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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第八章 8.6


数学

北(理)

§8.6 立体几何中的向量方法 (一)——证明平行与垂直
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.直线的方向向量:在空间直线 l 上任取两点 A,B,则 → AB 称 为直线 l 的方向向量. 平面的法向量:如果直线 l 垂直于平面 α,那么把 直线

l的方向向量 叫作平面 α 的法向量.

基础知识

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思想方法

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2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? v1∥v2 . (2)设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线 向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l α?存在两个实数 x,y,使 v=
xv1+yv2 .

(3)设直线 l 的方向向量为 v, 平面 α 的法向量为 u, 则 l∥α 或 l α? v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1, u2, 则 α∥β? u1 ∥u2 .
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要点梳理
知识回顾 理清教材

3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?
v1⊥v2 ? v1· v2=0.

(2)设直线 l 的方向向量为 v, 平面 α 的法向量为 u, 则 l⊥α ? v∥u . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2, 则 α⊥β? u1⊥u2
u2=0 . ? u1·
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) √(5)× (6)×

解析

B A
2∶3∶(-4)

40 15 7 ,- 7 ,4

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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
思维启迪 解析 思维升华

在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD.

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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
思维启迪 解析 思维升华

在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD.

证明线面平行,可以利用判定定 理先证线线平行,也可利用平面 的法向量.

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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
思维启迪 解析 思维升华

在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 证明 方法一 如图, 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD 取 BD 的中点 O,以 =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 O 为原点,OD、OP BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 所在射线为 y、z 轴的 且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD.
正半轴,建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知, A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0,
2,0).

设点 C 的坐标为(x0,y0,0). → =3QC →, 因为AQ
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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
思维启迪 解析 思维升华

2 3 1? ?3 ? 在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 所以 Q? x , + y , 0 0 ?4 ?. 4 4 2 ? ? 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD 因为 M 为 AD 的中点, =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 故 M(0, 2,1). ? ? BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 又 P 为 BM 的中点,故 P?0,0,1?, 2? ? ? ? 2 3 且 AQ=3QC. → ?3 所以PQ=? x0, + y0,0? ?. 4 4 4 ? ? 证明:PQ∥平面 BCD. 又平面 BCD 的一个法向量为 →· a=(0,0,1), 故PQ a=0.

又 PQ

平面 BCD,

所以 PQ∥平面 BCD.
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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
思维启迪 解析 思维升华

在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 方法二 在线段 CD 上取点 F,使 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD 得 DF=3FC,连接 OF,同证法一
写出点 A、 B、 =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 建立空间直角坐标系, BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, C 的坐标,设点 C 坐标为(x0,y0,0). 1→ → 且 AQ=3QC. ∵CF= CD,设 F 点坐标系(x,y,0)则 4 1 证明:PQ∥平面 BCD. (x-x0,y-y0,0)=4(-x0, 2-y0,0)

? 3 ?x=4x0 ∴? ?y= 2+3y0 4 4 ?
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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
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3 2 3 → ∴OF=( x0, + y0,0) 4 4 4 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD 3 2 3 → =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 又由证法一知PQ=( x0, + y0,0), 4 4 4 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, → → ∴OF=PQ, 且 AQ=3QC. ∴PQ∥OF. 证明:PQ∥平面 BCD. 又 PQ 平面 BCD, OF 平面 BCD,
∴PQ∥平面 BCD.

在四面体 A-BCD 中,AD⊥平

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题型一
【例 1】

证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图,
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在四面体 A-BCD 中,AD⊥平 用向量证明线面平行的方法有 面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD (1)证明该直线的方向向量与平面的 =2 2,M 是 AD 的中点,P 是 某一法向量垂直; BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, (2)证明该直线的方向向量与平面内 且 AQ=3QC. 某直线的方向向量平行; 证明:PQ∥平面 BCD.
(3)证明该直线的方向向量可以用平 面内的两个不共线的向量线性表 示.
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跟踪训练 1 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中 点.求证:PB∥平面 EFG.
证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,
∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,
则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).

→ =(2,0,-2),FE → =(0,-1,0),FG → =(1,1,-1), ∴PB
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中 点.求证:PB∥平面 EFG.
→ =sFE → +tFG →, 设PB
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
?t=2, ? ∴?t-s=0, 解得 s=t=2. ?-t=-2, ? → =2FE → +2FG →, ∴PB → 与FG → 不共线,∴PB → 、FE → 与FG → 共面. 又∵FE

∵PB 平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.
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题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

证明线面垂直可以利用线面垂直 的定义,即证线与平面内的任意 一条直线垂直;也可以证线与面 的法向量平行.

