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培优(九年级)第06讲——一元二次方程的整数解


第六讲 一元二次方程的整数解 在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它 将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备 受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有: 从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解; 从判别式手, 运用判别式求出参数或解的取值范围, 或引入参数(设△= k 2 ), 通过穷举, 逼近求解; 从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因 数分解、因式分解求解; 从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解. 注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知 识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例 1】若关于 x 的方程的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个. (全国初中数学联赛题) 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表 达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、 二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确. 注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问 题的题设条件,看是否要分类讨论. 【例 2】 已知 a 、 b 都是整数,方程 ax ? bx ? 2008 ? 0 的相异两根都是质数,则 3a ? b 2 的值为( ) (太原市竞赛题) A.100 B.400 C.700 D.1000 思路点拨 由韦达定理 a 、 b 的关系式,结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值. 【例 3】 试确定一切有理数 r ,使得关于 x 的方程 rx2 ? (r ? 2) x ? r ?1 ? 0 有根且只有整数根. (全国初中数学联赛题) 思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论.当 r ? 0 时,由根与系数关系得到关 于 r 的两个等式,消去 r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根. 【例4】 当 m 为整数时,关于 x 的方程 (2m ? 1) x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 是否有有理根?如果有, (第十七届江苏省竞赛题) 求出 m 的值;如果没有,请说明理由. 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数. 设△= (2m ? 1) 2 ? 4(2m ?1) ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? (2m ?1) 2 ? 4 ? n 2 ( n 为整数)解不定方程,讨论 m 的 存在性. 注:一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△= b 2 ? 4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例 5】 求使方程 x2 ? pqx ? p ? q ? 0 有整数根的所有正整数 p 和 q 。 (俄罗斯竞赛题) 【例 6】试求出所有这样的正整数 a,使得二次方程 ax +2(2a-1)x+4(a-3)=0 至少有一 2 个整数根. 学力训练 1.已知关于 x 的方程 (a ?1) x2 ? 2 x ? a ?1 ? 0 的根都是整数,那么符合条件的整数 a 有 个。 2.方程 x2 ? px ? 1997 ? 0 恰有两个正整数根 x1 , x2 ,则 p 的值是 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) (北京市竞赛题) 。 3.关于 x 的方程 4 x ? 4mx ? m ? m ? 10 ? 0 ( m 为正整数)有整数根时,则 m 的值可以 2 2

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