当前位置:首页 >> 数学 >>

高考 三角函数总复习及详细习题


三角函数是高考命题的重点,分值约占 10%~15%,一般是一个小题和一个大题,以 中低档题为主. 1.主要考查三角函数的图象与性质,简单的 三角恒等变换,正、余弦定理及其应用,且题 目常考常新. 2.客观题主要涉及三角函数的求值,函数的

1.立足基础,着眼于提高.立足课本,牢固掌握三角 函数的概念、图象和性质;弄清每个公式成立的条 件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.要 在灵、活、巧上下功夫,切不可死记硬背. 2.突出数学思想方法.应深刻理解数与形的内在联 系,理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化 思想.在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切

图象及性质,解答题主要以三角变换为工具, 综合考查函数的图象与性质;或以正、余弦定 理为工具, 结合三角变换考查解三角形的有关 知识. 3.高考命题中,本章常与平面向量相结合, 既可以考查平面向量的运算, 又可以考查三角 函数式的化简和三角函数的性质, 符合高考命 题“要在知识点的交汇处命题”的要求.

化弦、三角函数归一的方法技能. 3.抓住关键,三角函数的化简、求值中,要熟练掌 握三角变换公式的应用,其中角的变换是解题的关 键,注意已知与待求中角的关系,力争整体处理. 4.注意三角函数与向量等内容的交汇渗透,这也是 命题的热点之一.

第一节 考纲传真

角的概念与任意角的三角函数

1. 了解任意角的概念和弧度制的概念 .2. 能进行弧度

与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角 (3)若 α 与 β 角的终边相同,则 β 用 α 表示为 β=α+2kπ(k∈Z). 2.弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 弧度记作 rad.
?180? π (2)角度与弧度的换算①1° =180rad;②1 rad=? π ?° . ? ?

(3)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r,则 l=r|α|, 1 1 扇形的面积为 S=2lr=2r2α. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y y),那么 sin α=y,cos α=x,tan α=x. (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正 弦线的起点都在 x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都

是(1,0).

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)小于 90° 的角是锐角( )
? ?

π ? ? (2)终边在 x 轴上的角的集合是?α|α=kπ+2,k∈Z?( π (3)将分针拨快 10 分钟,则分针转过的角度是3( (4)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关( 【解析】 (1)锐角 α 的范围是 0° <α<90° . (2)终边在 x 轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}. π (3)分钟转过的角度是-3. ) )

)

(4)依据三角函数的定义,三角函数值与点 P 的位臵无关. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(人教 A 版教材习题改编)若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是 ( ) A.第一象限角 角 C.第三象限角 角 【解析】 由 sin α<0,得 α 在第三、四象限或 y 轴非正半轴上, 又 tan α>0,∴α 在第三象限. 【答案】 C D. 第 四 象 限 B .第二象限

3.(2013· 佛山调研)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一 1 点,且 cos α=5x,则 tan α=( 4 A.3 3 B.4 3 C.-4 ) 4 D.-3

【解析】 由题意知 x<0,r= x2+16, ∴cos α= x 1 =5x, x +16
2

4 ∴x2=9,∴x=-3,∴tan α=-3. 【答案】 D

4.弧长为 3π,圆心角为 135° 的扇形半径为________,面积为 ________. 3π 【解析】 ∵l=3π,α=135° =4, l 1 1 ∴r=α=4,S=2lr=2×3π×4=6π. 【答案】 4 6π 5.(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的 2 5 正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y= ________. 【解析】 由三角函数的定义,sin θ= 2 5 又 sin θ=- 5 <0, ∴y<0 且 y 2 5 =- 5 , 16+y2 y , 16+y2

解之得 y=-8.

【答案】 -8

考向 1 角的有关概念 【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________. α? ? α α (2) 设角 α 是第二象限的角,且 ?cos 2? =- cos 2 ,则角 2 属于 ? ? ( ) A.第一象限 C.第三象限 【思路点拨】 B.第二象限 D.第四象限 (1)角的终边是条射线,应分两种情况求解; (2)

α α 由 α 所在象限,结合 cos 2的符合,判定2所在的象限. 【尝试解答】 π (1)若 α 的终边在第一象限,则 α=2kπ+3,k∈

4π Z;若 α 的终边在第三象限,则 α=2kπ+ 3 ,k∈Z. π 4π ? ? ∴所求角的集合?α|α=2kπ+3或α=2kπ+ 3 ,k∈Z?
? ?

π ? ? =?α|α=kπ+3,k∈Z?.
? ?

π (2)依题设 2kπ+2<α<2kπ+π,k∈Z. π α π α ∴kπ+4<2<kπ+2,则2是第一或第三象限角. α? ? α α 又?cos 2?=-cos 2,知 cos 2≤0, ? ? α 因此2是第三象限角. π ? ? 【答案】 (1)?α|α=kπ+3,k∈Z?
? ?

(2)C

规律方法 1 1.与角 α 终边相同的角可以表示为 β=2kπ+α(k∈ Z)的形式,α 是任意角;相等的角终边一定相同,终边相同的角不一 定相等;角度制与弧度制不能混用. α α 2.由 α 所在象限,判定2所在象限,应先确定2的范围,并对整 数 k 的奇、偶情况进行讨论. 变式训练 1 (2013· 东莞综合测试)已知角 α 的终边落在直线 y= |sin α| |cos α| -3x(x<0)上,则 sin α - cos α =________. 【解析】 因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上, 所以角 α 是第二象限角,因此 sin α>0,cos α<0, |sin α| |cos α| sin α -cos α 故 sin α - cos α =sin α- cos α =1+1=2. 【答案】 2 考向 2 扇形的弧长、面积公式及应用 【例 2】 已知扇形的圆心角是 α,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这 个扇形的面积最大? π (3)若 α=3,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 【思路点拨】 (1)可直接用弧长公式,但要注意用弧度制;

(2)可用弧长或半径表示出扇形面积,然后确定其最大值时的半 径和弧长,进而求出圆心角 α; (3)利用 S 弓=S 扇-S△,这样就需要求扇形的面积和三角形的面 积. 【尝试解答】 π 10π (1)l=10×3= 3 (cm).

(2)由已知得:l+2R=20, 1 1 所以 S=2lR=2(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以 R= 5 时,S 取得最大值 25,此时 l=10,α=2 rad. 2π (3)设弓形面积为 S 弓,由题知 l= 3 cm, 1 2π 1 π S 弓=S 扇-S△=2× 3 ×2-2×22×sin 3
?2π ? =? 3 - 3?(cm2). ? ?

规律方法 2 1.(1)在弧度制下,计算扇形面积和弧长比在角度制 下更方便、简捷;(2)从扇形面积出发,在弧度制下把问题转化为关 于 R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题. 1 1 2.利用公式(1)l=αR;(2)S=2lR;(3)S=2αR2.其中 R 是扇形的 半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积,知道两个量, 可求其余量. 变式训练 2 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 【解】 (1)在△AOB 中,AB=OA=OB=10,

∴△AOB 为等边三角形. π 因此弦 AB 所对的圆心角 α=3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得 π 10π 1 1 2 50π l=α· R=3×10= 3 ,S 扇形=2R· l=2α· R= 3 . 1 π 又 S△AOB=2· OA· OB· sin 3=25 3.

?π 3? ∴弓形的面积 S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. 2? ?3

考向 3 三角函数的定义 4 【例 3】 (1)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α=-5, 则 m 等于( 11 A.- 4 ) 11 B. 4 C.-4 D.4

(2)(2013· 阳江模拟)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正 半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 sin 2θ=________. 【思路点拨】 (1)求 r=|OP|,由余弦定义求出 m;

(2)在直线 y=2x 上任取一点 P,求 tan θ,进而得 sin 2θ 的值. 【尝试解答】 ∴cos α= (1)点 P 到原点 O 距离|OP|= m2+9,

m 4 =-5,则 m2=16,且 m<0. 2 m +9

因此,m=-4. (2)在 θ 的终边上任取一点 P(x,y),依题意 tan θ=2. ∴sin 2θ= 2sin θcos θ 2tan θ 4 =5. 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1 4 (2)5

【答案】 (1)C 规律方法 3

1.第 (2)题中,利用 “齐项式 ”化弦为切,回避求

sin θ 与 cos θ 的值,避免不必要的讨论,优化了解题过程. 2.角的三角函数值仅仅与角的终边位置有关,而与终边上所选 取点的位置无关,因此在用定义求角的三角函数值时,可选取特殊 点. 3.三角函数的定义是研究三角问题的基础,在数学学习中,利 用定义解题是一种良好的思维方式.

变式训练 3 设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5), 2 且 cos α= 4 x,求 4sin α-3tan α 的值. 【解】 ∵r= x2+5,∴cos α= x , x +5
2

2 x 从而 4 x= 2 ,解得 x=0 或 x=± 3. x +5 ∵90° <α<180° , ∴x<0,因此 x=- 3.则 r=2 2, 5 10 5 15 ∴sin α= = 4 ,tan α= =- 3 . 2 2 - 3 故 4sin α-3tan α= 10+ 15.

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正 切、四余弦. 两个技巧 1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能 则取终边与单位圆的交点. 2.利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧. 三点注意 1.第一象限角、锐角、小于 90° 的角是三个不同的概念,前者是 象限角,后两者是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式 子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.

3.注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

从近年高考看,三角函数的概念是考查三角函数的重要工具, 单独考查三角函数定义的问题,一般比较容易.命题的主要内容形 式是以三角函数定义为载体,渗透三角恒等变换、平面向量等相关 知识,以选择题、填空题的题型考查分析问题的能力. 创新探究之四 以三角函数定义为载体的创新题 (2012· 山东高考 ) 如图 3 - 1 - 1 ,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置 → 在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为________.

图 3-1-1 【解析】 如图,设 A(2,1),连 AP,分别过 P,A 作 PC,AB 垂 直 x 轴于 C,B 点,过 A 作 AD⊥PC 于 D 点.由题意知 BP 的长为 2. ∵圆半径为 1,∴∠BAP=2, π 故∠DAP=2-2.

π? ? ∴DP=AP· sin?2-2?=-cos 2,
? ?

π? ? ∴PC=1-cos 2,DA=APcos?2-2?=sin 2,
? ?

∴OC=2-sin 2. → =(2-sin 2,1-cos 2). 故OP

【答案】 (2-sin 2,1-cos 2)

创新点拨: (1) 本题考查向量、三角函数定义、弧长公式的交 汇,其实质是三角函数的概念,命题角度新颖,突出知识的迁移与 应用. (2) 通过静止问题解决动态问题,考查考生处理 “ 变 ” 与 “ 不 变”的转化意识,突出灵活应用与创新能力的考查. 应对措施:(1)把待求问题和已知条件联系起来,分析它们之间 的联系,寻找解决问题的方案. (2)分析单位圆的运动过程,从点 P 的运动轨迹,寻找解决问题 的条件.

1 . (2014· 广州调研)已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标是

π π? ? ?2sin ,2cos ?,则 α 弧度数是( 3 3? ? A.2 π B.3 π C.6

) 2π D. 3

【解析】 点 A 的坐标为( 3,1). ∴sin α= 1 1 π =2,又 α 为锐角,∴α=6. 2 ? 3? +1

【答案】 C 2 . (2012· 安徽高考改编 ) 在平面直角坐标系中,点 O(0,0) , → 绕点 O 按逆时针方向旋转3π后得向量OQ → ,则点 Q P(6,8),将向量OP 2 的坐标是( ) B.(-8,-6) D.(-6,-8) |OP|=10,且设∠xOP=θ,

A.(8,-6) C.(-6,8) 【解析】

6 3 4 ∴cos θ=10=5,sin θ=5. → =(x,y), 设OQ 3π? ? 则 x=10cos?θ+ 2 ?=10sin θ=8,
? ?

3π? ? y=10sin?θ+ 2 ?=-10cos θ=-6.
? ?

【答案】 课后限时自测 一、选择题

A

1.(2013· 珠海调研)点 P 从(2,0)点出发,沿圆 x2+y2=4 按逆时针

4π 方向运动 3 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标为( A.(-1, 3) 1) C.(-1,- 3)

) B.( - 3 , -

D.(- 3,1)

4π 3 2π 4π 【解析】 3 弧长所对的圆心角为 α= 2 = 3 ,设点 Q 的坐标为 2π 2π (x,y),∴x=2cos 3 =-1,y=2sin 3 = 3,故选 A. 【答案】 A )

2.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 【解析】 ∵点 P(tan α,cos α)在第三 7 象限, ∴tan α<0,且 cos α<0, 由 tan α<0,知 α 的终边在第二或第四象限,

B.第二象限 D.第四象限

由 cos α<0,知 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴的非正半轴 上,因此角 α 的终边在第二象限. 【答案】 B 3π 3π? ? 3.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 ? ? θ 的值为( )

π 3π 5π 7π A.4 B. 4 C. 4 D. 4 2 2 【解析】 由已知得 P 2 ,- 2 ,∴tan θ=-1 且 θ 是第四象限 7π 角,∴θ= 4 .

【答案】

D

4 . (2013· 东莞模拟 ) 若 α = k· 360° + θ , β = m· 360° - θ(k , m ∈ Z),则角 α 与 β 的终边的位置关系是( A.重合 对称 C.关于 x 轴对称 称 【解析】 由题意知角 α 与角 θ 的终边相同,角 β 与角-θ 的终 边相同,又角 θ 与角-θ 的终边关于 x 轴对称,故选 C. 【答案】 C D.关于 y 轴对 ) B. 关 于 原 点

图 3-1-2 5.如图 3-1-2 所示,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运 动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

π 【解析】 ∵P0( 2,- 2),∴∠P0Ox=4. π 按逆时针转时间 t 后,得∠POP0=t,∠POx=t-4.

? π? 由三角函数定义,知点 P 的纵坐标为 2sin?t-4?, ? ? ? ? π?? 因此 d=2?sin?t-4??. ? ? ??

当点 P 在 P0 处时,t=0,d= 2,排除 A、D; π 当 t=4时,点 P 在 x 轴上,此时 d=0,排除 B. 【答案】 C 二、填空题 6.(2013· 深圳模拟)若角 120° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的 值是________. a a 【解析】 由题意知-4=tan 120° ,∴-4=- 3,∴a=4 3. 【答案】 4 3 2π 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 3 弧长 到达 Q 点,则 Q 点的坐标为________. 【解析】 2π 由题意知点 Q 是角 3 的终边与单位圆的交点,设

2π 3 2π 1 Q(x,y),则 y=sin 3 = 2 ,x=cos 3 =-2,
? 1 3? ∴点 Q 的坐标是?- , ?. 2? ? 2 ? 1 3? 【答案】 ?- , ? 2? ? 2

8 . (2013· 汕头市高三调研 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A( 3 , 1) 绕原点 O 逆时针旋转 90° 到点 B ,那么点 B 的坐标为 ________,若直线 OB 的倾斜角为 α,则 sin 2α 的值为________.

【解析】 设点 A( 3,1)为角 θ 终边上一点,如图所示: |OA|=2,由三角函数的定义可知: 1 3 π sin θ=2,cos θ= 2 ,则 θ=2kπ+6(k∈Z), 则 A(2cos θ,2sin θ),设 B(x,y), π? 2π? ? ? 得 x=2cos?θ+2?=2cos?2kπ+ 3 ?=-1,
? ? ? ?

π? 2π? ? ? 2π y=2sin?θ+2?=2sin?2kπ+ 3 ?=2sin 3 = 3, ? ? ? ? 3 1 所以 B(-1, 3),则 sin α= 2 ,cos α=-2, 3 ∴sin 2α=2sin αcos α=- 2 . 【答案】 (-1, 3) 三、解答题 9.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径长为 6, (1)求 AB 的长; (2)求 AB 所在弓形的面积. 【解】 2π (1)∵α=120° = 3 ,r=6, 3 -2

2π ∴ AB 的长 l= 3 ×6=4π. 1 1 (2)∵S 扇形 OAB=2lr=2×4π×6=12π,

1 2π 1 3 S△ABO=2r2· sin 3 =2×62× 2 =9 3, ∴S 弓形=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3. 10.(2014· 佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边, 角 α 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限,已知 A(-1,3). (1)若 OA⊥OB,求 tan α 的值; 4 (2)若 B 点的横坐标为5,求 S△AOB. 【解】 由三角函数定义,知 B(cos α,sin α), → =(-1,3),OB → =(cos α,sin α) 则OA →· → =0. (1)由 OA⊥OB,得OA OB 1 ∴-cos α+3sin α=0,故 tan α=3. 4 (2)∵cos α=5,且 α 终边在第一象限.
?4 3? 3 ∴sin α= 1-cos2α=5,则 B?5,5?. ? ?

又直线 OA 的方程为 3x+y=0, 3? ?4 ? ×3+ ? 5? ?5 10 3 =10 10.

∴点 B 到直线 OA 的距离 d= 又|OA|= ?-1?2+32= 10.