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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

证明 方法一

设平面 A1BD 内的

任意一条直线 m 的方向向量为 m.
由共面向量定理,则存在实数 λ,μ,

→ → 使 m=λBA1+μBD.
→ =a,BC → =b,BA → =c,显然它 令BB 1 们不共面, 并且|a|=|b|=|c|=2, a· b=a· c=0, b· c =2,以它们为空间的一个基底, 1 → → → =a-c, 则BA1=a+c,BD= a+b,AB 1 2

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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析
?

思维升华
?

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

? 1 ? → → m = λ BA1 + μ BD = ?λ+2μ? a + μb +

λc, ?? ? 1 ? → ??λ+ μ?a+μb+λc? AB1· m=(a-c)· 2 ? ?? ? ? 1 ? =4?λ+2μ?-2μ-4λ=0. ? ? → ⊥m,结论得证. 故AB 1
方法二 连接 AO. 如图所示, 取 BC 的中点 O,

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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

因为△ABC 为正三角形,
所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 BCC1B1,

所以 AO⊥平面 BCC1B1.

取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点, → ,OO → ,OA → 为 x 轴,y 轴,z 以OB
1

轴建立空间直角坐标系,

则 B(1,0,0), D(-1,1,0), A1(0,2, 3),
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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

A(0,0, 3),B1(1,2,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y, → =(-1,2, 3), → =(-2,1,0). z), BA BD
1

→ → 因为 n⊥BA1,n⊥BD,

→ ? ? n· BA1=0, 故? ? → =0 ? BD ? n·
? ?-x+2y+ 3z=0, ? ? ?-2x+y=0,

令 x=1,则 y=2,z=- 3,
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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

故 n=(1,2, - 3)为平面 A1BD 的一 个法向量,

→ → 而AB1=(1,2,- 3),所以AB1=n, → ∥n, 所以AB
1

故 AB1⊥平面 A1BD.

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题型二 证明垂直问题

【 例 2】

如图所示,正三棱

思维启迪

解析

思维升华

柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2, D 为 CC1 的中点. 求 证:AB1⊥平面 A1BD.

用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方 向向量互相垂直,即证它们的数量 积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量
与平面的法向量共线,或将线面垂 直的判定定理用向量表示.

(3)面面垂直:证明两个平面的法向 量垂直,或将面面垂直的判定定理 用向量表示.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥ 平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.
证明 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 Cxyz,
∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,
∴∠PBC=30° .
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跟踪训练 2 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥ 平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.
∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),
3 3 → =(0,-1,2),DA → =(2 3,3,0), M( ,0, ),∴DP 2 2 → =( 3,0,3), CM 2 2
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跟踪训练 2 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥ 平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.
(1)令 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,

? 1 z= y, → ? ? ? 2 ?DP - y + 2 z = 0 , · n=0, ? 则? 即? ∴? ? 3 → ?2 3x+3y=0, ? ? DA · n = 0 , ? x=- y, 2 ?

令 y=2,得 n=(- 3,2,1).
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跟踪训练 2 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥ 平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.
3 3 → ∵ n· CM=- 3× +2×0+1× =0, 2 2

→ ,又 CM 平面 PAD, ∴n⊥CM

∴CM∥平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E, → =(- 3,2,1). 则 E( 3,2,1),BE ∵PB=AB,∴BE⊥PA.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥ 平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.
→ → 又∵BE· DA=(- 3,2,1)· (2 3,3,0)=0,

→ ⊥DA → ,∴BE⊥DA, ∴BE

又 PA∩DA=A,∴BE⊥平面 PAD,
又∵BE 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD.
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题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理 由.

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题型分类·深度剖析
题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1;

利用向量法建立空间直角坐标

(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 系,将几何问题进行转化;对于 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 存在性问题可通过计算下结论. 求 AP 的长;若不存在,说明理 由.

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题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,

(1)证明 以 A 为原 → → → 点, AB, AD, AA1的 方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建

立空间直角坐标系(如图). 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0), 求 AP 的长;若不存在,说明理 D (0,1,1),

由.

?a ? E?2,1,0?,B1(a,0,1), ? ?

1

→ 故AD1=(0,1,1), ? a ? → B1E=?-2,1,-1?, ? ?
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题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

?a ? → → AB1=(a,0,1),AE=?2,1,0?. ? ? =AD=1,E 为 CD 的中点. → → ∵AD1· B1E (1)求证:B1E⊥AD1; a =- ×0+1×1+(-1)×1=0, 2 (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, ∴B1E⊥AD1. 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理 (2) 解 假设在棱 AA1 上存在一点

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1

由.

