ? x ? y ? 10



(2) ?

?x ? y ? 7
2 2 ? x ? y ? 25



? x2 y 2 ?1 ? ? (3) ? 8 ; 4 ?x ? y ? 2 ?
(4) ?

?x ? y ? 5
2 2 ? x ? y ? 15



?x 2 ? 4 y 2 ? 3 (5) ? ;; ?x ? 2 y ? 1
(6) ?

?y ? x ?1
2 ? y ? x ? 2x ? 3



(7) ?

? y2 ? ?x ? 6 ?y ? x



4/8

(8) ?

? x ? y ? ?3 ; ? xy ? 2

?1 1 5 ?x ? y ? 6 ? (9) ? ; ?1 1 ? 1 ? ?x y 6
(10) ?

?( x ? y ? 2)( x ? y ) ? 0
2 2 ?x ? y ? 8



2.方程组 ?

? x1 ? a1 ? x 2 ? a 2 ?x ? y ? a 的两组解为 ? ,? ,则 a1 a 2 ? b1b2 = ? y1 ? b1 ? y 2 ? b2 ? xy ? b




?x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 3.方程组 ? 有唯一解,则 m 的值是 ?y ? x ? m ? 0
4.方程组 ?

?y ? x2 有两组不同的实数解,则 m 的取值范围是 ?y ? x ? m



5. m 为何值时,方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 20 有两组相同的实数解,并求出这时方程组的解。 ?x ? y ? m

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 6.已知方程组 ? 有两个不相等的实数解,求 k 的取值范围。 ? y ? kx ? 2
7.甲、乙两辆汽车在 A、B 两地间相向而行,甲车比乙车每小时快 10 千米,若甲车比乙车 晚出发 40 分钟,两车在两地中点处相遇;若两车同时出发,经过 3 小时两车相遇后又相距 25.2 千米,求乙车速度及两地距离. 8.已知:方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 ? kx ? y ? k ? 0

(x、y 为求知数)

(1)求证:不论 k 为何实数,方程组总有两个不同的实数解; (2)设方程组的两个不同的实数解为: ?

?x ? x1 ?x ? x 2 和? ?y ? y1 ?y ? y 2

求证:(x-x1)2+(y-y2)2 是一个常数;

5/8

【参考答案】

? x ? 1 ? x2 ? 3 1. (1) ? 1 ,? ? y1 ? 3 ? y2 ? 1

? x1 ? 3 ? x 2 ? 4 ,? (2) ? ? y1 ? 4 ? y 2 ? 3
8 ? x2 ? ? x1 ? 0 ? ? 3 (3) ? ,? , y ? 2 ? 1 ?y ? ? 2 2 ? 3 ?

?x ? 4 (4) ? ?y ? 1
?x ? 2 ? (5) ? 1; y?? ? ? 2

? x1 ? 1 ? x 2 ? 4 ,? (6) ? ? y1 ? 0 ? y 2 ? 5
? x1 ? ?3 ? x2 ? 2 (7) ? ,? , ? y1 ? ?3 ? y2 ? 2
? x1 ? ?1 ? x2 ? ?2 (8) ? ,? , ? y1 ? ?2 ? y2 ? ?1

? x1 ? 2 ? x 2 ? 3 ,? ; (9) ? y ? 2 y ? 3 2 ? ? 1
? ?x ? 3 ?1 ? ? x ? ?1 ? 3 ? x3 ? ?2 (10) ? 1 ,? 2 ,? , y ? 2 y ? 3 ? 1 y ? 1 ? 3 3 ? ? ? ? 1 ? 2
2.0 3. ?

2
1 4

4. m > ?

5. m ? ?2 10 ;当 m ? 2 10 时, ?
2 2

? ? ? x ? 10 ? x ? ? 10 ;当 m ? ?2 10 时, ? 。 ? ? y ? 10 y ? ? 10 ? ?

6.解:由②代入①并整理得: k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0

6/8

2 ? ?k ? 0 ? 2 2 ? ?? ? (2k ? 4) ? 4k ? ?16k ? 16 ? 0

即?

?k ? 0 ?k ? 1

∴当 k <1 且 k ≠0 时,原方程组有两个不相等的实数解。 7.解:设乙车速度为 x 千米/小时,两地距离为 y 千米,依题意得:

由?得 由?得 把?代入?得

y ? 6 x ? 4.8
2 x 2 ? 20 x ? 15 y ? 0

? ?

x 2 ? 35x ? 36 ? 0



解这个方程得 x1 ? 36, x 2 ? ?1. 把 x1 ? 36 代入?得 y1 ? 220.8 把 x 2 ? ?1 代入?得 y 2 ? ?12 .

? 经检验方程组的解为 ? x1 ? 36, ? x 2 ? ?1, ? ? . . ? y1 ? 220.8; ? y 2 ? ?12
但?

? x 2 ? ?1, 不合题意,舍去. . . ? y 2 ? ?12

答:乙的速度为 36 千米/小时,AB 两地间的距离为 220.8 千米。 8.(1)证明: ?

? x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 (1) ?kx ? y ? k ? 0 (2)

(x、y 为求知数)

由(2),得 y=kx-k (3) 2 (3) 代入(1),得 x +(kx-k)2-2x=0 整理,得(1+k2)x2-2(1+k2)x+k2=0 ∴△=[-2(1+k2)]2-4(1+k2)·k2 =4k4+8k2+4-4k2-4k4 =4k2+4>0 ∵1+k2>0 ∴不论 K 为何实数,方程组总有两个不同的实数解。 (2)证明:由(1)知,y=kx-k ∴y1=kx1-k,y2=kx2-k ∴y1-y2=kx1-k-kx2+k=k(x1-x2) ∴(x1-x2)2+(y1-y2)2
7/8

=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2=(1+k)(x1-x2)2 =(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] ∵(1+k2)x2-2(1+k2)x+k2=0 二根为 x、x,则有

? 2(1 ? k 2 ) x ? x ? ?2 ? 2 ? 1 1? k2 ? 2 ?x ? x ? k ? ? 1 2 1? k2
∴(x1-x2)2+(y1-y2)2

4k 2 =(1+k )(4- ) 1? k2
2

=4+4k2-4k2=4

8/8


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