1 1 3 3 故 S△AOB=2|OA|· d=2× 10×10 10=2.

图 3-1-3

11.(2013· 广东省命题综合原创卷(3))如图 3-1-3,在平面直 角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点. 4 12 (1)如果 A,B 两点的纵坐标分别为5,13,求 cos α 和 sin β 的值; (2)在(1)的条件下,求 cos(β-α)的值; 【解】 4 12 (1)根据三角函数的定义,得 sin α=5,sin β=13.

3 又 α 是锐角,所以 cos α=5. 4 12 (2)由(1)知,sin α=5,sin β=13. 3 5 又 α 是锐角,β 是钝角,所以 cos α=5,cos β=-13.所以 cos(β 5 3 12 4 33 -α)=cos βcos α+sin βsin α=-13×5+13×5=65. 第二节 考纲传真 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1. 理解同角三角函数的基本关系式: sin2x +cos2x =

sin x π 1,cos x=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α 的 正弦、余弦、正切的诱导公式.

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α π (2)商数关系:tan α=cos α(α≠2+kπ,k∈Z).

2.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α(k∈ Z) sin α cos α tan α 二 π+α 三 -α 四 π-α sin α -cos α -tan α 五 π 2-α cos α sin α 六 π 2+α cos α -sin α

-sin α -sin α cos α -cos α Tan α -tan α 函数名不变符号看象限

函数名改变符号看象限

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是角 α 是锐角( 1 1 (2)cos(nπ-θ)=3(n∈Z),则 cos θ=3(
? ?

)

) ) )

?π ? kπ 1 (3)若 α≠ 2 (k∈Z),则 tan?2+α?=-tan α(

(4)若 sin α+cos α=1,那么有 sinnα+cosnα=1( 【解析】 由诱导公式,知(1)(2)不正确.
?π ? kπ ? ? 当 α≠ 2 时,tan?2+α?= ?π ? ? ? cos?2+α? ? ? ?π ? sin?2+α?



cos α 1 =-tan α,(3)正确. -sin α

π 由 sin α+cos α=1,知 α=2kπ 或 α=2kπ+2(k∈Z), ∴sinnα+cosnα=1,(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√

5 2.(人教 A 版教材习题改编)已知 cos(α-π)=-13,且 α 是第四

象限角,则 sin α=( 12 A.-13

) 12 B.13 5 C.12 12 D.± 13

5 【解析】 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-13, 5 ∴cos α=13,又 α 是第四象限角, 12 ∴sin α<0,则 sin α=- 1-cos2α=-13. 【答案】 A )

π 3.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2,则 θ 等于( π A.-6 π B.-3 π C.6 π D.3

【解析】 由 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ)得 π π -sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3,又|θ|<2,∴θ=3. 【答案】 D

?5π ? 1 4 . (2013· 广 东 高 考 改 编 ) 已 知 sin ? 2 +α? = 5 , 则 sin α = ? ?

________.
?5π ? 1 【解析】 由 sin? 2 +α?=cos α=5, ? ?

2 ∴sin α=± 1-cos2α=± 5 6. 2 【答案】 ± 5 6 π? ? 3 5 . (2013· 汕 头 市 高 三 调 研 ) 已 知 tan ?α-3? = - 5 , 则 ? ? sin αcos α =________. 3cos2α-2sin2α

π? ? 3 tan α- 3 3 【解析】 由 tan?α-3?=- 5 得 =- 5 ,解得 tan α ? ? 1+ 3tan α 3 sin αcos α tan α 3 = 2 ,从而 =3. 2 2 = 2 = ? 3? 3cos α-2sin α 3-2tan α 3-2×? ?2 ? 2 ? 3 3 3 2

【答案】

考向 1 同角三角函数关系式的应用 【例 1 】 ________. sin α+3cos α (2)已知 =5,则 sin2α-sin αcos α 的值是 3cos α-sin α ( 2 A.5 2 B.-5 C.-2 D.2 ) 3 (1) 已知 α 为第二象限角, sin α = 5 ,则 sin 2α =

【思路点拨】 求值.

(1)由平方关系,求 cos α,进而利用二倍角公式

(2)先根据已知条件求得 tan α,再将待求式变形为分子、分母关 于“弦函数”的二次齐次求解. 【尝试解答】 3 (1)∵α 为第二象限角且 sin α=5,

4 ∴cos α=- 1-sin2α=-5, 3 4 24 ∴sin 2α=2sin α· cos α=2×5×(-5)=-25.

sin α+3cos α tan α+3 (2)由 =5,得 =5,解之得 tan α=2. 3cos α-sin α 3-tan α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α 2 所以 sin α-sin αcos α= = =5. sin2α+cos2α tan2α+1
2

24 【答案】 (1)-25 (2)A 规律方法 1 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦 sin α 的互化,利用cos α=tan α 可以实现角 α 的弦切互化. 2 .注意公式逆用及变形应用: 1 = sin2α + cos2α , sin2α = 1 - cos2α,cos2α=1-sin2α. 变式训练 1
? ?

(2013· 课标全国卷Ⅱ ) 设 θ 为第二象限角,若

π? 1 ? tan?θ+4?=2,则 sin θ+cos θ=________. 1+tan θ 1 π? 1 ? 【解析】 ∵tan?θ+4?=2,∴ = , ? ? 1-tan θ 2 1 解得 tan θ=-3. sin2θ+cos2θ+2sin θ· cos θ ∴(sin θ+cos θ) = 2 2 sin θ+cos θ
2

1 2 - +1 tan θ+2tan θ+1 9 3 2 = = 1 =5. 2 tan θ+1 9+1
2

1 ∵θ 为第二象限角,tan θ=-3, 3π ∴2kπ+ 4 <θ<2kπ+π,∴sin θ+cos θ<0, 10 ∴sin θ+cos θ=- 5 .

10 【答案】 - 5

考向 2 诱导公式的应用 π? ? ?3π ? sin?α-2?· cos? 2 +α?· tan?π-α? ? ? ? ? 已知 f(α)= , tan?-α-π?· sin?-α-π?

【例 2】

(1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 cos(α- 2 )=5,且 α 是第三象限角,求 f(α)的值. 【思路点拨】 (1)直接利用诱导公式化简约分.

(2)利用 α 在第三象限及同角三角函数关系的变形式得 f(α). π 3π sin?α-2?· cos? 2 +α?· tan?π-α? (1)f(α)= tan?-α-π?· sin?-α-π?

【尝试解答】 =

?-cos α?· sin α· ?-tan α? =-cos α. ?-tan α?· sin α
? ? ? ?

3π? ? ?3π ? 1 (2)∵cos?α- 2 ?=cos? 2 -α?=-sin α,∴-sin α=5,即 sin α= 1 -5. 2 6 又 α 为第三象限角,∴cos α=- 1-sin2α=- 5 , 2 6 ∴f(α)=-cos α= 5 . 规律方法 2 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角 或函数名称之间存在的关系,选择恰当的公式,向所求角和三角函 数进行化归. 2.诱导公式的应用原则:负化正、大化小、小化锐、锐求值. 变式训练 2 π? ?π ? ? (2014· 清远质检 ) 已知 cos ?2+α? = 2sin ?α-2? ,则 ? ? ? ?

sin3?π-α?+cos?α+π? 的值为________. ?5π ? ?7π ? 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ?

π? ?π ? ? 【解析】 ∵cos?2+α?=2sin?α-2?
? ? ? ?

∴-sin α=-2cos α,则 sin α=2cos α, 1 代入 sin2α+cos2α=1,得 cos2α=5. sin3?π-α?+cos?α+π? sin3α-cos α = ?5 ? ?7 ? 5sin α-3cos α 5cos?2π-α?+3sin?2π-α? ? ? ? ? 8cos3α-cos α 8 2 1 3 = = cos α - 7cos α 7 7=35. 3 【答案】 35 考向 3 sin α± cos α 与 sin α· cos α 的关系 1 【例 3】 (2014· 云浮模拟)已知-π<x<0,sin x+cos x=5. (1)求 sin x-cos x 的值; sin 2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tan x 【思路点拨】 (1)利用平方关系,设法沟通 sin x-cos x 与 sin x

+cos x 的关系;(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角 x 的弦函 数,再设法将所求式子用已知表示出来. 【尝试解答】 1 (1)由 sin x+cos x=5,平方得

1 sin2x+2sin xcos x+cos2x=25, 24 整理得 2sin xcos x=-25. 49 ∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=25. 由-π<x<0,知 sin x<0,

又 sin x+cos x>0,∴cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=-5. sin 2x+2sin2x 2sin x?cos x+sin x? (2) = sin x 1-tan x 1-cos x 24 1 -25×5 2sin xcos x?cos x+sin x? 24 = = 7 =-175. cos x-sin x 5 规律方法 3 1.第(1)问应注意 x 的范围对 sin x-cos x 的符号的影 π 响.事实上根据条件可进一步判定 x∈(-2,0). 2.(1)对于 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 这三个式子, 已知其中一个式子的值,其余二式的值可求,转化公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,体现了方程思想的应用;(2)关于 sin α,cos α 的 齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 变式训练 3 (1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α= ( ) A.-1 2 B.- 2 2 C. 2 D.1

2 (2)(2013· 惠州调研)若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A=3,则 sin A +cos A=________. 【解析】 (1)∵sin α-cos α= 2,α∈(0,π), ∴1-2sin αcos α=2,则 sin 2α=-1. 3 3 因此 2α=2π,则 tan α=tan 4π=-1. 2 (2)在△ABC 中,sin 2A=2sin Acos A=3>0.

π? ? ∴A∈?0,2?,则 sin A+cos A>0.
? ?

5 又(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=3, 15 故 sin A+cos A= 3 . 15 【答案】 (1)A (2) 3

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 两个防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,要注意函数名称和符号的 确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要注意判断三 角函数值的符号. 三种方法 sin α 1.弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α进行弦、切互化. 2.和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行 变形、转化. π 3.巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=tan 4等.

从近两年高考试题看,同角三角函数关系与诱导公式的考查以 化简、求值为主,题型为选择、填空题的形式,试题不超过中等难 度;并注重与倍角、两角和、两角差等公式渗透,考查基本运算和 转化思想,求解时常见错误是忽视三角函数值符号的判断. 易错辨析之三 忽视三角函数值符号的判断致误 (2012· 大纲全国卷)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α 3 = 3 ,则 cos 2α=( 5 A.- 3 ) 5 B.- 9 5 C. 9 5 D. 3

3 1 【错解】 ∵sin α+cos α= 3 ,∴(sin α+cos α)2=3, 2 2 ∴2sin αcos α=-3,即 sin 2α=-3. π 又∵α 为第二象限角,∴2kπ+2<α<2kπ+π(k∈Z). ∴4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z). 5 ∴cos 2α= 1-sin22α= 3 . 【答案】 D

3 错因分析:(1)忽视隐含条件 sin α+cos α= 3 >0 这一隐含条 件. (2)忽视三角函数值符号的判断. 3 防范措施:(1)由 sin α+cos α= 3 ,隐含着 sin α+cos α>0,即

sin α>-cos α,结合 α 为第二象限角可进一步约束角 α 的范围. (2)利用平方关系求三角函数值,开方时应注意三角函数值符号 的判断. 3 1 【正解】 ∵sin α+cos α= 3 ,∴(sin α+cos α)2=3, 2 2 ∴2sin αcos α=-3,即 sin 2α=-3. 3 又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α= 3 >0, π 3 ∴2kπ+2<α<2kπ+4π(k∈Z), 3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z), 5 ∴2α 为第三象限角,∴cos 2α=- 1-sin22α=- 3 . 【答案】 A

5 1.(2013· 大纲全国卷改编)已知 α 是第二象限角,sin α=13,则 tan α 的值是( 5 A.12 ) 5 B.-12 12 C. 5 12 D.- 5

5 【解析】 ∵sin α=13,且 α 是第二象限角, 12 sin α 5 ∴cos α=- 1-sin2α=-13,则 tan α=cos α=-12. 【答案】 B 10 2.(2013· 浙江高考改编)已知 sin α+2cos α= 2 (α∈R),则 tan 2α=________.

10 【解析】 由 sin α+2cos α= 2 ,平方得 5 sin2α+4sin αcos α+4cos2α=2, 整理,3sin2α-8sin αcos α-3cos2α=0, 1 ∴3tan2α-8tan α-3=0,则 tan α=3 或 tan α=-3. 2tan α 3 代入 tan 2α= 2 ,得 tan 2α=- . 4 1-tan α 3 【答案】 -4 课后限时自测 一、选择题 1.(2014· 深圳模拟)化简 sin 2 013° 的结果是( A.sin 33° C.-sin 33° 【解析】 ) B.cos 33° D.-cos 33°

∵sin 2 013° =sin(6×360° -147° )=-sin 147° =-

sin(180° -33° )=-sin 33° . 【答案】 C
? π ? 1 2.(2014· 成都一模)已知 sin(π-α)=log84,且 α∈?-2,0?,则 ? ?

tan(2π-α)的值为(

) 5 D. 2

2 5 2 5 2 5 A.- 5 B. 5 C.± 5

1 2 【解析】 sin(π-α)=log84=-3,
? π ? 且 α∈?-2,0?, ? ?

2 5 ∴sin α=-3,则 cos α= 1-sin2α= 3 . sin α 2 5 故 tan(2π-α)=-tan α=-cos α= 5 . 【答案】 B sin 2α 3.若 tan α=3,则 cos2α 的值等于( A.2 sin 2α 2sin αcos α cos2α = cos2α =2tan α=6. D ) B.2 D.-2 【解析】 由 cos α+2sin α=- 5可知,cos α≠0,得 cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5,即 sin2α-4sin αcos α+4cos2α= 0. ∴tan2α-4tan α+4=0,则 tan α=2. 【答案】 B
?π ? 5.(2013· 华南师大附中)已知 tan α 和 tan?4-α?是方程 ax2+bx+c ? ?

) B.3 D.6 C.4

【解析】 【答案】

4.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α 等于( 1 A.2

1 C .- 2

=0 的两根,则 a,b,c 的关系是( A.b=a+c C.c=b+a 【解析】 由根与系数的关系知

) B.2b=a+c D.c=ad

?π ? b ? ?=- , - α ?tan α+tan? a ?4 ? ? ?π ? c ? -α?= , ? tan α · tan ? ?4 ? a ? ?π ?? ∴tan?α+?4-α?? ? ? ??

b -a -b ? ? = = = c a-c=1, ?π ? 1-tan α· tan?4-α? 1-a ? ? ∴-b=a-c,∴a+b=c. 【答案】 C 二、填空题
?π ? 1 ?π ? 6.(2014· 湛江调研)若 sin?6-α?=3,则 cos?3+α?=________. ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? 【解析】 cos?3+α?=cos?2-?6-α?? ? ?? ? ? ? ?π ? 1 =sin?6-α?=3. ? ?

?π ? tan α+tan?4-α?

1 【答案】 3 m-3 4-2m 7.(2014· 辽宁五校联考)已知 sin x= ,cos x= ,且 x m+5 m+5
?3π ? ∈? 2 ,2π?,则 tan x=________. ? ?

【解析】 ∵sin2x+cos2x=1,
?m-3?2 ?4-2m?2 ? +? ? =1,得 m=0 或 m=8, ∴? ?m+5? ? m+5 ? ?3π ? 又 x∈? 2 ,2π?,m=8 不满足 cos x>0,舍去. ? ?

3 4 因此 m=0,sin x=-5,cos x=5.

3 所以 tan x=-4. 3 【答案】 -4 1 5 3 8.已知 sin αcos α=8,且4π<α<2π,则 cos α-sin α=________. 5 3 【解析】 由4π<α<2π,知 cos α-sin α>0, 3 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=4, 3 ∴cos α-sin α= 2 . 【答案】 三、解答题 9.已知函数 f(x)= 3π? π? ? ? 3 1-sin?x- 2 ?+cos?x+2?+tan 4π ? ? ? ? . cos x (1)求函数 y=f(x)的定义域; 4 (2)设 tan α=-3,求 f(α)的值. 【解】 π (1)由 cos x≠0,得 x≠2+kπ,k∈Z, 3 2

π 所以函数的定义域是{x|x≠2+kπ,k∈Z}. 4 (2)∵tan α=-3, 3π? π? ? ? 3π 1-sin?α- 2 ?+cos?α+2?+tan 4 ? ? ? ? ∴f(α)= cos α



1-cos α-sin α-1 -cos α-sin α 1 = =- 1 - tan α = cos α cos α 3.

? 2?π 10.已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ?2<α<π?.求下列各式的值: ? ?

(1)sin α-cos α;
?π ? ?π ? (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?. ? ? ? ?

【解】

2 由 sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ,

2 2 得 sin α+cos α= 3 ,两边平方,得 1+2sin α· cos α=9, 7 故 2sin α· cos α=-9. π 又2<α<π,∴sin α>0,cos α<0.
? 7? 16 (1)(sin α-cos α)2=1-2sin α· cos α=1-?-9?= 9 , ? ?