P(0,0,z0).

使得 DP∥平面 B1AE, → =(0,-1,z ). 此时DP
0

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(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,

又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).

→, →, ∵n⊥平面 B1AE, ∴n⊥AB n ⊥ AE 1

ax+z=0, ? ? 得?ax 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, +y=0. ? ?2 求 AP 的长;若不存在,说明理 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法 ? ? a 由. 向量 n=?1,-2,-a?. ? ? → 要使 DP∥平面 B1AE, 只要 n⊥DP, a 有 -az0=0, 2
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题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,

1 解得 z0= . 2

又 DP

平面 B1AE,

∴ 存 在 点 P , 满 足 DP∥ 平 面 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 1 B1AE,此时 AP= . 2 求 AP 的长;若不存在,说明理

由.

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题型三 解决探索性问题
(2012· 福建)如图,在长
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【例 3】

方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1;

对于 “ 是否存在 ” 型问题的探索 方式有两种: 一种是根据条件作出 判断,再进一步论证.另一种是利

(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 用空间向量, 先设出假设存在点的 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 坐标,再根据条件求该点的坐标, 求 AP 的长;若不存在,说明理 由.

即找到“存在点”, 若该点坐标不 能求出,或有矛盾,则判定“不存 在”.

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跟踪训练 3 如图所示, 四棱锥 S—ABCD 的底面

是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍, P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明 理由.

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题型分类·深度剖析
(1)证明 连接 BD,设 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD.

由题意知 SO⊥平面 ABCD. → → → 以 O 为坐标原点,OB,OC,OS分别为 x 轴、
y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系如图.
6 设底面边长为 a,则高 SO= 2 a, ? ? ? 6 ? 2 ? ? ? 于是 S?0,0, a?,D?- a,0,0? ?, 2 2 ? ? ? ?
? B? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 → ? ? ? ? ? , C , OC = a , 0 , 0 0 , a , 0 0 , a , 0 ? ? ? ? ?, 2 2 2 ? ? ? ? ?

? 2 6 ? → →· → =0. ? SD=?- a,0,- a? ,则 OC SD 2 2 ? ? ?

故 OC⊥SD.从而 AC⊥SD.
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题型分类·深度剖析
(2)解 棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC. 理由如下: → 由已知条件知DS是平面 PAC 的一个法向量,
? 2 ? 6 ? 2 6 ? → ? ? → ? 且DS=? a,0, a?,CS=?0,- a, a? , ? 2 ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 → ? BC=?- a, a,0? . ? 2 2 ? ? → =tCS → ,则BE → =BC → +CE → =BC → +tCS → 设CE ? =? ?- ?

1 2 2 6 ? → → ? DS=0?t=3. , 而BE· 2 a, 2 a?1-t?, 2 at? ? → ⊥DS →. 即当 SE∶EC=2∶1 时,BE

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥平面 PAC.
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题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题中的(1)有两种证明思路:
(1)利用常规方法,将证明线面垂直转化为证明线线垂直,利用线面垂直 的判定定理证之; (2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题,证明向量垂直;然后 计算两个向量的数量积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪
方法一 (1)证明 如图,

规 范 解 答

温 馨 提 醒

连接 AC.由 AB=4,BC=3,∠ABC=90° 得 AC=5.

1分
2分 4分 5分

又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE.

因为 PA⊥平面 ABCD,CD 平面 ABCD,所以 PA⊥CD.
而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪
(2)解

规 范 解 答

温 馨 提 醒

过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于点 F,G,连接 PF.

由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE. 于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,
且 BG⊥AE.
由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.
7分 6分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

由题意得∠PBA=∠BPF, PA BF 因为 sin∠PBA=PB,sin∠BPF=PB,所以 PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90° 知,AD∥BC.