4 ∴sin α-cos α=3.
?π ? ?π ? (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?=cos3α-sin3α ? ? ? ?

=(cos α-sin α)(cos2α+cos α· sin α+sin2α) 7? 4 ? 22 =-3×?1-18?=-27. ? ? 11.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A. 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. cos2B-sin2B 【解】 (1)由已知可得, 3sin A-cos A=1,①

又 sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+( 3sin A-1)2=1,即 4sin2A-2 3sin A=0. 3 π 2π ∵sin A≠0,则 sin A= 2 ,∴A=3或 3 , π 2π 2 π 将 A=3或 3 代入①知 A=3π 时不成立,∴A=3. (2)由 1+2sin Bcos B =-3, cos2B-sin2B

得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2. 第三节 三角函数的图象与性质

考纲传真 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解 三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π]上的性质 (如 单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区
? π π? 间?-2,2?内的单调性. ? ?

1.周期函数和最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内

的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),则称 f(x)为周期函数,T 为它的一 个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数 叫做 f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图象 π x≠kπ+2,k∈Z R y=sin x y=cos x y=tan x

定义域 值域

R [-1,1] 递增区间: π π? ? ?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2? ? k ∈Z 递减区间: π 3π? ? ?2kπ+ ,2kπ+ ? 2 2? ? k ∈Z 奇函数 对称中心 (kπ,0)k∈Z

R [-1,1]

单调性

递增区间: [2kπ-π,2kπ] 递减区间: [2kπ,2kπ+π]

递增区间 π π? ? ?kπ- ,kπ+ ? 2 2? ? (k∈Z)

奇偶性

对称性

偶函数 对称中心 π ? ? ?kπ+ ,0?k∈Z 2 ? ? 对称轴 l x=kπ(k∈Z) 2π

奇函数 对称中心 ? kπ ? ? ,0?k∈Z ?2 ? 无对称轴 π

周期

对称轴 π x=kπ+2(k∈Z) 2π

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”)

(1)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期 ( (2)函数 y=cos x 的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称 ( (3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数( 3 ? ? (4)函数 y=sin?x+2π?cos x 是奇函数(
? ?

)

)

)

)

【解析】 依据三角函数的性质,(1)正确,(2)、(3)错误. 3 ? ? ∵y=sin?x+2π?cos x=-cos2x 为偶函数,(4)不正确.
? ?

【答案】 (1)√

(2)× (3)×

(4)× )

2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=tan 3x 的定义域为( 3π A.{x|x≠ 2 +3kπ,k∈Z} kπ,k∈Z} π C.{x|x≠-6+kπ,k∈Z} kπ + 3 ,k∈Z} π π kπ 【解析】 由 3x≠2+kπ,k∈Z 得 x≠6+ 3 ,k∈Z,故选 D. 【答案】 D

π B . {x|x≠6 +

π D.{x|x≠ 6

π 3.(2013· 广州高中毕业班测试)若函数 y=cosωx+6(ω∈N*)的一
?π ? 个对称中心是?6,0?,则 ω 的最小值为( ? ?

) D.8

A.1

B.2

C.4

?πω π? πω π π 【解析】 ∵cos? 6 +6?=0,∴ 6 +6=2+kπ, ? ?

∴ω=2+6k,又 ω∈N*,

∴ω 的最小值为 2.选 B. 【答案】 B π? ? 4 . (2013· 江 苏 高 考 ) 函 数 y = 3sin ?2x+4? 的 最 小 正 周 期 为
? ?

________. π? ? 2π 【解析】 函数 y=3sin?2x+4?的最小正周期 T= 2 =π.
? ?

【答案】 π 5.(2013· 浙江高考改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω> π 0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=2”的________条件. 【解析】 若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ π π =2+kπ(k∈Z),故 φ=2不成立. π π 若 φ=2,f(x)=Acos(ωx+2)=-Asin(ωx)f(x)是奇函数. π 所以“f(x)是奇函数”是“φ=2”的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分

考向 1 三角函数的定义域和值域 【例 1 】 ________.
? πx π ? (2)(2014· 济南调研)函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小 ? ?

(1) 函数 f(x) =

π? ? 1 1+log2x + tan ?x+4? 的定义域是
? ?

值之和为(

)

A.2- 3

B.0

C.-1

D.-1- 3

π π 【思路点拨】 (1)转化为关于 x 的不等式组求解;(2)先求6x-3 的范围,结合三角函数的单调性求最值. 1 π π ? 【尝试解答】 (1)依题意?1+log2x≥0,?x+4≠kπ+2?k∈Z?.
?

π ∴0<x≤2,且 x≠kπ+4(k∈Z), π ∴函数 f(x)的定义域是{x|0<x≤2,且 x≠4}. (2)∵0≤x≤9, π π π 7π ∴-3≤6x-3≤ 6 , 3 π π ∴- 2 ≤sin(6x-3)≤1,则- 3≤y≤2. ∴ymax+ymin=2- 3. π 【答案】 (1){x|0<x≤2,且 x≠4} (2)A 规律方法 1 1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式,常 借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为 y=Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域),或用换元法(令 t=sin x,或 t=sin x± cos x)化为关于 t 的二次函数求值域(最值).
?π 7π? 变式训练 1 当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小 ? ?

值是________,最大值是________. π 7π 1 【解析】 由6≤x≤ 6 ,知-2≤sin x≤1. 又 y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1

1 7 =2(sin x-4)2+8, 1 7 ∴当 sin x=4时,ymin=8, 1 当 sin x=1 或-2时,ymax=2. 7 【答案】 8 2 考向 2 三角函数的单调性 π? ? 【例 2】 (2013· 安徽高考)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?(ω
? ?

>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; π? ? (2)讨论 f(x)在区间?0,2?上的单调性.
? ?

【思路点拨】

(1)化为正弦型函数,由周期求 ω;(2)讨论 f(x)

的单调性时利用整体代换,把 ωx+φ 当作一个整体放入正弦的增区 间内解出 x 即为增区间,不要忽略定义域. 【尝试解答】 π? ? (1)f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?
? ?

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx π? ? = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=2sin?2ωx+4?+ 2.
? ?

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 .

π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当2<2x+4≤ 4 ,即8<x≤2时,f(x)单调递减. π? ? ?π π? 故 f(x)在区间?0,8?上单调递增,在区间?8,2?上单调递减.
? ? ? ?

规律方法 2 1.求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先 化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”. 2.求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单 调区间时,要视 “ωx+ φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如 果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄 错. ?sin x-cos x?sin 2x 变式训练 2 已知函数 f(x)= . sin x (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 因为 f(x)= ?sin x-cos x?sin 2x sin x

=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? ? = 2sin?2x-4?-1.
? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π (2)由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈Z),

π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). π 3π 所以 f(x)递增区间为[kπ-8,kπ)和(kπ,kπ+ 8 ](k∈Z). 考向 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 π 【例 3】 (1)(2012· 课标全国卷)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x 5π = 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( π A.4 π B.3 π C.2 3 D.4π )

(2)(2013· 湖北高考改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向 左平移 m(m>0)个单位长度后,得 f(x)的图象,若 y=f(x)是偶函数, 则 m 的最小值是________. 【思路点拨】 得 φ 值. (2)借助图象变换,求 y=f(x)的解析式,利用奇偶性求解. π 5π 【尝试解答】 (1)∵x=4和 x= 4 是函数 y=f(x)图象相邻的对称 轴. 2π ?5π π? ∴T= ω =2? 4 -4?,则 ω=1.
? ?

(1)由对称轴确定周期,求 ω,进而由 φ 的范围

∴f(x)=sin(x+φ),
?π? π π 从而 f?4?=± 1,得4+φ=kπ+2(k∈Z), ? ?

π 又 0<φ<π,故 φ=4. π? ? (2)y= 3cos x+sin x=2cos?x-6?,
? ?

π? ? ∴平移后得 y=2cos?x+m-6?,且图象关于 y 轴对称
? ?

π π 则 m-6=kπ(k∈Z),令 k=0,得 m=6(m>0). π ∴m 的最小值是6. π 【答案】 (1)A (2)6 规律方法 3 1.判断三角函数的奇偶性和周期性时,一般先将三 角函数式化为一个角的一种三角函数,再根据函数奇偶性的概念、 三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解. 2.求三角函数的周期主要有三种方法: (1)周期定义; (2)利用 正(余)弦型函数周期公式;(3)借助函数的图象. 变式训练 3 (1)(2014· 深 圳 调 研 ) 如 果 函 数 f(x) = sin(πx + )

θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时取得最大值,那么( π A.T=2,θ=2 =π C.T=2,θ=π π 2

B.T=1,θ

D.T = 1 , θ =

?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那 ? ?

么|φ|的最小值为________. 2π 【解析】 (1)T= π =2,∵f(2)=sin(2π+θ)=sin θ=1, π 又 0<θ<2π,∴θ=2.选 A. 4π ? ? ?2π ? (2)依题意 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ?=0,
? ? ? ?

2π π π ∴ 3 +φ=kπ+2,则 φ=kπ-6(k∈Z), π 取 k=0,得|φ|的最小值为6. π 【答案】 (1)A (2)6

两个结论 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z); (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). 2.函数 y= Asin(ωx + φ)与 y= Acos(ωx + φ)的最小正周期 T= 2π π , y = A tan( ωx + φ ) 的最小正周期 T = |ω| |ω|. 两种方法 求三角函数值域(最值)的常用方法: 1.将函数变形化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). 2.换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求二次函数 在区间上的值域(最值)问题. 三点注意 1.求 y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间,要注意 ω 的正负,只有 当 ω>0 时,才能将“ωx+φ”整体代入相应单调区间. 2.利用换元法求三角函数最值时,注意 cos x(或 sin x)的有界 性.

3.正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形且 最值点在对称轴上;正切函数的图象只是中心对称图形.

从近两年高考试题看,三角函数的周期性、奇偶性、单调性、 值域等是高考的热点内容,常与三角变换等知识交汇,在考查三角 函数图象与性质的同时,注重考查三角变换的技能,及数形结合、 转化与化归等数学思想. 思想方法之十 导数在研究三角函数中的应用 (2013· 课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x- 2cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 【解析】 f′(x)=cos x+2sin x, 1 由 f′(x)=0,得 tan x=-2,又因为当 x=θ 时,f(x)取得最大 值, 1 所以 tan θ=-2. 1 由 tan θ=-2<0,得 θ 是第二或第四象限角. 若 θ 是第四象限角,则 f′(x)在 x=θ 的两侧左负右正, f(x)在 x=θ 处取最小值,不合题意. 所以 θ 是第二象限角. 所以,cos θ=- 1 =- 1+tan2θ 1
? ? ? 1? 1+?-2?2

2 5 =- 5 .

2 5 【答案】 - 5

易错提示: 1.缺少用导数研究三角函数的意识,而用辅角公式 将其转化为正弦型函数求解时,由于不能正确地建立辅助角与 θ 的 关系,造成求解错误. 2.在用导数求解时,由于未对 θ 所在的象限作出正确的判断而 致误. 防范措施: 1.导数是研究函数的重要工具,要树立用导数研究 函数的意识. 2.在用导数求极值时,要注意对极值点两侧导数符号的考查, 以便确定该点是极大值点还是极小值点.

π? π? ? ? 1.(2013· 天津高考)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2? 上的最小
? ? ? ?

值为(

) 2 B.- 2
? ?

A.-1 【解析】

2 C. 2

D.0

π? ? π π 3π π π ∵x∈?0,2?,∴-4≤2x-4≤ 4 ,∴当 2x-4=-4

π? ? 2 时,f(x)=sin?2x-4?有最小值- 2 . ? ? 【答案】 B 2.(2013· 课标全国卷Ⅰ)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的 图象大致为( )

【解析】

在[- π, π]上,∵f(- x)=[1- cos(- x)]sin(- x)= (1

-cos x)(-sin x)=-(1-cos x)sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,排除 B. π? ?π? ? π π 取 x=2,则 f?2?=?1-cos 2?sin 2=1>0,排除 A. ? ? ? ? ∵f(x)=(1-cos x)sin x, ∴f′(x)=sin x· sin x+(1-cos x)cos x =1-cos2x+cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1. 1 令 f′(x)=0,则 cos x=1 或 cos x=-2. 2π 结合 x∈[-π,π],求得 f(x)在(0,π]上的极大值点为 3 ,靠近 π,选 C. 【答案】 课后限时自测 一、选择题 1 . (2013· 北京高考 )“φ = π”是“曲线 y = sin(2x + φ) 过坐标原 点”的( ) C

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 也不必要条件

B.必要而不充分条件 D. 既 不 充 分

【解析】 当 φ=π 时,y=sin(2x+π)=-sin 2x 的图象过原点. 但曲线 y=sin(2x+φ)过原点,φ=kπ(k∈Z)D?/φ=π. 【答案】 A )

2.设函数 f(x)=sin 3x+|sin 3x|,则 f(x)为( 2π A.周期函数,最小正周期为 3 π B.周期函数,最小正周期为3 C.周期函数,最小正周期为 2π D.非周期函数 【 解 析 】 f (x ) = sin 3x



|sin

3 x|



{2sin 3x,sin 3x≥0,?0,sin 3x<0, 依图象函数 f(x)的最小正周期
2 为3π. 【答案】 A

3.(2013· 广东省高考命题专家原创卷)已知函数 f(x)=3sin(ωx+ φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π,若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x π =2时,f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

1 π 【解析】 ∵f(x)的最小正周期为 6π,∴ω=3,∵当 x=2时,f(x) 1 π π π 有最大值,∴3×2+φ=2+2kπ(k∈Z),得 φ=3+2kπ(k∈Z),又∵ π -π<φ≤π,∴φ=3,
? x π? ∴ f(x) = 3sin ?3+3? ,把选项中区间代入此函数,利用简单正弦 ? ?

函数 y=sin x 的图象易知,f(x)在区间[-2π,0]上是增函数,而在区 间[-3π,-π]、[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是单调 增函数.故选 A. 【答案】 A )

4.(2013· 山东高考)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为(

π 【解析】 当 x=2时,y=1>0,排除 C. π 当 x=-2时,y=-1,排除 B;或利用 y=xcos x+sin x 为奇函 数,图象关于原点对称,排除 B. 当 x=π 时,y=-π<0,排除 A.故选 D. 【答案】 D
? ?

? π π? 5.(2014· 广州模拟)已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间?-3,4?上的

最小值为-2,则 ω 的取值范围是( 9? ? A.?-∞,-2?∪[6,+∞)
? ?

)

9? ?3 ? ? B.?-∞,-2?∪?2,+∞?
? ? ? ?

C.(-∞,-2]∪[6,+∞)
?3 ? D.(-∞,-2]∪?2,+∞? ? ?

π π π π 【解析】 当 ω>0 时,由-3≤x≤4得-3ω≤ωx≤4ω,由题意 π π 3 知,-3ω≤-2,∴ω≥2. π π π π 当 ω<0 时,由-3≤x≤4,得4ω≤ωx≤-3ω, π π 由题意知,4ω≤-2,∴ω≤-2.
?3 ? 综上知 ω∈(-∞,-2]∪?2,+∞?. ? ?

【答案】 二、填空题

D

π? ? 6.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的
? ?

π? ? 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 , 若 x ∈ ?0,2? , 则 f(x) 的 取 值 范 围 是
? ?

________. π? ? 【解析】 依题意得 ω=2,所以 f(x)=3sin?2x-6?.
? ?

π? ? π ? π 5 ? 由 x∈?0,2?,得 2x-6∈?-6,6π?,
? ? ? ?

π? ? 1 ? ? 3 所以 sin?2x-6?∈?-2,1?,故-2≤f(x)≤3.
? ? ? ?

? 3 ? 【答案】 ?-2,3? ? ?

π? ? 7.若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间?0,3?上的最大值是 2,则 ω
? ?

=________. π ωπ π 【解析】 由 0≤x≤3,得 0≤ωx≤ 3 <3, π? ? 则 f(x)在?0,3?上单调递增,且最大值为 2.
? ?

ωπ ωπ π 所以 2sin 3 = 2且 0≤ 3 <3, ωπ π 3 所以 3 =4,解得 ω=4. 3 【答案】 4 8.(2013· 江西高考)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为 ________. 【解析】 y=sin 2x+2 3sin2x=sin 2x+ 3(1-cos 2x) π? ? =sin 2x- 3cos 2x+ 3=2sin?2x-3?+ 3,
? ?

2π ∴T= 2 =π. 【答案】 π 三、解答题 9.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称 π 轴是直线 x=8, (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

【解】

π (1)∵直线 x=8是函数 f(x)图象的一条对称轴,

π π ∴2×8+φ=2+kπ,k∈Z, π 即 φ=4+kπ,k∈Z. 3 又-π<φ<0,∴φ=-4π. 3π? ? (2)由(1)知 f(x)=sin?2x- 4 ?,
? ?

π 3π π 令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z. 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z.
? ?

π? ? 10.(2013· 湖南高考)已知函数 f(x)=cos x· cos?x-3?.
? ? ?2π? (1)求 f? 3 ?的值; ? ?

1 (2)求使 f(x)<4成立的 x 的取值集合. 【解】
?2π? 2π π (1)f? 3 ?=cos 3 · cos3 ? ? ? ?

?1? π π 1 =-cos3· cos3=-?2?2=-4.

π? ? (2)f(x)=cos xcos?x-3?
? ? ?1 ? 3 ? cos x+ sin x? =cos x· 2 ?2 ?

1 3 =2cos2 x+ 2 sin xcos x

1 3 =4(1+cos 2x)+ 4 sin 2x π? 1 1 ? =2cos?2x-3?+4.
? ?

π? 1 1 1 1 ? f(x)<4等价于2cos?2x-3?+4<4,
? ?

π? ? π π 3 ∴cos?2x-3?<0,则 2kπ+2<2x-3<2kπ+2π,k∈Z.
? ?

5π 11π 因此 kπ+12<x<kπ+ 12 ,k∈Z. 1 故使 f(x)<4成立的 x 的取值集合为 5π 11π {x|kπ+12<x<kπ+ 12 ,k∈Z}.

图 3-3-1 π? ? 11.(2013· 广东名校联考)函数 f(x)=Asin?ωx+3?(其中 A>0,ω>0)
? ?

在一个周期内的图象如图 3-3-1 所示,N 为图象的最高点,M、 Q、P 为图象与 x 轴的交点,△MNP 为直角三角形,且∠MNP= 90° ,∠NPM=30° ,MN=3. (1)求函数 f(x)的解析式;
?α? 3 3 (2)设 α∈(0,6),且 f?2?= 4 ,求 α 的值. ? ?

【解】

(1)由题意得,在 Rt△MNP 中,MN=NQ,∠NMP=

60° ,所以△MNQ 为正三角形,又 MN=3,所以点 N 到 x 轴的距离 3 3 3 3 为 2 ,即 A= 2 .

2π π 又 MP=2MN=6,即函数的最小正周期为 6,所以 ω= 6 =3. 3 3 ?πx π? 所以 f(x)= 2 sin? 3 +3?. ? ?
?α? 3 3 ?π α π? 3 3 (2)由 f?2?= 2 sin?3×2+3?= 4 , ? ? ? ? ?πα π? 1 得 sin? 6 +3?=2. ? ?

因为 α∈(0,6), πα π ?π 4π? 所以 6 +3∈?3, 3 ?, ? ? πα π 5π 所以 6 +3= 6 ,解得 α=3. 第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

考纲传真 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响.2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数 解决一些简单实际问题.

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, x≥0), 表示一个振动量时 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f=T=2π 相位 ωx+φ 初相 φ

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关 键点,如下表所示

x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

φ -ω 0 0

π 2 -φ ω π 2 A

π-φ ω π 0

3 2π-φ ω 3π 2 -A

2π-φ ω 2π 0

3.由 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0) 的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”)

π? ? (1)作函数 y =sin ?x-6? 在一个周期内的图象时,确定的五点是
? ? ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0)这五个点( ? ? ? ?

)

(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平 移”中平移的单位长度一致( )

π (3)将 y=3sin 2x 的图象左移4个单位后所得图象的解析式是 y= π? ? 3sin?2x+4?
? ? ? x π? 4 π (4)函数 y=2sin?2-4?的频率为π,初相为4( ? ?

)

【解析】 确.

由图象变换和“五点作图”法知(1)、(2)、(3)均不正

? x π? 1 1 π (4)y=2sin?2-4?的频率为T=4π,初相为-4. ? ?

【答案】 (1)×

(2)× (3)×

(4)×

π 2.(人教 A 版教材习题改编)已知简谐运动 f(x)=2sin(3x+φ)(|φ| π <2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别 为( ) π A.T=6,φ=6 π =3 π C.T=6π,φ=6 π =3 D.T = 6π , φ B.T=6,φ

1 【解析】 由题意知 f(0)=2sin φ=1,∴sin φ=2, π π 又|φ|<2,∴φ=6,又 T=6,故选 A. 【答案】 A

π 3.(2013· 广东肇庆二模)已知函数 f(x)=Asinωx+6(A>0,ω>0)的
? π π? 最小正周期为 π,且 f(0)= 3,则函数 y=f(x)在?-4,4?上的最小值 ? ?

是(

) A.- 6 B.-2 3 C.-3 D.2 3

【解析】 易知 A=2 3,ω=2, π? ? ∴f(x)=2 3sin?2x+6?,
? ?

π π π π 2π 由-4≤x≤4?-3≤2x+6≤ 3 ,
? π? 得 fmin(x)=2 3sin?-3?=-3. ? ?

【答案】 C π 4.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的部分图象如图 3- 4-1 所示,则 φ=________.

图 3-4-1 π? ?7 【解析】 由图象知 A=1,T=4?12π-3?=π,∴ω=2, ? ?

π π π 再由 2×3+φ=2,得 φ=-6. π 【答案】 -6 5.(2013· 课标全国卷Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象 π? ? π 向右平移 2 个单位后,与函数 y = sin ?2x+3? 的图象重合,则 φ =
? ?

________. 【解析】 π y = cos(2x + φ) 的图象向右平移 2 个单位得到 y =
?

π? ? ? ? cos?2?x-2?+φ?的图象,得 y=cos(2x-π+φ).
? ? ?

π ∵其图象与 y=sin(2x+3)的图象重合, π π π π ∴φ-π=3-2+2kπ,∴φ=3+π-2+2kπ, 5π 5π 即 φ= 6 +2kπ.又∵-π≤φ<π,∴φ= 6 . 【答案】 5π 6

考向 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 【例 1】 (1)(2013· 山东高考)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴 π 向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值 为( ) 3π A. 4 π B.4 C.0 π D.-4

π? ? (2)已知函数 f(x)=sin?2x+3?.
? ?

①求函数 y=f(x)的单调递增区间; ②画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 【思路点拨】 (1)写出平移后函数的解析式,利用奇偶性求 φ; (2)列出 x∈[0,π]上的影响 y=f(x)图象关键点,作出简图. 【尝试解答】 π ? ? sin?2x+4+φ?,
? ?

π? ? ? ? (1) 平 移 后 函 数 y = sin ?2?x+8?+φ? =
? ? ? ?

π ? ? 又函数 y=sin?2x+4+φ?为偶函数,
? ?

π π π ∴4+φ=kπ+2,φ=kπ+4(k∈Z). π 取 k=0,有 φ=4,选 B. 【答案】 B π π π (2)①由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z), 5π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z), 5π π? ? ∴所求单调增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z).
? ?

π π 7π ②∵0≤x≤π,∴3≤2x+3≤ 3 .列表如下: π 2x+3 x y π 3 0 3 2 π 2 π 12 1 π π 3 0 3π 2 7π 12 -1 2π 5π 6 0 7π 3 π 3 2

画出图象如图所示.

规律方法 1 1.变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩 φ? ? 还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω?确定平移单
? ?

位. 2.用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设 z=ωx+φ, π 3 由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,描点得出图 象.如果在限定的区间内作图象,还应注意端点的确定. 变式训练 1 已知函数 f(x)=cos2x-2sin xcos x-sin2x. (1)如何由 y= 2sin x 的图象,得到 y=f(x)的图象. (2)用“五点法”在给定的坐标系中,作出函数 f(x)在[0,π]上的 图象. 【解】 f(x)=cos 2x-sin 2x= 2?
? 2 ? 2 ? cos 2 x - sin 2 x 2 ? 2 ?

π? 3π? ? ? = 2cos?2x+4?= 2sin?2x+ 4 ?,
? ? ? ?

3π? ? 3π (1)将 y= 2sin x 的图象向左平移 4 个单位,得 y= 2sin?x+ 4 ?
? ?

1 的图象;再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 倍 ( 纵坐标不 变),得 y=f(x)的图象. (2)列表: 3π 2x+ 4 3π 4 π 3π 2 2π 5π 2 11π 4

x f (x )

0 1

π 8 0

3π 8 - 2

5π 8 0

7π 8 2

π 1

作出函数 y=f(x)的图象如图所示:

考向 2 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式. 【例 2】 (2014· 深圳模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常 数, A > 0 , ω > 0) 的部分图象如图 3 - 4 - 2 所示,则 f(0) 的值是 ________.

图 3-4-2 【思路点拨】 观察函数 f(x)的图象特征,可求 A、T,根据图象 过定点可求 φ,最后求 f(0). T 7π π π 【尝试解答】 由图象知 A= 2,4=12-3=4,T=π, 2π 又 T= ω ,∴ω=2, 根据函数图象的对应关系, π 得 2×3+φ=2kπ+π, π π ∴φ=2kπ+3,k∈Z.令 k=0,取 φ=3.

π? ? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?,
? ?

π 6 ∴f(0)= 2sin 3= 2 . 【答案】 规律方法 2 6 2 1.本题求 f(0)的关键是求参数“φ”值,常用方法

有:(1)代入法,(2)“五点法”. 2.用五点法求 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的峰(谷)点或 第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx π + φ = 0.“ 第二点 ”( 即图象的 “ 峰点 ”) 时, ωx + φ = 2 ; “ 第三 点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图象 3π 的“谷点”)时 ωx+φ= 2 ;“第五点”时 ωx+φ=2π. 变式训练 2
? ?

(2014· 湛 江 测 试 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx +

π? ? φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图 3-4-3 所示. (1)求函数 f(x)的表达式; π ? 1? π?? ? ? (2)若 f?α+12?=3?α∈?0,2??,求 tan α 的值.
? ? ? ? ??

图 3-4-3 【解】 T π π π (1)依题意:A=1,最小正周期 T 满足4=3-12=4.

2π ∴T=π.∴ ω =π,∴ω=2.

?π? ?π ? π π ∴f?12?=sin?6+φ?=1 且|φ|<2.∴φ=3. ? ? ? ?

π? ? ∴f(x)=sin?2x+3?.
? ?

π? π? ? ? 1 (2)f?α+12?=sin?2α+2?=cos 2α=1-2sin2α=3.
? ? ? ?

1 ∴sin2α=3. π? ? 3 ∵α∈?0,2?,∴sin α= 3 . ? ? 6 sin α 2 ∴cos α= 1-sin2α= 3 .∴tan α=cos α= 2 . 考向 3 函数 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用 3 【例 3】 (2013· 山东高考)设函数 f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π 4. (1)求 ω 的值; 3π? ? (2)求 f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值.
? ?

【思路点拨】 第一问先利用倍角公式化为 y=Asin(ωx+φ)的形 式,再利用图象研究周期关系,从而确定 ω.第二问在限制条件下求 π 最值,需要利用不等式的性质求出 2x-3的范围,再进行求解. 【尝试解答】 3 (1)f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx

1-cos 2ωx 1 3 = 2 - 3· -2sin 2ωx 2 3 1 = 2 cos 2ωx-2sin 2ωx

π? ? =-sin?2ωx-3?.
? ?

π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4, 2π π 又 ω>0,所以2ω=4×4. 因此 ω=1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x-3?.
? ?

3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 2 时, 3 ≤2x-3≤ 3 . π? ? 3 所以- 2 ≤sin?2x-3?≤1. ? ? 3 则-1≤f(x)≤ 2 . 3π? ? 3 故 f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. ? ? 规律方法 3 1.(1)利用倍角公式化简函数解析式时易出现符号错 3π? ? 误;(2)第(2)问中,易盲目认为 f(x)在?π, 2 ?上单调错求最值.
? ?

2.求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间或最值要先化 ω 为正,然后把 “ωx+φ”整体看成一个变量,代入相应单调区间求解. 变式训练 3
? ?

(2013· 广东省高考命题专家原创卷(14))设函数 f(x)

π? ? = 2sin2?ωx+4? + 2cos2ωx(ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距 2π 离为 3 . (1)求函数 f(x)的最大值,并求出此时的 x 值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移8个单位长 度,再沿 y 轴对称后得到,求函数 y=g(x)的单调减区间.

【解】

π? π? ? ? (1)f(x)=2sin2?ωx+4?+2cos2ωx=1-cos?2ωx+2? +1+
? ? ? ? ? ?

π? ? cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+2= 2sin?2ωx+4?+2, π? ? 因为函数 f(x)=2sin2?ωx+4?+2cos2ωx(ω>0)的图象上两个相邻的
? ?

2π 2π 2π 最低点之间的距离为 3 ,即函数 f(x)的最小正周期为 3 ,所以2ω= 2π 3 ,故 ω 的值为 3 2. π? ? 所以 f(x)= 2sin?3x+4?+2,函数 f(x)的最大值为 2+2,
? ?

π π 2 kπ π 此时 3x+4=2kπ+2,即 x= 3 +12(k∈Z). π (2) 函 数 y = f(x) 的 图 象 向 右 平 移 8 个 单 位 长 度 得 h(x) = 2 π? π? ? ? π? ? ?x- ?+ ?+2= 2sin?3x- ?+2,再沿 y 轴对称后得到 g(x)= sin?3· 8 4 8
? ? ? ? ? ?

π? π? ? ? 2sin?-3x-8?+2=- 2sin?3x+8?+2.
? ? ? ?

π? ? 函数 g(x)的单调减区间即为函数 y=sin?3x+8?的单调增区间,
? ?

π π π 由 2kπ-2≤3x+8≤2kπ+2, 2 5π 2 π 解得3kπ-24≤x≤3kπ+8(k∈Z). 2 5π 2 π 故函数 y=g(x)的单调减区间为3kπ-24,3kπ+8(k∈Z). 考向 4 三角函数模型的简单应用 【例 4】 如图 3-4-4 为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8

m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面 垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面间的距

离为 h.

图 3-4-4 (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数 关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少? 【思路点拨】 (1)以 O 为坐标原点建系,可求得 B 点坐标,再

利用 h=r+0.8+yB 求得 h 与 θ 的函数关系式;(2)由 t 表示 θ,代入(1) 得 h 与 t 的关系式,再令 h 最大来求 t.

【尝试解答】 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示直角坐标系, π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ-2. π? π? ? ? 故点 B 的坐标为 4.8cos?θ-2?,4.8sin?θ-2?,
? ? ? ?

π? ? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?.
? ?

π (2)点 A 在圆上转动的角速度是30, π 故 t 秒转过的弧度数为30t, π? ?π ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞).
? ?

到达最高点时,h=10.4 m. π? ?π π π π 由 sin?30t-2?=1 且用时最少得30t-2=2,
? ?

∴t=30,∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒. 规律方法 4 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面: 一是用已知的模型去分析解决实际问题,二是把实际问题抽象转化 成数学问题,建立三角函数模型解决问题,其关键是合理建模. 2 .建模的方法是,认真审题,把问题提供的 “ 条件 ” 逐条地 “翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程. 变式训练 4 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在 商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份 随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价 格最低为 4 元,而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月份随 正弦曲线波动的,并且已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售 价最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完, 请估计哪个月盈利最大?并说明理由. 【解】 6 月份盈利最大,由条件可得:出厂价格 y1 与月份 x 的 π? ?π 函数关系式为 y1=2sin?4x-4?+6(1≤x≤12 且 x∈Z),
? ?

销售价格 y2 与月份 x 的函数关系式为 3π? ?π y2=2sin?4x- 4 ?+8(1≤x≤12 且 x∈Z),
? ?

则利润函数关系式为 y=m(y2-y1) 3π? π? ? ? ?π ?π =m?2sin?4x- 4 ?+8-2sin?4x-4?-6?
? ? ? ? ? ?

π ? ? =m?2-2 2sin 4x?(1≤x≤12 且 x∈Z), ? ? 所以,当 x=6 时,ymax=(2+2 2)m. 故 6 月份该商店盈利最大.

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M ,最小值为 m,则 A= M-m M+m 2π , b = ; ω 由周期 T 确定,即由 2 2 ω =T 求出;φ

由特殊点确定,关键是确定“第一个零点”. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,先相位变换 再周期变换(伸缩变换 ),平移的量是 |φ|个单位;而先周期变换 (伸缩 |φ| 变换)再相位变换,平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因是相位变换和 周期变换都是针对 x 而言的. 三点提醒 1.要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象. 2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先 利用诱导公式化为同名函数. 3.“五点法”作函数简图,一定注意定义域的限制.

从近两年的高考试题来看,函数 y=Asin(ωx+φ)图象的平移和 伸缩变换以及根据图象确定 A、ω、φ 的问题是高考的热点,题型多 样,难度中低档.主要考查识图、用图能力;同时考查利用三角公 式进行三角恒等变换的能力,以及函数与方程、数形结合等数学思

想. 规范解答之四 以向量为载体的正弦型函数的性质 1? ? (12 分)(2013· 陕西高考)已知向量 a=?cos x,-2?,b
? ?

=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值.
? ?

【规范解答】

1? ? f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2x)
? ?