又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形.
故 GD=BC=3.于是 AG=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF, AB2 16 8 5 2 2 所以 BG= AB +AG =2 5,BF= BG = = 5 . 2 5 8 5 于是 PA=BF= . 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S=2×(5+3)×4=16, 1 1 8 5 128 5 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V= ×S×PA= ×16× = . 3 3 5 15

10分

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

方法二 如图, 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别
为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.
设 PA=h,则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0), D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
基础知识 题型分类
2分

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒 → → → (1)证明 易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h). →· → =-8+8+0=0,CD →· → =0, 因为CD AE AP

4分

所以 CD⊥AE,CD⊥AP. 而 AP,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线, 5分 所以 CD⊥平面 PAE. → ,PA → 分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量. 6分 (2)解 由题设和(1)知,CD
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, → ,PB → 〉|=|cos〈PA → ,PB → 〉|, 所以|cos〈CD
→ → ? ? → → ? ? CD · PB ? ? PA· PB ? ? 即? = . → →? ?→ →? |PB|? ?|PA|· |PB|? ?|CD|· → =(-4,2,0),PA → =(0,0,-h), → =(4,0,-h), 由(1)知,CD 又PB
基础知识 题型分类 思想方法
8分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪
? -16+0+0 ? ? 0+0+h2 ? ? ? ? 故? = 2 2 ? ? ? ?. 2 5· 16 + h h · 16 + h ? ? ? ?

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1 又梯形 ABCD 的面积为 S=2×(5+3)×4=16, 1 1 8 5 128 5 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=3×S×PA=3×16× 5 = 15 .
基础知识 题型分类 思想方法

8 5 解得 h= 5 .

10分

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列13 利用向量法解决立体几何问题
典例:(12 分)(2012· 湖南)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC =90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)利用向量法证明立体几何问题,可以建立坐标系或利用基底表示向量;

(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线;
(3)对于和平面有关的垂直问题,也可利用平面的法向量.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一 种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判

方 法 与 技 巧

断; 另一种是用向量的坐标表示几何量, 共分三步: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 (或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体 几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关 系; (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中

失 误 与 防 范

的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条 直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行, 用向量方法证明直线 a∥b,只需证明向量 a=λb(λ∈R) 即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明 线面平行,仍需强调直线在平面外.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7),平面 α 的一个法 向量为 u=(1,1,-1),则 A.l∥α 或 l α C.l α B.l⊥α ( A )

D.l 与 α 斜交

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是 A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析 若 l∥α,则 a· n=0,
D 中,a· n=1×0+(-1)×3+3×1=0, ∴a⊥n.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

( D )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.设平面 α 的法向量为 a=(1,2,-2),平面 β 的法向量 b=(-2, h,k),若 α∥β,则 h+k 的值为 A.-2 B.-8 C.0 D.-6 ( C )

-2 h k 解析 由 α∥β 得 a∥b,∴ = = , 1 2 -2
∴h=-4,k=4,∴h+k=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b, c 三向量共面,则实数 λ 等于 62 63 60 A. B. C. 7 7 7 ( D ) 65 D. 7

解析 由题意得 c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
?7=2t-μ ? ∴?5=-t+4μ ?λ=3t-2μ ? 33 ? ?t= 7 ? ? 17 ,∴?μ= 7 ? ? 65 λ= ? 7 ?
题型分类

.

基础知识

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 所成的角为 A.60° C.90°
解析

(

)

B.45° D.以上都不正确

以 D 点为原点,分别以 DA,DC,

DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz,
依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1, 3), C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 所成的角为 A.60° C.90° B.45° D.以上都不正确 ( C )

→ =( 2,1,- 3),AM → =(- 2,2,0), ∴PM

→· → =( 2,1,- 3)· ∴PM AM (- 2,2,0)=0,

→ → 即PM⊥AM,∴AM⊥PM.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,

-4 -2,3),且 α⊥β,则 x=________.

解析 ∵a· b=x-2+6=0,∴x=-4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,

16 4)确定的平面上,则 a=________.
→ → 解析 PA=(-1,-3,2),PB=(6,-1,4). → =xPA → +yPB → (x、y∈R), 根据共面向量定理,设PC
则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y),
?2a-1=-x+6y, ? ∴?a+1=-3x-y, ?2=2x+4y, ?
基础知识 题型分类

解得 x=-7,y=4,a=16.

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN 2a = ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 3 ________.

2a 解析 ∵正方体棱长为 a,A1M=AN= , 3 2 → → 2→ → ∴MB= A1B,CN= CA, 3 3 2 → → 2→ → → → → ∴MN=MB+BC+CN= A1B+BC+ CA 3 3 2 → 2 → → 2→ 1 → → → = (A1B1+B1B)+BC+ (CD+DA)= B1B+ B1C1. 3 3 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN 2a = ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 3 平行 . ________
→ 是平面 B BCC 的法向量, 又∵CD 1 1

2→ 1 → ? → → → ? ∴MN· CD=?3B1B+3B1C1?· CD=0,
? ?