1 3 1 = 3cos xsin x-2cos 2x= 2 sin 2x-2cos 2x π? ? π π =cos 6· sin 2x-sin6· cos 2x=sin?2x-6?.4 分 ? ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为 π.6 分 π π π 5π (2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 .8 分 由正弦函数的图象性质, π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1; π π 1 当 2x-6=-6,即 x=0 时,f(x)取得最小值-2. π? ? 1 因此,f(x)在?0,2?上的最大值是 1,最小值是-2.12 分
? ?

【解题程序】 第一步:利用数量积与三角变换求 f(x); 第二步:根据周期公式求最小正周期; π 第三步:由 x 范围,计算 2x-6的范围.

第四步:依据正弦函数的性质求 f(x)的最值. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点,规范步骤.

易错提示:(1)记错数量积的定义,或弄错三角变换公式导致错 求 f(x)的解析式. π? ? (2)误以为 f(x)在?0,2?上单调,求错 f(x)的最值.
? ?

防范措施:(1)熟记基本概念与三角变换公式,平时加强基本训 练,善于类比,提高技能. (2)求 y=Asin(ωx+φ)的最值问题,应先根据 x 的范围,确定 ωx +φ 的范围,再数形结合,根据正弦函数性质求最值.

1.(2013· 大纲全国卷)若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如 图 3-4-5,则 ω=( )

图 3-4-5 A.5 【解析】 B.4 C.3 D.2

T 设函数的最小正周期为 T ,由函数图象可知 2 =

π? ? π π 2π ?x0+ ?-x0= ,所以 T= .又因为 T= ,可解得 ω=4. 4? 4 2 ω ?

【答案】 B 2.(2013· 江西高考)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 由于 f(x)= 3sin 3x+cos 3x= π? π?? ? ? ? 2sin?3x+6?,则|f(x)|=2?sin?3x+6??≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,
? ? ? ? ??

则 a≥2. 【答案】 [2,+∞) 课后限时自测 一、选择题 π 1.(2013· 珠海市高三质检 )要得到函数 y=sin2x-4的图象,只 要将函数 y=sin 2x 的图象( π A.向左平移4个单位长度 个单位长度 π C.向左平移8个单位长度 个单位长度 π? π? ? ? 【解析】 因为 y=sin?2x-4?=sin2?x-8?,所以只要将函数 y
? ? ? ?

) π B. 向右平移 4

π D. 向右平移 8

π? ? π =sin 2x 的图象向右平移8个单位长度,即可得到函数 y=sin?2x-4? ? ? 的图象.故选 D. 【答案】 D

图 3-4-6 π π? ? 2.(2013· 四川高考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<2?的部
? ?

分图象如图 3-4-6 所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,-3 π C.4,-6 T 11 5 【解析】 ∵2=12π-12π,∴T=π. 2π 由 T= ω =π,得 ω=2. 5π π ∵12×2+φ=2+2kπ,k∈Z,
? π π? π ∴φ=-3+2kπ,又∵φ∈?-2,2?, ? ?

) π B.2,-6 π D.4,3

π ∴φ=-3. 【答案】 A

图 3-4-7 3 . (2013· 广东省高三下学期联考 ) 设偶函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图 3-4-7 所示,△KLM 为等腰
?1? 直角三角形,∠KML=90° ,KL=1,则 f?6?的值为( ? ?

) B. - 1 4

3 A.- 4 1 3 C.-2 D. 4

1 【解析】 由题意知,M 到 x 轴的距离是2,根据题意可设 f(x) 1 =2cos ωx, 1 2π 又半周期是 1,所以2· ω =1,所以 ω=π, 1 所以 f(x)=2cos πx,
?1? 1 π 3 故 f?6?=2cos 6= 4 . ? ?

【答案】

D

4.(2013· 广东高考命题专家原创卷)已知函数 f(x)=asin x+bcos π x(a 、 b 为常数, a≠0 , x ∈ R) 在 x = 4 处取得最小值,则函数 y =
?3π ? f? 4 -x?是( ? ?

)

A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
?3π ? B.偶函数且它的图象关于点? 2 ,0?对称 ? ? ? ? ?3π ? C.奇函数且它的图象关于点? 2 ,0?对称

D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称 【解析】 因为函数 f(x)=asin x+bcos x(a、b 为常数,a≠0,x b π ∈R),所以 f(x)= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ=a,由函数在 x=4处 π π 3π 取得最小值,得4+φ=2kπ-2(k∈Z),即 φ=2kπ- 4 (k∈Z),故函 3π? ?3π ? ?3π 数 y=f? 4 -x?= a2+b2sin? 4 -x+2kπ- 4 ?=- a2+b2sin x,这个
? ? ? ?

函数是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称,选 D. 【答案】 D

5.(2012· 浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再 向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

【解析】 y=cos 2x+1横坐标伸长 ――→ 2倍y=cos x+1向左平移 ――→1个 纵坐标不变 单位长度 1个单位长度y=cos(x+1). y=cos(x+1)+1向下平移 ――→ ∴平移后函数 y=cos(x+1)的最小正周期为 2π,其图象可由余弦 曲线向左平移一个单位长度得到.A 适合. 【答案】 二、填空题 6.(2014· 梅州调研)已知 f(x)=cos(2x+φ),其中 φ∈[0,2π),若
?π? ?π? ?π π? f ?6? = f ?3? ,且 f(x) 在区间 ?6,3? 上有最小值,无最大值,则 φ = ? ? ? ? ? ?

A

________. π 【解析】 由题意知,当 x=4时,f(x)取最小值, π ∴2×4+φ=π+2kπ, π ∴φ=2+2kπ,k∈Z. π 又 0≤φ<2π,∴φ=2.

π 【答案】 2 π? ? 7.(2014· 盐城二模)已知关于 x 的方程 2sin?x+4?=k 在[0,π]
? ?

上有两解,则实数 k 的取值范围是________. π? ? 【解析】 在同一坐标系内作 y1= 2sin?x+4?,x∈[0,π]与 y2
? ?

=k 的图象(如图).

π? ? 由图象可知,当 1≤k< 2时,直线 y2=k 与曲线 y1= 2sin?x+4?
? ?

(0≤x≤π)有两个公共点,即 1≤k< 2时,原方程有两解. 【答案】 [1, 2) 5π 8.(2013· 揭阳模拟)若将函数 y=sin(ωx+ 6 )(ω>0)的图象向右 π π 平移3个单位长度后,与函数 y=sin(ωx+4)的图象重合,则 ω 的最小 值为________.

π? π ?? ? ? ? y=sin?ωx+4?=sin?ω?x+4ω??,
? ? ? ? ??

5π π π 7 由题意知,当6ω-3=4ω时,ω 最小,解得 ω=4.

7 【答案】 4 三、解答题 9.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,-π<φ≤π)在 x π π =6处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为2. (1)求 f(x)的解析式; 6cos4x-sin2x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. π? ? f?x+6?
? ?

【解】 2.

2π (1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π,即 ω =π,解得 ω=

π 因为 f(x)在 x=6处取得最大值 2,所以 A=2. π ? ? 从而 sin?2×6+φ?=1,
? ?

π π 所以3+φ=2+2kπ,k∈Z. π 又由-π<φ≤π,得 φ=6. π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?.
? ?

6cos4x-sin2x-1 (2)g(x)= π? ? 2sin?2x+2? ? ? 6cos4x+cos2x-2 = 2cos 2x ?2cos2x-1??3cos2x+2? = 2?2cos2x-1? 1? ? 3 =2cos2x+1?cos2x≠2?.
? ?

1 因 cos2x∈[0,1],且 cos2x≠2, 7? ?7 5? ? 故函数 g(x)的值域为?1,4?∪?4,2?.
? ? ? ?

π? ? 10.(2013· 安徽高考)设函数 f(x)=sin x+sin?x+3?.
? ?

(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎 样的变化得到. 【解】 1 3 (1)因为 f(x)=sin x+2sin x+ 2 cos x

π? ? 3 3 =2sin x+ 2 cos x= 3sin?x+6?, ? ? π π 所以当 x+6=2kπ-2(k∈Z), 2π 即 x=2kπ- 3 (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 2π ? ? 此时 x 的取值集合为?x|x=2kπ- 3 ,k∈Z?.
? ?

(2)先将 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横 坐标不变),得 y= 3sin x 的图象;再将 y= 3sin x 的图象上所有的 π 点向左平移6个单位,得 y=f(x)的图象. π? ?π π 11.(2013· 广东名校联考优化卷)设函数 f(x)=sin?4x-6?-2cos28
? ?

x+1. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈ 4? ? ?0, ?时 y=g(x)的最大值. 3? ?

【解】

π π π π π 3 π (1)f(x)=sin 4xcos 6- cos 4xsin 6- cos 4x= 2 sin 4 x

π? ?π 3 π -2cos 4x= 3sin?4x-3?, ? ? 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4 (2)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点 为(2-x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,可 π? π? ?π ?π π 知 g(x) = f(2 - x) = 3 sin ?4?2-x?-3? = 3 sin ?2-4x-3? = 3
? ? ? ?

π? ?π cos?4x+3?.
? ?

4 π π π 2π 当 0≤x≤3时,3≤4x+3≤ 3 , 4? ? π 3 因此 y=g(x)在区间?0,3?上的最大值为 g(x)max= 3cos 3= 2 . ? ?

第五节 考纲传真

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2. 能

利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 .3.能利用两角 差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的 正 弦 、 余弦 、正切 公 式 ,了 解它们 的 内 在联 系 .4. 能 利 用 两角 和 (差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换 (包括导出积化和差、和 差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β; (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β; (3)tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3.有关公式的变形、逆用 (1)公式 T(α±β)的变形: ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).

(2)公式 C2α 的变形: 1 ①sin2α=2(1-cos 2α); 1 ②cos2α=2(1+cos 2α). (3)公式的逆用 ①1± sin 2α=(sin α± cos α)2;
? π? ? ②sin α± cos α= 2sin?α± 4 ? ?

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立 ( (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( ) )

tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β=tan(α 1-tan αtan β +β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立( )

(4)公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值 无关( )
? ?

π ? ? 【解析】 显然(1)正确,(3)错误?α=2不成立?. 对于(2),cosAcos B-sin Asin B=cos(A+B)<0, ∴cos Acos B<sin Asin B,则(2)不正确. b 在(4)中,φ 的正切与a有关,φ 所在象限内 a,b 的符号确定,(4)

错. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(人教 A 版教材习题改编)sin 34° sin 26° -cos 34° cos 26° 的值 是( ) 1 A.2 3 B. 2 1 C.-2 3 D.- 2

【解析】 sin 34° sin 26° -cos 34° cos 26° =-(cos 34° cos 26° -sin 1 34° sin 26° )=-cos 60° =-2. 【答案】 C π? ? 2 3.(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α=3,是 cos2?α+4?=(
? ?

)

1 A.6

1 B.3

1 C.2

2 D.3 π ? ? 1+cos?2α+ 2 ?
? ?

【解析】

π? ? 2 ∵ sin 2α = 3 , ∴ cos2 ?α+4? =
? ?

2



2 1-3 1-sin 2α 1 = = 2 2 6. 【答案】 A

π? ?π ? ? 3 4.(2013· 汕头市高三质检)已知 cos?6-α?= 3 ,则 sin2?α-6?- ? ? ? ?
?5π ? cos? 6 +α?的值为________. ? ?

【解析】

? 3? π? ? ?π ? 2 因为 sin2 ?α-6? = 1 - cos2 ?6-α? = 1 - ? ? 2 = 3 , ? ? ? ? ?3 ?

π? ?5π ? ? ?π ?? ?π ? ? 3 cos? 6 +α?=cos?π-?6-α??=-cos?6-α?=- 3 ,所以 sin2?α-6?- ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
?5π ? 2 3 2+ 3 cos? 6 +α?=3+ 3 = 3 . ? ?

【答案】

2+ 3 3

5.(2012· 大纲全国卷)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取到最 大值时,x=________. 【解析】 ∵y=sin x- 3cos x(0≤x<2π), π ∴y=2sin(x-3)(0≤x<2π). π π 5π π 由 0≤x<2π 知,-3≤x-3< 3 ,∴当 y 取得最大值时,x-3= π 5 ,∴ x = 2 6π. 5 【答案】 6π

考向 1 三角函数式的化简 【例 1】 化简:(1)(2013· 重庆高考改编)4cos 50° -tan 40° ; θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? (2) (0<θ<π). 2+2cos θ 【思路点拨】 (1)切化弦,逆用两角和的正弦公式;

θ (2)统一为2的三角函数,变形化简. 【尝试解答】 = = sin 40° (1)4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -cos 40°

4sin 40° cos 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40° cos 40° sin 80° +sin?60° +20° ?-sin?60° -20° ? cos 40°

= = =

sin 80° +2cos 60° sin 20° sin 80° +sin 20° = cos 40° cos 40° sin?50° +30° ?+sin?50° -30° ? cos 40° 2sin 50° cos 30° cos 40° = 3· = 3. cos 40° cos 40°

θ π θ (2)由 θ∈(0,π),得 0<2<2,∴cos 2>0. 因此 2+2cos θ= θ θ 4cos22=2cos 2.

θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2) θ θ θ θ θ =(2sin 2cos 2+2cos22)(sin 2-cos 2) θ θ θ θ =2cos 2(sin22-cos22)=-2cos 2cos θ. θ -2cos 2cos θ 故原式= =-cos θ. θ 2cos 2 规律方法 1 1.注意到第(2)题中有开方运算,联想二倍角公式的 特征进行升幂,化为完全平方式. 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的 拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用 的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向. 变式训练 1 ________. cos 10° (2014· 广州佛山质检)化简(tan 10° - 3)· = sin 50°

cos 10° 【解析】 (tan 10° - 3)· sin 50°
? sin 10° ? cos 10° - 3?· =?cos 10° ? ? sin 50° ?1 ? 3 ? 2? sin 10° - cos 10° 2 ?2 ? cos 10° = · cos 10° sin 50°

2cos 40°cos 10° =- cos 10°· =-2. sin 50° 【答案】 -2 考向 2 三角函数的求值问题 π? ? 【例 2】 (2013· 广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x-12?,x∈R.
? ? ? π? (1)求 f?-6?的值; ? ?

π? ?3π ? ? 3 (2)若 cos θ=5,θ∈? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?.
? ? ? ?

【思路点拨】

π (1)把 x=-6代入函数解析式,借助特殊角的三
? ?

? π? 角函数值和诱导公式求 f?-6?.(2)由 cos θ 求出 sin θ,利用两角和的余

π? ? 弦公式和二倍角公式求 f?2θ+3?.
? ?

【尝试解答】

π? ? (1)因为 f(x)= 2cos?x-12?,
? ? ? ?

? π? ? π π? 所以 f?-6?= 2cos?-6-12? ? ? ? π? π 2 = 2cos?-4?= 2cos 4= 2× 2 =1. ? ? ?3π ? 3 (2)因为 θ∈? 2 ,2π?,cos θ=5, ? ?

所以 sin θ=- 1-cos2θ=-

?3? 4 1-?5?2=-5, ? ?

?3? 7 cos 2θ=2cos2θ-1=2×?5?2-1=-25, ? ?

3 ? 4? 24 sin 2θ=2sin θcos θ=2×5×?-5?=-25.
? ?

π? π π? ? ? 所以 f?2θ+3?= 2cos?2θ+3-12?
? ? ? ? ? 2 ? π? ? 2 = 2cos?2θ+4?= 2×? cos 2θ- sin 2θ? 2 ? ? ? 2 ?

7 ? 24? 17 =cos 2θ-sin 2θ=-25-?-25?=25.
? ?

规律方法 2 给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表 示.(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差 的形式.(2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和 或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角. 变式训练 2 π? ? =tan?3x+4?.
? ? ?π? (1)求 f?9?的值; ? ?

(2013· 广东高考研究专家原创卷(十))已知函数 f(x)

3π? π? ? ?α π? ? (2)设 α∈?π, 2 ?,若 f?3+4?=2,求 cos?α-4?的值.
? ? ? ? ? ?

【解】

π π tan 3+tan 4 3+1 ?π? ?π π? (1)f?9?=tan?3+4?= = π π 1- 3=-2- 3. ? ? ? ? 1-tan 3tan 4
? ? ? ?

3π π? ?α π? ? (2)因为 f?3+4?=tan?α+ 4 +4?=tan(α+π) sin α =tan α=2,所以cos α=2,即 sin α=2cos α,①

因为 sin2α+cos2α=1,② 1 由①②解得 cos2α=5. 3π? ? 5 2 5 因为 α∈?π, 2 ?,所以 cos α=- 5 ,sin α=- 5 . ? ? π? ? π π 5 2 ? 2 5? ? 所以 cos?α-4?=cos αcos 4+sin αsin 4=- 5 × 2 +?- 5 ? ? ? ? 2 3 10 × 2 =- 10 . 考向 3 三角函数的给值求角 π α 1 2 【例 3】 已知 0<α<2<β<π,tan 2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值;(2)求 β 的值. 【思路点拨】 (1)由二倍角公式求 tan α,由同角关系求 sin α;

(2)由 β=α+(β-α),求 cos β,进而求 β 的值. 【尝试解答】 α 1 (1)由 tan 2=2,

α 2tan 2 4 得 tan α= = 3, 2α 1-tan 2 3 ∴cos α=4sin α,① 又 sin2α+cos2α=1,② π 4 由①、②联立,得 25sin2α=16,∵0<α<2,∴sin α=5. 3 4 (2)由(1)知,cos α=5,sin α=5, π 又 0<α<2<β<π,∴0<β-α<π.

2 π 由 cos(β-α)= 10 ,得 0<β-α<2. 98 7 2 ∴sin(β-α)= 10 = 10 , ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)· sin α 7 2 3 2 4 25 2 2 = 10 ×5+ 10 ×5= 50 = 2 . π 3 由2<β<π 得 β=4π. 规律方法 3 “给值求角”的求解思路: (1)求角的某一三角函

数值,(2)讨论角的范围 (第(2)问易忽视角的范围致误 ),确定角的大 小.其中求角的某一三角函数值时,应选择在该范围内是单调函
? π π? 数,若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选 ? ?

正弦较好. 1 13 π 变式训练 3 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,试 求角 β 的值. 【解】 1 π 由 cos α=7,0<α<2,
?1? 4 3 1-?7?2= 7 . ? ?

得 sin α= 1-cos2α=

π π 由 0<β<α<2,得 0<α-β<2. 13 又∵cos(α-β)=14, 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 , 由 β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π 又 0<β<2,所以 β=3. 考向 4 三角变换的简单应用 π? π? ? ? 【例 4】 (2013· 湖南高考)已知函数 f(x)=sin?x-6?+cos?x-3?,
? ? ? ?

x g(x)=2sin22. 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 5 , 求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将 f(x)、g(x)化简,沟 通二者联系;(2)由 f(x)≥g(x),化为“一角一名称”的三角不等式, 借助三角函数的图象、性质求解. 【尝试解答】 π? π? ? ? f(x)=sin?x-6?+cos?x-3?
? ? ? ?

3 1 1 3 = 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x = 3sin x, x g(x)=2sin22=1-cos x 3 3 3 (1)由 f(α)= 5 得 sin α=5. 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1-5=5. (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, π? 1 ? 即 3sin x+cos x≥1,于是 sin?x+6?≥2,
? ?

π π 5π 从而 2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 2π 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈ Z}. 规律方法 4 1.将 f(x)化简为 3sin x,将 g(x)化简为 1-cos x,从 而沟通了 g(α)与 f(α)之间的关系. 2.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤 其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 3.把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一 步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. 变式训练 4
? ? ?

(2013· 广 东 名 校 联 考 优 化 卷 ) 已 知 函 数 f(x) =
?

7π? 3π? ? ? sin?2x+ 4 ?+cos?2x- 4 ?(x∈R). (1)求 f(x)的单调递增区间和对称轴方程; 4 4 (2) 在 △ ABC 中 , 已 知 cos(B - A) = 5 , cos(B + A) = - 5 π (0<A<B≤2),求 f(A). 【解】 7π? 3π? ? ? (1)f(x)=sin?2x+ 4 ?+cos?2x- 4 ?
? ? ? ?

7π 7π 3π 3π =sin 2xcos 4 +cos 2xsin 4 +cos 2xcos 4 +sin 2xsin 4 7π 3π? 7π 3π? ? ? =?cos 4 +sin 4 ?· sin 2x+?sin 4 +cos 4 ?cos 2x ? ? ? ? π? ? = 2sin 2x- 2cos 2x=2sin?2x-4?.
? ?

π π 要使 f(x)在定义域上单调递增,则需满足 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+ π π 3π , 解 得 k π - ≤ x ≤ k π + 2 8 8 , 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 π 3π? ? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ? π π kπ 3π 由 2x-4=kπ+2,可得 f(x)的对称轴为 x= 2 + 8 (k∈Z),所以 kπ 3π 函数 f(x)的对称轴方程是 x= 2 + 8 (k∈Z). 4 ? cos ? B - A ? = cos A cos B + sin A sin B = ? 5 (2)由? 4 ? ? cos ? B + A ? = cos A cos B - sin A sin B =- ? 5, π π 得 cos Acos B=0,由于 0<A<B≤2,故只能 B=2. 4 3 此时 sin A=5,cos A=5, 24 则 sin 2A=2sin Acos A=25, 7 cos 2A=cos2A-sin2A=-25, 31 2 所以 f(A)= 2sin 2A- 2cos 2A= 25 .

一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范 围是防止增解的有效措施. 两个技巧 1.拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=

α+β α-β α-β ? β? ?α ? ?α+ ?-? +β?. - , = 2? ?2 2 2 2 ? ? 2.化简技巧:切化弦,“1”的代换等. 三种变化 1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系. 2.变名:尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升 幂与降幂”等. 3.变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.

从近两年高考看,运用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变 形,进而研究三角函数的性质问题,是各省常考常新的题型,并多 以解答题的形式呈现,常与三角函数的图象、解三角形相交汇,具 有综合性,试题难度中等,分值 12 分左右,着重考查转化思想和计 算能力. 思想方法之十一 活用辅助角公式,研究三角函数性质 π (2013· 天津高考 )已知函数 f(x) =- 2sin2x + 4 + 6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值.
? ?

π? ? 【解析】 f(x)=- 2sin?2x+4?+6sin xcos x-2cos2x+1
? ?

π π =- 2sin 2xcos 4- 2cos 2x· sin 4+3sin 2x-cos 2x π? ? =2(sin 2x-cos 2x)=2 2sin?2x-4?.
? ?

2π (1)f(x)的最小正周期 T= 2 =π. 3π? ? (2)因为 f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,
? ? ?3π π? 在区间? 8 ,2?上是减函数, ? ? ?3 ? ?π? 又 f(0)=-2,f?8π?=2 2,f?2?=2. ? ? ? ?

π? ? 故函数 f(x)在区间?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2.
? ?

易错提示:(1)化简解析式时出错,导致错误答案. π (2)求最值时,误把 x 的范围当成 2x-4的范围,导致错误答案. 防范措施:(1)化简解析式,把函数式转化为 Asin(ωx+φ)的形式 是解答本题的关键,因此求解时应力求准确,必要时应进行检验, 看化简结果是否正确. (2)求函数 y=Asin(ωx+φ)的最值或值域时,可令 t=ωx+φ,然 后根据 x 的范围确定 t 的范围,最后可根据 y=sin t 的图象,确定函 数的最值或值域.

sin 47° -sin 17° cos 30° 1.(2012· 重庆高考) =( cos 17° 3 A.- 2 1 B.-2 1 C.2 3 D. 2

)

sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° 【解析】 原式= cos 17° = = sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° 1 = sin 30° = cos 17° 2.

【答案】 C π 2.(2012· 江西高考)已知 f(x)=sin2(x+4),若 a=f(lg 5),b=f(lg 1 5),则( ) B.a-b=0 D.a-b=1 π 由 题 意 知 f(x) = sin2(x + 4 ) = π 1-cos?2x+2? 2

A.a+b=0 C.a+b=1

【解析】 1+sin 2x , 2



1 1 令 g(x)=2sin 2x,则 g(x)为奇函数,且 f(x)=g(x)+2,a=f(lg 5) 1 1 1 1 =g(lg 5)+2,b=f(lg 5)=g(lg 5)+2, 1 ∴a+b=g(lg 5)+g(lg 5)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1.

【答案】 课后限时自测 一、选择题

C

π? ? 1.(2013· 广东珠海一模)已知 tan?α+4?=2,则 cos 2α=(
? ?

)

3 3 4 4 A.-5 B.5 C.-5 D.5 π tan α+tan 4 π? ? 【解析】 ∵tan?α+4?=2,即 π=2, ? ? 1-tan α· tan 4 1-tan2α 4 1 2 2 ∴tan α=3,∴cos 2α=cos α-sin α= = .故选 D. 1+tan2α 5 【答案】 D ) 3 ,

π 2.(2012· 湖南高考)函数 f(x)=sin x-cos(x+6)的值域为( A.[-2,2] 3] C.[-1,1] 3 2] π 【解析】 ∵f(x)=sin x-cos(x+6) π π =sin x-cos xcos 6+sin xsin 6 3 1 3 1 =sin x- 2 cos x+2sin x= 3( 2 sin x-2cos x) π = 3sin(x-6)(x∈R), B.[ -

3 D.[ - 2 ,

∴f(x)的值域为[- 3, 3]. 【答案】 B
?π ? 3 3 . (2013· 广东命题研究专家原创卷 (6)) 已知 sin ?2+θ? = 5 ,则 ? ?

cos(π-2θ)=( 12 A.25 7 7 C.-25 D.25

) B. - 12 25

π? ? 3 【解析】 依题意得 sin?θ+2?=cos θ=5,cos(π-2θ)=-cos 2θ
? ? ?3? 7 =1-2cos2θ=1-2×?5?2=25,选 D. ? ?

【答案】

D

? 3π π? ?π ? 3 4.已知 x∈?- 4 ,4?,且 cos?4-x?=-5,则 cos 2x 的值是 ? ? ? ?

(

) 7 A.-25 24 24 B.-25 C.25

7 D.25
? 3π π? 【解析】 ∵x∈?- 4 ,4?, ? ? ?π ? 2 ∴sin?4-x?= 2 (cos x-sin x)>0, ? ? ?π ? 3 又 cos?4-x?=-5, ? ? ?π ? 4 ∴sin?4-x?=5. ? ? ?π ? ?π ? ?π ? 24 ∴cos 2x=sin?2-2x?=2sin?4-x?cos?4-x?=-25. ? ? ? ? ? ?

【答案】 B 5.(2014· 广州模拟)若 cos 2α 2 =- π? 2 ,则 cos α+sin α 的值为 ? sin?α-4? ? ?

(

) 7 A.- 2 1 B. - 2 1 C. 2

7 D. 2 cos2α-sin2α cos 2α 【解析】 ∵ π?= 2 ? sin?α-4? (sin α-cos α) ? ? 2 2 =- 2(sin α+cos α)=- 2 , 1 ∴sin α+cos α=2. 【答案】 C 二、填空题 6 . (2013· 广东华师附中 ) 函数 y = (tan x - 1)cos2x 的最大值是 ________. 1 1 2 【解析】 原式=sin xcos x-cos2x=2(sin 2x-cos 2x)-2= 2 2-1 π? 1 ? π 3 sin?2x-4?-2,x≠kπ+2.当 x=kπ+8π(k∈Z)时,ymax= 2 . ? ? 【答案】 2-1 2
? ? ? ?

π? 7π? ? ? 4 3 7.已知 cos?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?=________. π? ? π π 【解析】 cos?α-6?+sin α=cos αcos 6+sin αsin 6+sin α ? ?

π? 4 3 ? 3 3 = 2 cos α+2sin α= 3sin?α+6?= 5 . ? ? π? 4 ? ∴sin?α+6?=5,
? ? ?

7 ? π? π? ? ? ? 4 ∴sin?α+6π?=sin?π+α+6?=-sin?α+6?=-5.
? ? ? ? ?

4 【答案】 -5 π? ? 8.(2014· 青岛模拟 )已知 α∈?0,2? ,且 2sin2α-sin α· cos α-
? ?

3cos2α=0,则 =________. sin 2α+cos 2α+1 π? ? 【解析】 由 2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0,且 α∈?0,2?,
? ?

π? ? sin?α+4?
? ?

∴(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0,则 2sin α=3cos α. 又 sin2α+cos2α=1,从而 cos α= π? ? sin?α+4? 2 , 13

2 2 ?sin α+cos α? ? ? 故 = sin 2α+cos 2α+1 2cos αsin α+2cos2α 2 1 26 =4· = cos α 8 . 【答案】 三、解答题
?π ? 9.(2013· 广州调研)已知函数 f(x)=sin?2-x?+sin x. ? ?

26 8

(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; π? π? ? ? 2 (2)若 f?α-4?= 3 ,求 f?2α+4?的值. ? ? ? ?

【解】 = 2?

?π ? (1)f(x)=sin?2-x?+sin x=cos x+sin x ? ?

? 2 ? 2 ? sin x + cos x 2 ? 2 ? ? ?

π? ? = 2sin?x+4?. π π π 由-2+2kπ≤x+4≤2+2kπ,k∈Z, 3π π 解得- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z. π ? 3π ? ∴y=f(x)的单调递增区间是?- 4 +2kπ,4+2kπ?,k∈Z.
? ?

π? ? (2)由(1)可知 f(x)= 2sin?x+4?,
? ?

π? ? 2 1 ∴f?α-4?= 2sin α= 3 ,得 sin α=3. ? ? π? π? ? ? ∴f?2α+4?= 2sin?2α+2?
? ? ? ?

7 2 = 2cos 2α= 2(1-2sin2α)= 9 . π? ? 1- 2sin?2x-4? ? ? 10.(2014· 郑州质检)已知函数 f(x)= . cos x (1)求函数 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是第四象限的角,且 tan α=-3,求 f(α)的值. 【解】 (1)f(x)有意义,则 cos x≠0,
? ? ?

? ? ? π ∴f(x)的定义域是?x?x≠kπ+2,k∈Z ?.

1- 2? (2)f(x)=

? 2 ? 2 ? sin 2 x - cos 2 x 2 ? 2 ?

cos x



1+cos 2x-sin 2x cos x

2cos2x-2sin xcos x = =2(cos x-sin x). cos x 4 4 由 tan α=-3,得 sin α=-3cos α. 又 sin2α+cos2α=1,且 α 是第四象限角, 9 3 4 ∴cos2α=25,则 cos α=5,sin α=-5.
?3 4? 14 故 f(α)=2(cos α-sin α)=2?5+5?= 5 . ? ?

11.(2013· 珠海联考)已知函数 f(x)=cos2x-sin2x+sin 2x. (1)求 f(x)的最大值和最小正周期; π? ?α π? ? 5 ?β ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?2+8?= 2 ,f?2+π?= 2,求 sin(α+β)的 ? ? ? ? ? ? 值. 【解】 = 2? (1)∵f(x)=cos 2x+sin 2x

? 2 ? 2 ? cos 2 x + sin 2 x 2 ? 2 ? ? ?

π? ? = 2sin?2x+4?, ∵x∈R, ∴f(x)的最大值为 2, 2π 最小正周期 T= 2 =π.
? ?α π? π? ?α π? (2)∵f?2+8?= 2sin?2?2+8?+4? ? ? ? ? ? ?

π? ? = 2sin?α+2?
? ?

5 = 2cos α= 2 , 10 ∴cos α= 4 , π? ? 6 又∵α∈?0,2?,∴sin α= 4 , ? ?
? ?β ? π? ?β ? ∵f?2+π?= 2sin?2?2+π?+4? ? ? ? ? ? ? ?

π ? ? = 2sin?β+4+2π?
? ?

π? ? = 2sin?β+4?= 2.
?

π? ? π ?π 3π? 又∵β∈?0,2?,∴β+4∈?4, 4 ?,
? ? ? ?

π π π ∴β+4=2?β=4, 3+ 5 π? ? π π sin(α+β)=sin?α+4?=sin α· cos 4+cos α· sin 4= 4 .第六节 ? ? 正弦定理和余弦定理 考纲传真 角形度量问题. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三

1.正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R. (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a =b +c2-2bc· cos A 2 2 2 b =c +a -2ca· cos B 2 2 2 c =a +b -2ab· cos C
2 2

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C; 变形形式 (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R

b2+c2-a2 cos A= 2bc c2+a2-b2 cos B= 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab

解决问题

(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (1)已知三边,求各角; (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边 两角 和其他两个角 2.三角形常用面积公式 1 (1)S=2a· ha(ha 表示边 a 上的高); 1 1 1 (2)S=2absin C=2acsin B=2bcsin A. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)在△ABC 中,∠A>∠B 必有 sin A>sin B.( )

(2)在△ABC 中的六个量中,若已知三个量,则可求另外三个量 ( ) (3)△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形( )

(4)在△ABC 中,若 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则∠B=45° 或 ∠B=135° ( )

【解析】 (1)中,sin A>sin B?a>b?∠A>∠B,(1)正确. 在(2)中,已知三个量中至少有一个边,才可求另外三个量, (2) 错.