→ ⊥CD → .又∵MN ∴MN

平面 B1BCC1,

∴MN∥平面 B1BCC1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 1 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.证明:平 2 面 PQC⊥平面 DCQ.

证明 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 Dxyz.依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), → =(1,1,0),DC → =(0,0,1),PQ → =(1,-1,0). 则DQ → → → → ∴PQ· DQ=0,PQ· DC=0.即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 1 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.证明:平 2 面 PQC⊥平面 DCQ.

又 DQ∩DC=D,故 PQ⊥平面 DCQ,
又 PQ 平面 PQC,∴平面 PQC⊥平面 DCQ.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P-ACBD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的 中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
证明 (1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x

轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P-ACBD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的 中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.

1 1 1 → 1 → =(1,0,-1), ∴E( ,1, ),F(0,1, ),EF=(- ,0,0),PB 2 2 2 2 → =(0,2,-1),AP → =(0,0,1),AD → =(0,2,0),DC → =(1,0,0),AB → PD =(1,0,0). 1→ → → ∥AB → ,即 EF∥AB, ∵EF=-2AB,∴EF
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P-ACBD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的 中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
又 AB 平面 PAB,EF 平面 PAB,

∴EF∥平面 PAB. → → (2)∵AP· DC=(0,0,1)· (1,0,0)=0, → → AD· DC=(0,2,0)· (1,0,0)=0, → → → → ∴AP⊥DC,AD⊥DC,即 AP⊥DC,AD⊥DC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P-ACBD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的 中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
又 AP∩AD=A,∴DC⊥平面 PAD.

∵DC 平面 PDC,∴平面 PAD⊥平面 PDC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为 A.-1,2 C.1,2 B.1,-2 D.-1,-2 ( A )

解析 由已知得 c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),

故 a· c=3m+n+1=0,b· c=m+5n-9=0.
? ?m=-1, 解得? ? ?n=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

→= 2.已知平面 ABC,点 M 是空间任意一点,点 M 满足条件OM 3→ 1→ 1→ OA+ OB+ OC,则直线 AM ( D ) 4 8 8 A.与平面 ABC 平行 C.是平面 ABC 的垂线 B.是平面 ABC 的斜线 D.在平面 ABC 内

解析 由已知得 M、A、B、C 四点共面. 所以 AM 在平面 ABC 内,选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点, O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互相平 → =λMN → 的实数 λ 的有________ 2 分,则满足MQ 个.

解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为 2, 则 P(x,y,2),O(1,1,0), ?x+1 y+1 ? ? ? ∴OP 的中点坐标为? , ,1?, 2 ? 2 ? 又知 D1(0,0,2), ∴Q(x+1, y+1,0), 而 Q 在 MN 上, ∴xQ+yQ=3,
∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1.
∴有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个 λ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, △ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

证明 (1)如图建立空间直角坐标系 Axyz, 令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). 取 AB 中点为 N,连接 CN, 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), → =(-2,4,0),NC → =(-2,4,0), ∴DE → =NC → ,∴DE∥NC, ∴DE 又∵NC 平面 ABC,DE 平面 ABC.
故 DE∥平面 ABC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

→ → =(2,-2,-2),AF → =(2,2,0). (2)B F = ( - 2,2 ,- 4) , EF 1
→ → =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B F · EF 1 → → =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. B AF 1F·
→ → ,B → → ,即 B F⊥EF,B F⊥AF, ∴B F ⊥ EF F ⊥ AF 1 1 1 1

又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面 AEF.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的 结论.
(1)证明 如图,以 DA、DC、DP 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
设 AD=a,则 D(0,0,0)、
? ? a A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E?a,2,0?、 ? ? ?a a a? P(0,0,a)、F?2,2,2?. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的 结论.
? a a? → → EF=?-2,0,2?,DC=(0,a,0). ? ?

→· → =0,∴EF → ⊥DC → ,即 EF⊥CD. ∵EF DC a a a? → ? (2)解 设 G(x,0,z),则FG=?x-2,-2,z-2?, ? ?

若使 GF⊥平面 PCB,则
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的 结论.
? ? a a a? a? a → → ? ? 由FG· CB= x-2,-2,z-2 · (a,0,0) =a?x- ?=0,得 x= ; 2? 2 ? ? ? ? a a a? → → 由FG· CP=?x-2,-2,z-2?· (0,-a,a) ? ? ? a? a2 = 2 +a?z-2?=0,得 z=0. ? ? ?a ? ∴G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


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