在(3)中,A 为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形.(3)不正确. 在(4)中,a>b?∠B<∠A,则∠B=45° ,(4)不正确. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(人教 A 版教材习题改编)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的 对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b=( A.2 B.4+2 3 C.4-2 3 D. 6- 2 )

【解析】 在△ABC 中,易知∠B=30° , 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos 30° =4.∴b=2. 【答案】 A

3 3.(2013· 梅州调研)已知△ABC 的面积为 2 ,AC=2,∠BAC= 60° ,则∠ACB=( A.30° ) C.90° D.150°

B.60°

1 3 【解析】 由 S△ABC=2AB· ACsin∠BAC=ABsin 60° =2 得 AB=1, ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC=3,∴BC= 3. BC AB 由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ACB ∴sin∠ACB= AB· sin∠BAC sin 60° 1 = =2, BC 3

又 AB<BC,∴∠ACB<60° , ∴∠ACB=30° . 【答案】 A

4.(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 )

B. 锐 角 三 角

形 C.钝角三角形 D.不确定

【解析】 由正弦定理,及 bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 即 sin(B+C)=sin2A, π ∴sin A=1,得 A=2(由于 0<A<π), 故△ABC 是直角三角形. 【答案】 A

5.(2013· 福建高考) 如图 3-6-1,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC, 2 2 sin∠BAC= 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________.

图 3-6-1 2 2 【解析】 ∵sin∠BAC=sin(90° +∠BAD)=cos∠BAD= 3 , ∴在△ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD, 2 2 ∴BD2=18+9-2×3 2×3× 3 =3, ∴BD= 3. 【答案】 3

考向 1 利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (2013· 山东高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 7 分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 【思路点拨】 (1)由余弦定理,得关于 a,c 的方程,与 a+c= 6 联立求解;(2)依据正弦定理求 sin A,进而求 cos A,sin B,利用两 角差的正弦公式求值. 【尝试解答】 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B=9, 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 4 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 9 , 由正弦定理得 sin A= asin B 2 2 b = 3 .

因为 a=c,所以 A 为锐角. 1 所以 cos A= 1-sin2A=3. 10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 . 规律方法 1 1.正弦定理是一个连比等式,只要知道其比值或等 量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边 角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两 解,注意“大边对大角”在判定中的应用.

变式训练 1 (2013· 深圳调研)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c,已知 a=3,b=5,c=7. (1)求角 C 的大小; π? ? (2)求 sin?B+3?的值.
? ?

【解】

(1)由余弦定理可得,

a2+b2-c2 32+52-72 1 cos C= 2ab = =-2, 2×3×5 2π ∵0<C<π,∴C= 3 . b c (2)由正弦定理可得sin B=sin C, 2π 5sin 3 bsin C 5 3 ∴sin B= c = 7 = 14 , 2π ∵C= 3 ,∴B 为锐角, ∴cos B= 1-sin2B=
?5 3?2 11 ?= , 1-? 14 ? 14 ?

π? ? π π ∴sin?B+3?=sin Bcos 3+cos Bsin 3 ? ? 5 3 1 11 3 4 3 = 14 ×2+14× 2 = 7 .

考向 2 判定三角形的形状 【例 2】 (2014· 肇庆质检)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所 A 对的边分别为 a,b,c,向量 m=(4,-1),n=(cos2 2 ,cos 2A),且 7 m· n=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状. 【思路点拨】 (1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关

于 cos A 的方程求解;(2)利用余弦定理建立关于 b、c 的方程,结合 b +c=2 3求解. 【尝试解答】 A (1)∵m=(4,-1),n=(cos2 2 ,cos 2A),

1+cos A A ∴m· n=4cos2 2 -cos 2A=4· 2 -(2cos2A-1)=-2cos2A+ 2cos A+3. 7 7 又∵m· n=2,∴-2cos2A+2cos A+3=2, 1 π 解得 cos A=2.∵0<A<π,∴A=3. (2)在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,且 a= 3, 1 2 2 ∴( 3)2=b2+c2-2bc· = b + c -bc.① 2 又∵b+c=2 3,∴b=2 3-c, 代入①式整理得 c2-2 3c+3=0,解得 c= 3,∴b= 3, 于是 a=b=c= 3,即△ABC 为等边三角形. 规律方法 2 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角 变换找出角之间的关系.(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的

关系. 2.无论使用哪种方法,不要随意约掉公因式;要移项提取公因 式,否则会有漏掉一种形状的可能. 变式训练 2 (2013· 广东高考研究专家原创卷(8))在△ABC 中,

a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c +b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 【解】 (1)由已知,根据正弦定理得

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴bc=-2bc cos A,cos A=-2. 2 又 0<A<π,∴A=3π. (2)由(1)知 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, ∴sin2A=(sin B+sin C)2-sin Bsin C. 3 又 sin B+sin C=1,且 sin A= 2 , 1 1 ∴sin Bsin C=4,因此 sin B=sin C=2. π 又 B、C∈(0,2),故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 考向 3 与三角形面积有关的问题 【例 3】 (2013· 湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 【思路点拨】 (1)利用二倍角公式和诱导公式化简已知条件,

求得 cos A 的值,进而得角 A 的大小;(2)由面积求出 c,再利用余弦 定理求出 a,最后利用正弦定理求出 sin Bsin C 的值. 【尝试解答】 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得

2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 1 解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去). π 因为 0<A<π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a = 21. b c bc 2 20 3 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· sin A = sin A = 2· a a 21×4= 5 7. 规律方法 3 1.第(2)题求解的关键是将 sin Bsin C 转化为已知角 A 与边的关系,从而运用面积公式与余弦定理求值. 1 2.(1)面积公式 S=2absin C 涉及边、角,容易和正、余弦定理 联系起来.(2)选择余弦定理和面积公式时,一般应选择角确定的一 组. 变式训练 3 (2014· 揭阳高三学业水平考试)在△ABC 中,角 A、 B、C 所对应的边分别为 a,b,c.

?π ? (1)若 cos?3-A?=2cos A,求 A 的值; ? ?

1 (2)若 cos A=3,且△ABC 的面积 S= 2c2,求 sin C 的值. 【解】 π? ? (1)由 cos?A-3?=2cos A,
? ?

π π 得 cos A cos 3+sin A sin 3=2 cos A, 1 3 ∴2cos A+ 2 sin A=2cos A, 3 sin A=3 cos A, π ∴tan A= 3.∵0<A<π,∴A=3. 1 π (2)∵cos A=3,∴0<A<2 2 2 ∴sin A= 1-cos2 A= 3 , 1 2 由 S= 2c2=2bc sin A= 3 bc 得 b=3c, 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2c2=8c2,∴a =2 2c a c 2 2c c 由正弦定理得:sin A=sin C,即 sin A =sin C ∴sin C= sin A 1 = . 2 2 3

一条规律 在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两种途径

判定三角形的形状,主要有两种途径 1.化边为角; 2.化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 两点注意 1.已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它边或角.可能 有一解、两解、无解; 2.在判定三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,以免 漏解.

从近两年的高考试题看,正弦定理、余弦定理是高考的热点, 常与三角函数,三角恒等变换等交汇命题,题型多样,属中、低档 题目. 规范解答之五 正、余弦定理在解三角形中的应用 (12 分)(2013· 天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所 2 对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B,a=3,cos B=3. (1)求 b 的值; π? ? (2)求 sin?2B-3?的值.
? ?

【规范解答】

a b (1)由sin A=sin B,可得 bsin A=asin B.

又由 bsin A=3csin B,可得 a=3c. 由于 a=3,则 c=1.3 分

2 依据余弦定理,且 cos B=3, 2 ∴b2=a2+c2-2ac· cos B=32+12-6×3=6. 于是 b= 66 分 2 5 (2)由 cos B=3,0<B<π,得 sin B= 3 , 1 cos 2B=2cos2B-1=-9, 4 5 sin 2B=2sin BcosB= 9 ,9 分 π? ? π π 所以 sin?2B-3?=sin 2Bcos 3-cos 2Bsin3 ? ? = 4 5+ 3 18 .12 分

【解题程序】 第一步:由条件和正弦定理,求 c. 第二步:利用余弦定理,求边 b. 第三步:根据倍角公式、同角关系式求 cos 2B,sin 2B. π? ? 第四步:运用两角差的正弦公式计算 sin?2B-3?.
? ?

易错提示:(1)应用正、余弦定理,不会选择公式,导致第 (1)问 求解复杂化,错求 b 值. (2)错记倍角公式,弄混两角差正弦公式的符号. 防范措施:(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及 二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础,平 时应加强训练,增强逆用公式的意识.

(2)应用余弦定理时,一般选择角度已知的那一组公式.

1.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 B.9 C.8 D.5 )

【解析】 由 23cos2A+cos 2A=0 得 23cos2A+2cos2A-1=0, 1 解得 cos A=± 5. 1 ∵A 是锐角,∴cos A=5. 又 a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴49=b2+ 36-2×b×6×5, 13 ∴b=5 或 b=- 5 (舍去),∴b=5. 【答案】 D

2.(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 【解析】 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+c=2a, 5 7 所以 a=3b,c=3b, a +b -c 2ab =
2 2 2

所以 cos C = 2π π),所以 C= 3 .

?5 ?2 ?7 ? ? b? +b2-? b?2 ?3 ? ?3 ?

5 2×3b×b

1 =- 2 . 因为 C ∈ (0 ,

【答案】 课后限时自测 一、选择题

2π 3

1.(2013· 惠州调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=2bcos C,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 形 C.等腰三角形 角三角形 【解析】 在△ABC 中,若 a=2bcos C,则 sin A=2sin Bcos C, 即 sin(B+C)=2sin Bcos C.所以 sin(B-C)=0,所以 B=C.故选 C. 【答案】 C 2.(2013· 课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 π π a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4,则△ABC 的面积为( A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1 π π π π 7π 【解析】 ∵B=6,C=4,∴A=π-B-C=π-6-4=12. b c 2 c 由正弦定理sin B=sin C,得 = π π, sin 6 sin 4 2 c 即1= ,∴c=2 2. 2 2 2 1 1 7π ∴S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2sin 12= 3+1. ) D. 等 腰 或 直 ) B. 直 角 三 角

故选 B. 【答案】 B 3.(2013· 山东高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 ) B.2 D.1 【解析】 3, 1 3 ∴sin A=2sin Acos A. ∵A 为三角形的内角,∴sin A≠0. 3 ∴cos A= 2 . π π 又 0<A<π,∴A=6,∴B=2A=3. π ∴C=π-A-B=2,∴△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 c= 12+? 3?2=2. 【答案】 B 4.(2013· 辽宁高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 1 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A=2b,且 a>b,则∠B=( π π 2π 5π A.6 B.3 C. 3 D. 6 1 【解析】 由正弦定理可得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=2 1 sin B,又因为 sin B≠0,所以 sin Acos C+sin Ccos A=2,所以 ) a b 由正弦定理得:sin A=sin B,∵B=2A,a=1,b= C. 2

1 π sin(A+C)=sin B=2.因为 a>b,所以∠B=6. 【答案】 A

5 . (2014· 广东中山模拟 ) 若△ ABC 的三个内角满足 sin A ∶ sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 a b c 【解析】 由正弦定理sin A=sin B=sin C=2R(R 为△ABC 外接 圆半径), ∴可设 a=5x,b=11x,c=13x(x>0). ?5x?2+?11x?2-?13x?2 -23x2 则 cos C= = 110x2 <0, 2· 5x· 11x ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.(2013· 江门一模)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,满足 (a + b)2 - c2 = 6 且 C = 60° ,则△ ABC 的面积 S = ________. 【解析】 已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、 c,满足(a+b)2-c2=6 且 C=60° .由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos 1 1 3 C=a2+b2-ab,化简可知 ab=2,则 S△ABC=2absin C=2×2× 2 = 3 3 ,故答案为 2 2. )

【答案】

3 2

7.(2014· 连云港调研 )已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比 数列,则其最大角的余弦值为________. 【解析】 设△ABC 的三边 a,b,c 成公比为 2的等比数列, ∴b= 2a,c=2a. a2+b2-c2 a2+2a2-4a2 2 则 cos C= 2ab = =- 4 . 2 2 2a 2 【答案】 - 4 8.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 a2-c2= b,且 b=3ccos A,则 b=________. b2+c2-a2 【解析】 由余弦定理知 b=3ccos A=3c× 2bc , ∴b2=3(a2-c2), 又 a2-c2=b,∴b2=3b,∴b=3. 【答案】 3 三、解答题 9.(2013· 北京高考)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A, (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 【解】 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,

3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得sin A=sin 2A. 2sin Acos A 2 6 6 所以 sin A = 3 .故 cos A= 3 . 6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 .

1 又因为∠B=2∠A,所以 cos B=2cos2A-1=3. 2 2 所以 sin B= 1-cos2B= 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . a c a· sin C 又sin A=sin C,所以 c= sin A =5. 10.(2014· 梅州三校联考)△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等 差数列. (1)若 sin2B=sin Asin C,试判断△ABC 的形状; C A (2)若△ABC 为钝角三角形,且 a>c,试求代数式 sin2 2 + 3sin 2 A 1 cos 2 -2的取值范围. 【解】 (1)∵sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.

π ∵A,B,C 依次成等差数列,∴2B=A+C=π-B,B=3. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, a2+c2-ac=ac,∴a=c. ∴△ABC 为正三角形. C A A 1 1-cos C 3 1 (2)sin2 2 + 3sin 2 cos 2 -2= + sin A - 2 2 2
? 3 1 ?2π = 2 sin A-2cos? 3 -A? ? ?

3 1 3 3 1 = 2 sin A+4cos A- 4 sin A= 4 sin A+4cos A π? 1 ? =2sin?A+6?
? ?

π 2π 2π π 5π ∵2<A< 3 ,∴ 3 <A+6< 6 , π? 3 1 1 ? π? 3 ? 1 ∴2<sin?A+6?< 2 ,4<2sin?A+6?< 4 . ? ? ? ?
?1 C A A 1 3? ∴代数式 sin2 2 + 3sin 2 cos 2 -2的取值范围是? , ?. 4? ?4

11.(2013· 肇庆二模)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长 分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C=3且△ABC 的面积等于 3,求 cos(A+B)和 a,b 的值; 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A=5,sin B=13,求 sin C 的值. 【解】 π (1)∵A+B+C=π,C=3,∴A+B=π-C,

π 1 ∴cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=-cos 3=-2. 由余弦定理及已知条件得 a2+b2-ab=4, 又因为△ABC 的面积等于 3, 1 ∴2absin C= 3,得 ab=4.
2 2 ? ?a +b -ab=4, 联立得方程组? ?ab=4, ?

解得 a=2,b=2. 3 12 (2)∵B 是钝角,且 cos A=5,sin B=13, ∴sin A= 1-cos2A= cos B=- 1-sin2B=-
?3? 4 1-?5?2=5. ? ? ?12? 5 1-?13?2=-13, ? ?

∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 4 ? 5 ? 3 12 16 = ×?-13?+ × = . 5 ? ? 5 13 65 第七节 考纲传真 正弦定理、余弦定理的应用举例

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一

些与测量和几何计算有关的实际问题.

1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角(如图①).

图 3-7-1 2.方位角和方向角 (1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° 等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比.

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角,因此二者没有区 别( ) (2)若点 P 在 Q 的北偏东 44° ,则 Q 在 P 的东偏北 46° ( )

(3)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置 关系( )

3 (4)如果在测量中,某渠道斜坡坡比为4,设 α 为坡角,那么 cos 3 α=4( ) 根据相关角的概念,知 (1) 、 (2) 不正确, (3) 对, (4)

【解析】 错.

【答案】 (1)×

(2)× (3)√

(4)×

2.(人教 A 版教材习题改编)如图 3-7-2 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏 东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离 为( )

图 3-7-2 A.a km C. 2a km B. 3a km D.2a km

【解析】 在△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=120° , ∴AB2=a2+a2-2a2cos 120° =3a2,AB= 3a. 【答案】 B 3.(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A、C 两点之间的距离为________ 千米. 【解析】 在△ABC 中,∠CAB=75° ,∠CBA=60° , ∴∠ACB=180° -75° -60° =45° , AC AB 又 AB=2,由正弦定理,得sin 60° =sin 45° ,故 AC= 6. 【答案】 6

4.在地上画一个∠BDA=60° ,某人从角的顶点 D 出发,沿角 的一边 DA 行走 10 米后,拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点,我们将该点记为点 B,则 B 与 D 之间的距离 为________米. 【解析】 如图所示,设 BD=x m, 则 142=102+x2-2×10×x×cos 60° , ∴x2-10x-96=0,∴x=16. 【答案】 16 5 .一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75° 、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/时. 【解析】 如图.由题意知∠MPN=75° +45° =120° ,∠

PNM=45° . 在△PMN 中,由正弦定理,得 MN PM = ,∴MN=34 6. sin 120° sin 45° 又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4 小时, 34 6 17 ∴船的航行速度 v= 4 = 2 6(海里/时). 【答案】 17 6 2

考向 1 测量距离问题 【例 1】 (2014· 佛山调研)如图 3-7-3 所示,A,B 是海面

上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏 东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点 南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

图 3-7-3 【思路点拨】 → 求时间t 在△BAD中,由正弦 △BCD中,用余 → 定理,求DB 弦定理求CD

【尝试解答】 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , 在△DAB 中,由正弦定理, 得 DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin 45° = sin 105° sin∠ADB

∴DB=

5?3+ 3?· sin 45° = sin 45° cos 60° +cos 45° sin 60° = 5 3? 3+1? 3 +1 2

=10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60° ,BC=20 3(海里). 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1200-2×10 3×20 3×2=900. ∴CD=30(海里). 30 则需要的时间 t=30=1(小时). 规律方法 1 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步: (1)根据题意,画出示意图,并标出条件. (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构 建三角形),通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解. (3)检验解出的结果是否符合实际意义,得出正确答案. 变式训练 1 (2014· 东北三校联考)一船向正北方向航行,看见它

的正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上.船继 续航行半小时后,看见这两个灯塔中,一灯塔在船的南偏西 60° 方向 上,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向上,则这艘船的速度是每小时 ( ) A.5 2海里 C.10 2海里 【解析】 B.5 海里 D.10 海里

如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,

所以∠ CAD=∠ CDA = 15° ,从而 CD = CA = 10. 在 Rt △ ABC 5 中,求得 AB=5,所以这艘船的速度是0.5=10(海里/小时). 【答案】 D

考向 2 测量高度问题 【例 2】 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上, 在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠ 2 BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚17秒.在 A 地测得 该仪器至最高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度(声音 的传播速度为 340 米/秒).

图 3-7-4 【思路点拨】 用|AC|表示|BC|,在△ABC 中,根据余弦定理列 方程求|AC|,在△ACH 中,求|CH|. 【尝试解答】 由题意,设|AC|=x,

2 则|BC|=x-17×340=x-40, 在△ABC 中,由余弦定理得: |BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|· |CA|· cos∠BAC, ∴(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30° ,∠ACH=90° , 所以|CH|=|AC|· tan∠CAH=140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 规律方法 2 1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念, 仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角. 2.分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三角形内运 用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,并注意综合运用方程、 平面几何、立体几何等知识. 变式训练 2 如图 3-7-5 所示,在地面上有一旗杆 OP,为测 得它的高度 h,在地面上取一基线 AB,AB=20 m,在点 A 处测得点 P 的仰角∠OAP=30° ,在点 B 处测得点 P 的仰角为∠OBP=45° ,又 测得∠AOB=60° ,求旗杆的高度 h.(精确到 0.1 m)

图 3-7-5 【解】 在 Rt△POA 中,∠OAP=30° ,PO=h.

h ∴tan 30° =OA,则 OA= 3h.

在 Rt△POB,OB=OP=h. 在△AOB 中,AB=20,∠AOB=60° , 由余弦定理,AB2=OB2+OA2-2· OA· OBcos 60° , 1 ∴400=3h2+h2-2 3h2×2=h2(4- 3). 400 400 ∴h2= = 13 (4+ 3),则 h≈13.3 m. 4- 3 因此旗杆的高度约为 13.3 m. 考向 3 测量角度问题 【例 3】 在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向、距离 A 处( 3-1) 海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向、距离 A 处 2 海里 的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船.同时,走 私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私 船什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间? 【思路点拨】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船,确定出三 角形,先利用余弦定理求出 BC,再利用正弦定理求出时间. 【尝试解答】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° . 利用余弦定理可得 BC= 6. AC 2 3 由正弦定理,得 sin∠ ABC=BCsin∠ BAC= × 2 = 6 2 2, ∴∠ABC=45° ,因此 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得

sin∠BCD=

BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

得∠BCD=30° , CD BC 10 3t 6 又sin 120° =sin 30° ,即 = 6,得 t= 10 . 3 所以当缉私船沿东偏北 30° 的方向能最快追上走私船,最少要花 6 10 小时. 规律方法 3 1.本题求解的关键是理解方位角、方向角的概念, 分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最 重要的一步. 2.注意分析求解目标所在的三角形,在整体中寻找这个三角形 可解的条件,然后制订计划具体求解各个三角形,并重视正、余弦 定理的联袂使用. 变式训练 3 如图 3-7-6 所示,位于 A 处的信息中心获悉:在 其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营 救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处 的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值.

图 3-7-6 【解】 如题图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC

=120° , 由余弦定理,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800, ∴BC=20 7,由正弦定理得, AB BC = , sin∠ACB sin∠BAC AB 21 ∴sin∠ACB=BCsin∠BAC= 7 . 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= 7 . 由 θ=∠ACB+30° ,得 cos θ=cos(∠ACB+30° ) 21 =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 14 . 21 故 cos θ 的值为 14 .

一个程序 解三角形应用题的一般步骤 (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2) 建模: 根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形,求得数学 模型的解; (4)检验:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出 实际问题的解. 两种情形

解三角形应用题的两种情形 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三 角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. 2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个 以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然 后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出 方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 两点注意 1.画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、 直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程. 2 .解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据 (原始数据),少用间接求出的量.

从近两年高考试题看,高考对正、余弦定理的实际应用考察较 少,但此部分内容能较好地考察学生的阅读理解能力,分析问题和 解决问题的能力及函数与方程的思想,因此应积极备考. 思想方法之十二 构建三角形模型解决实际应用问题 (2013· 江苏高考)如图 3-7-7,游客从某旅游景区的 景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、 乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲 出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀 速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长

12 3 为 1 260 m,经测量,cos A=13,cos C=5.

图 3-7-7 (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行 的速度应控制在什么范围内? 12 3 【解析】 (1)在△ABC 中,因为 cos A=13,cos C=5, 5 4 所以 sin A=13,sin C=5. 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sin Acos C+cos Asin C=13×5+13×5=65. AB AC 由正弦定理sin C=sin B, AC 1 260 4 得 AB=sin B· sin C= 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走 了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+ 12 50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13=200(37t2-70t+50). 1 040 由于 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8, 35 故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距离最短.

BC AC (3)由正弦定理sin A=sin B, AC 1 260 5 得 BC=sin B· sin A= 63 ×13=500(m). 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 1 250 625 ≤ v ≤ 43 14 ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3
?1 250 625? min,乙步行的速度应控制在? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. ? ?

易错提示:(1)理解能力差,弄不清条件关系,第(2)、第(3)问不 会利用正、余弦定理构建函数与不等式关系. (2)计算能力差,导致计算有误;忽视实际问题的意义,求解不 规范. 防范措施:(1)理清题意,抓住正、余弦定理构建数学模型,善 于将实际问题转化为数学模型问题. (2)寻求各量之间的内在联系:①在△ABC 中利用正弦定理可求 得 AB 的长度;②利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间 的函数,然后求得函数的最小值,即得最短距离.③利用正弦定理 求出 BC 的长,再根据题意列不等式求解.

π 1.(2013· 天津高考 )在△ABC 中,∠ABC= 4,AB= 2,BC = 3,则 sin∠BAC=( 10 A. 10 10 B. 5 ) 3 10 C. 10 5 D. 5

【解析】 由余弦定理可得 AC= BA2+BC2-2BA· BCcos∠ABC = 2 2+9-2× 2×3× 2

= 5, 由 BC AC = , sin∠BAC sin∠ABC

2 3× 2 3 10 得 sin∠BAC= = 10 . 5 【答案】 C 2.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC =3 2,则 AC=( A.4 3 ) B.2 3 C. 3 3 D. 2

AC BC 【解析】 在△ABC 中,sin B=sin A, 2 3 2× 2 BC· sin B ∴AC= sin A = =2 3. 3 2

【答案】 B 课后限时自测 一、选择题 1.(2013· 广州市高三测试)如图 3-7-8,一条河的两岸平行, 河的宽度 d=600 m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水流速度为 2 km/h,若客船行驶完航程所用最短 时间为 6 min,则客船在静水中的速度大小为( )

图 3-7-8 A.8 km/h C.2 34 km/h B.6 2 km/h D.10 km/h

【解析】 由条件可知,AB 与河岸线所成锐角 θ 满足 sin θ= 600 3 4 = ,从而 cos θ = 1 000 5 5,设客船在静水中的速度大小为 v,则由平
?1 ? ?1 ? 1 4 行四边形法则得 ?10v? 2 = ?10×2? 2 + 12 - 2×10×2×1× 5 ,解得 v= ? ? ? ?

6 2.故选 B. 【答案】 B 2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜 角改为 10° ,则斜坡长为( A.1 C.2cos 10° ) B.2sin D.cos 20° 10°

【解析】 如图,∠ABC=20° ,AB=1, ∠ADC=10° ,∴∠ABD=160° . 在△ABD 中,由正弦定理得 AD AB = , sin 160° sin 10° sin 160° sin 20° ∴AD=AB· =2cos 10° . sin 10°=sin 10° 【答案】 C 3.(2014· 绍兴一模)在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的 仰角为 30° ,测得湖中之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确 到 0.1 m)( A.2.7 m C.37.3 m ) B.17.3 D.373 m m

【解析】 依题意画出示意图, CM-10 CM+10 则 tan 30°= tan 45°, ∴CM= tan 45° +tan 30° ×10 tan 45° -tan 30°

≈37.3(m). 【答案】 C

图 3-7-9 4.(2013· 湛江高三质检)如图 3-7-9,甲船以每小时 30 2海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位 于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里,则乙船的速度为( A.25 3海里/小时 小时 C.30 3海里/小时 小时 D.30 2 海 里 / )

B.25 2 海 里 /

【解析】

20 如图,连接 A1B2.由题知 A1A2=30 2×60=10 2,

A2B2=10 2,又∠A1A2B2=60° , ∴△A1A2B2 为正三角形,从而 A1B2=10 2. ∠B1A1B2=105° -60° =45° , 又 A1B1=20,在△B1A1B2 中,
2 2 由余弦定理,得 B1B2 =A1B1 +A1B2 A1B2· cos 45° =202+ 2-2A1B1·

2 (10 2)2-2×20×10 2× 2 =200.

∴B1B2=10 2, 10 2 ∴乙船的速度为 20 ×60=30 2(海里/小时). 【答案】 D

5.甲船自港口 A 出发,乙船在离港口 A 有 7 海里的 B 处,正驶 向港口 A ,又得知乙船的速度是甲船速度的两倍,航向构成 120° 角,则两船的最近距离为( )

3 3 5 23 21 A. 2 B.2 C. 2 D. 2

【解析】 如图所示,设甲船与乙船的速度分别为 v,2v,经过 t 小 时 , 两 船 分 别 到 达 C , D 处 , 得 |AC| = vt , |AD| = 7 - 7? ? → =AD → -AC → ,且AD → 与AC → 的夹角为 60° 2vt?0≤t≤2v?,由于CD ,
? ?

→ |2=(AD → -AC → )2=(7-2vt)2+(vt)2-2vt(7-2vt)· 所以|CD cos 60° = 5? 21 21 ? 21 7v2t2-35vt+49=7?vt-2?2+ 4 ≥ 4 ,因此,两船的最近距离为 2 ? ? 海里.选 D. 【答案】 二、填空题 D

图 3-8-10 6.如图 3-8-10 所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两 点 A,B 望对岸的标记物 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB= 120 m.则这条河的宽度为________m.

【解析】 因为∠CAB=30° ,∠CBA=75° , 则∠ACB=180° -30° -75° =75° , 所以 AC=AB=120 m,设这条河的宽度为 h, 1 ∴h=AC· sin A=120×2=60(m). 【答案】 60 7.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° ,则乙楼的高是________米.

【解析】 如图,依题意甲楼高度 AB=20tan 60° =20 3米,又 CM=DB=20 米,∠CAM=60° . 1 20 3 所以 AM=CM· = tan 60° 3 米, 20 3 40 3 所以乙楼的高 CD=20 3- 3 = 3 米. 【答案】 40 3 3

图 3-8-11 8.(2014· 广州模拟)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速 度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯 塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点距离为________海里.

【解析】

由已知可得,∠ BAC = 30° ,∠ ABC = 105° , AB =

20,从而∠ACB=45° . AB 在△ABC 中,由正弦定理,得 BC=sin 45° ×sin 30° =10 2. 【答案】 10 2 三、解答题

图 3-8-12 9.(2014· 惠州模拟)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上 航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点 A,B,且 AB 长为 80 米,当航模在 C 处时,测得∠ABC=105° 和∠BAC=30° , 经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得∠BAD=90° 和∠ABD= 45° .请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号) 【解】 在△ABD 中,∵∠BAD=90° ,∠ABD=45° , ∴∠ADB=45° , ∴AD=AB=80,∴BD=80 2. BC AB 在△ABC 中,sin 30° =sin 45° , 1 80×2 ABsin 30° ∴BC= sin 45° = =40 2. 2 2 在△DBC 中,DC2=DB2+BC2-2DB· BCcos 60° 1 =(80 2)2+(40 2)2-2×80 2×40 2×2=9 600. 40 6 ∴DC=40 6,航模的速度 V= 20 =2 6米/秒.

答:航模的速度为 2 6米/秒.

图 3-8-13 10.某城市有一块不规则的绿地如图 3-8-13 所示,城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10, AC=16,∠C=∠D.试求 AB 的长度. 【解】 (1)在△ABC 中,由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C=356-320cos C,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos D=392-392cos C,② 由①②得:356-320cos C=392-392cos C, 1 整理可得,cos C=2, 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14. 11.(2014· 珠海模拟)已知甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作 匀速直线航行,速度为 15 2海里/小时,在甲船从 A 岛出发的同时, 1? ? 乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发,朝北偏东 θ?tan θ=2?的方向
? ?

作匀速直线航行,速度为 m 海里/小时. (1)若两船能相遇,求 m 的值; (2)当 m=10 5时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离 为多少海里?

1 【解】 (1)设经过时间 t 时两船在 M 处相遇,由 tan θ=2,得 sin 5 2 5 10 θ= 5 ,cos θ= 5 ,则 sin∠AMB=sin(45° -θ)= 10 , AM AB 由正弦定理得sin θ= , sin∠AMB ∴AM=40 2, 同理得 BM=40 5, ∵t= 40 2 8 = , 15 2 3

40 5 ∴m= 8 =15 5. 3 (2)以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图 所示,设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P、Q 处,则 AP=15 2t,BQ= 10 5t.

1 2 5 5 由 tan θ=2可得,cos θ= 5 ,sin θ= 5 . 根 据 任 意角 的三角 函 数 的定 义,可 得 点 P(x1 , y1) 的 坐 标 是
? =15t ?x1=15 2tcos 45° ? , ? =15t ?y1=15 2tsin 45°

→ =(15t,15t), 即向量AP → 相等的向量AQ → → 过点 A 作与向量BQ ′,同理可得AQ ′的坐标为

→ =(10t,20t).从而向量AQ → =AB → +BQ → =(10t,20t- (10t,20t),即向量BQ 40). → =AQ → -AP → =(-5t,5t-40), ∴PQ → |= ?-5t?2+?5t-40?2 ∴|PQ = 50t2-400t+1 600 = 50?t-4?2+800≥20 2. → |取得最小值 20 2,即两船出发 4 小时 当且仅当 t=4 时,|PQ 后,距离最近,最近距离为 20 2海里.


相关文章:
2016年高考三角函数专题复习(含答案)
2016年高考三角函数专题复习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高考复习—三角...5 ? 8 ,故选 C. 【考点定位】三角函数的图象与性质. 【名师点晴】本题...
数学高职高考专题复习_三角函数
高考三角函数问题专题复习一、三角函数基础题 1、 已知角 α 的终边通过点 P(-3,4),则 sinα+cosα+tanα= ( D. ) 23 15 17 ?= 2、 sin 6 A. ...
高考一轮复习专题-三角函数(全)
高考一轮复习专题-三角函数(全)_高考_高中教育_...4 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 ...y=Asin(ω x+φ )的图象与性质的综合应用 【例...
高考第一轮复习三角函数试题
高考第一轮复习三角函数试题_数学_高中教育_教育专区。第一轮复习三角函数专题一、 选择题(每题 5 分共 60 分) 1 . sin 600 = 。 ( B. ) A. - 1 ...
高考三角函数与解斜三角形综合复习(结合高考典型习题)
高考三角函数与解斜三角形综合复习(结合高考典型习题) 三角函数公式听写: 两角和公式 sin(A+B) = sin(A-B) = cos(A+B) = cos(A-B) = tan(A+B) =...
高考总复习——空间几何、三角函数
高考总复习——空间几何、三角函数_高考_高中教育_教育专区。高考总复习——空间几何、三角函数 一.解答题(共 30 小题) 1.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面...
2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:三角函数
2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:三角函数_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。下面是编辑老师整理的 2016 年高考数学第一轮复习提分专练习题: 三角函数...
高考复习试题---三角函数专题
高考复习试题---三角函数专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。考点 6 三角...3 3 18 18 2 3 【22】 (B,浙江,文 13) 、 3 解析:由题意得,不妨...
高中数学三角函数练习题含答案
高中数学三角函数练习题含答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学复习必修 4 ...高中数学高考三角函数重... 16页 免费 带答案高中数学第一轮复... 5页 免费...
(经典)高考一轮复习专题:三角函数
(经典)高考一轮复习专题:三角函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。新课标...(二) 典型例题分析例1. 同角三角函数关系(知一求二) (1)已知 sin ? ? ...
更多相关标签: