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数学奥林匹克竞赛讲座 01奇数和偶数


竞赛讲座 01 -奇数和偶数
整数中,能被 2 整除的数是偶数,反之是奇数,偶数可用 2k 表示 ,奇数可用 2k+1 表示,这里 k 是整 数.关于奇数和偶数,有下面的性质: (1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数; (2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数; (3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数; (4)若 a,b 为整数,则 a+b 与 a-b 有相同的奇数偶; (5)n 个奇数的乘积是奇数,n 个偶数的乘积是 2n 的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数. 以上性质简单明了,解题时如果能巧妙应用,常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例 1(第 2 届"华罗庚金杯"决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这 12 个整数 中,至少有几个偶数? □+□=□, □-□=□, □×□=□ □÷□=□. 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数, 乘法和除法算式中至少各有二个偶数, 故这 12 个整数中 至少有六个偶数. 例 2 (第 1 届"祖冲之杯"数学邀请赛)已知 n 是偶数,m 是奇数,方程组

是整数,那么 (A)p,q 都是偶数. (B)p,q 都是奇数. (C)p 是偶数,q 是奇数 (D)p 是奇数,q 是偶数 分析 由于 1988y 是偶数,由第一方程知 p=x=n+1988y,所以 p 是偶数,将其代入第二方程中,于是 11x 也为偶数,从而 27y=m-11x 为奇数,所以是 y=q 奇数,应选(C) 例 3 在 1,2,3…,1992 前面任意添上一个正号和负号,它们的代数和是奇数还是偶数. 分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同,所以在题设数字前面都添上正号和负号不改

变其奇偶性,而 1+2+3+…+1992=

=996×1993 为偶数 于是题设的代数和应为偶数.

2.与整除有关的问题 例 4(首届"华罗庚金杯"决赛题)70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等于 它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,….问最右边的一个数被 6 除 余几? 解 设 70 个数依次为 a1,a2,a3 据题意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知: 当 n 被 3 除余 1 时,an 是偶数;

当 n 被 3 除余 0 时,或余 2 时,an 是奇数,显然 a70 是 3k+1 型偶数,所以 k 必须是奇数,令 k=2n+1, 则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解 设十位数,五个奇数位数字之和为 a,五个偶数位之和为 b(10≤a≤35,10≤b≤35),则 a+b=45,又十位 数能被 11 整除,则 a-b 应为 0,11,22(为什么?).由于 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性,因此 a-b=11 即 a=28,b=17. 要排最大的十位数,妨先排出前四位数 9876,由于偶数位五个数字之和是 17,现在 8+6=14,偶数位其 它三个数字之和只能是 17-14=3,这三个数字只能是 2,1,0. 故所求的十位数是 9876524130. 例 6(1990 年日本高考数学试题)设 a,b 是自然数,且有关系式 123456789=(11111+a) (11111-b) , ① 证明 a-b 是 4 的倍数. 证明 由①式可知 11111(a-b)=ab+4×617 ② ∵a>0,b>0,∴a-b>0 首先, 易知 a-b 是偶数, 否则 11111(a-b)是奇数, 从而知 ab 是奇数, 进而知 a, 都是奇数, b 可知(11111+a) 及(11111-b)都为偶数,这与式①矛盾 其次,从 a-b 是偶数,根据②可知 ab 是偶数,进而易知 a,b 皆为偶数,从而 ab+4×617 是 4 的倍数, 由②知 a-b 是 4 的倍数. 3.图表中奇与偶 例 7(第 10 届全俄中学生数学竞赛试题)在 3×3 的正方格(a)和(b)中,每格填"+"或"-"的符号,然 后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的"变号"程序后, 能否从一张表变化为 另一张表. 解 按题设程序,这是不可能做到的,考察下面填法: 在黑板所示的 2×2 的正方形表格中,按题设程序"变号","+"号或者不变,或者变成两个.

表(a)中小正方形有四个"+"号,实施变号步骤后,"+"的个数仍是偶数;但表(b)中小正方形"+"号的个数 仍是奇数,故它不能从一个变化到另一个. 显然,小正方形互变无法实现,3×3 的大正方形的互变,更无法实现. 例 8(第 36 届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数 1,3,5,7…排成五列,按右表的格式排下去,1985 所在的那列,从左数起是第几列?(此处无表) 解 由表格可知,每行有四个正奇数,而 1985=4×496+1,因此 1985 是第 497 行的第一个数,又奇数行 的第一个数位于第二列,偶数行的第一个数位于第四列,所以从左数起,1985 在第二列. 例 9 如图 3-1,设线段 AB 的两个端点中,一个是红点,一个是绿点,在线段中插入 n 个分点,把 AB 分成 n+1 个不重叠的小线段, 如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话, 则称它为标 准线段.证明 不论分点如何选取,标准线段的条路总是奇数. 分析 n 个分点的位置无关紧要,感兴趣的只是红点还是绿点,现用 A,B 分别表示红,绿点; 不难看出:分点每改变一次字母就得到一条标准线段,并且从 A 点开始,每连续改变两次又回到 A,

现在最后一个字母是 B,故共改变了奇数次,所以标准线段的条数必为奇数.

4.有趣的应用题 例 10(第 2 届"从小爱数学"赛题)图 3-2 是某一个浅湖泊的平面图,图中所有曲线都是湖岸. (1)如果 P 点在岸上,那么 A 点在岸上还是在水中? (2)某人过这湖泊,他下水时脱鞋,上岸时穿鞋.如果有一点 B,他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇 数,那么 B 点是在岸上还是在水中?说明理由.

解 (1)连结 AP,显然与曲线的交点数是个奇数,因而 A 点必在水中. (2)从水中经过一次陆地到水中,脱鞋与穿鞋的次数和为 2,由于 A 点在水中,氢不管怎样走,走在 水中时,脱鞋,穿鞋的次数的和总是偶数,可见 B 点必在岸上. 例 11 书店有单价为 10 分,15 分,25 分,40 分的四种贺年片,小华花了几张一元钱,正好买了 30 张,其中某两种各 5 张,另两种各 10 张,问小华买贺年片花去多少钱? 分析 设买的贺年片分别为 a,b,c,d(张) ,用去 k 张 1 元的人民币,依题意有 10a+15b+25c+40d=100k,(k 为正整数) 即 2a+3b+5c+8d=20k 显然 b,c 有相同的奇偶性.

若同为偶数,b-c=10 和 a=b=5,

不是整数;

若同为奇数,b=c=5 和 a=d=10,k=7. 例 12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行, 若干列的小矩形展览室, 每相邻两室间都有 若干方形门或圆形门相通,仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通,试证明:任何一个参观者 选择任何路线任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外,他经过的方形门的次数与圆形门的次数 (重复经过的重复计算)之差总是偶数. 证明 给出入口处展览室记"+"号,凡与"+"相邻的展览室记"-"号,凡与"-"号相邻的展览室都记"+"号, 如此则相邻两室的"+","-"号都不同. 一参观者从出入口处的"+"号室进入厅内,走过若干个展览室又回到入口处的"+"号室,他的路线是

+-+-…+-+-,即从"+"号室起到"+"号室止,中间"-","+"号室为 n+1(重复经过的重复计算) ,即共走了 2n+1 室,于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了 2n+2 个门(包括进出出入口门各 1 次). 设其经过的方形门的次数是 r 次,经过圆形门的次数是 s,则 s+r=2n+2 为偶数,故 r-s 也为偶数,所以 命题结论成立. 例 13 有一无穷小数 A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中 ai(i=1,2)是数字,并且 a1 是奇数,a2 是偶数,a3 等于 a1+a2 的个位数…,an+2 是 an+an+1(n=1,2…,)的个位数,证明 A 是有理数. 证明 为证明 A 是有理数,只要证明 A 是循环小数即可,由题意知无穷小数 A 的每一个数字是由这个 数字的前面的两位数字决定的,若某两个数字 ab 重复出现了,即 0.…ab…ab…此小数就开始循环. 而无穷小数 A 的各位数字有如下的奇偶性规律: A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇…… 又 a 是奇数可取 1,3,5,7,9; b 是偶数可取 0,2,4,6,8. 所以非负有序实数对一共只有 25 个是不相同的,在构成 A 的前 25 个奇偶数组中,至少出现两组是完 全相同的,这就证得 A 是一循环小数,即 A 是有理数.

练 习
1.填空题 (1)有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最大数与最小数的积是一个奇数,而这 四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是______

(2)有五个连续偶数,已知第三个数比第一个数与第五个数和的 (3)能否把 1993 部电话中的每一部与其它 5 部电话相连结? 答____. 2.选择题 (1)设 a,b 都是整数,下列命题正确的个数是( ) ①若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是偶数; ②若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是奇数; ③若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是奇数; ④若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是偶数. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

多 18,这五个偶数之和是____.

(2)若 n 是大于 1 的整数,则

的值( ).

(A)一定是偶数 (B)必然是非零偶数 (C)是偶数但不是 2 (D)可以是偶数,也可以是奇数 (3)已知关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a,b,c 为整数) ,如果当 x=0 与 x=1 时,二次三项式的值都 是奇数,那么 a( ) (A)不能确定奇数还是偶数 (B)必然是非零偶数 (C)必然是奇数 (D)必然是零 3.(1986 年宿州竞赛题)试证明 11986+91986+81986+61986 是一个偶数. 4.请用 0 到 9 十个不同的数字组成一个能被 11 整除的最小十位数. 5.有 n 个整数,共积为 n,和为零,求证:数 n 能被 4 整除 6.在一个凸 n 边形内,任意给出有限个点,在这些点之间以及这些点与凸 n 边形顶点之间,用线段连续 起来,要使这些线段互不相交,而且把原凸 n 边形分为只朋角形的小块,试证这种小三我有形的个数与

n 有相同的奇偶性. 7.(1983 年福建竞赛题)一个四位数是奇数,它的首位数字泪地其余各位数字,而第二位数字大于其它 各位数字,第三位数字等于首末两位数字的和的两倍,求这四位数. 8.(1909 年匈牙利竞赛题)试证:3n+1 能被 2 或 22 整除,而不能被 2 的更高次幂整除. 9.(全俄 15 届中学生数学竞赛题)在 1,2,3…,1989 之间填上"+"或"-"号,求和式可以得到最小的非 负数是多少?

练习参考答案
1. (1)30. (最小两位奇数是11,最大数与最小数同为奇数) (2)180.设第一个偶数为x,则后面四个衣次为x+2,x+4,x+6,x+8. (3)不能. 2.B.B.A 1986 1986 1986 1986 3.1 是奇数1,9 的个位数字是奇数1,而8 ,6 都是偶数,故最后为偶数. 4.仿例5 1203465879. 5.设a1,a2,…,an满足题设即a1+a2+…+an=0 ① a1a2……an=n ②.假如n为奇数,由②,所有ai皆为奇数,但奇数个奇数之和为奇数,故这 时①不成立,可见n只能为偶数.由于n为偶数,由②知ai中必有一个偶数,由①知ai中必有另一个 偶数.于是ai中必有两个偶数,因而由②知n必能被4整除. 6.设小三角形的个数为k,则k个小三角形共有3k条边,减去n边形的n条边及重复计算的边数扣

共有

(3k+n)条线段,显然只有当k与n有相同的奇偶性时,

(3k-n)才是整数.

7.设这个四位数是

由于1≤a<d,d是奇数所以d≥3于是c=2(a+d)≥8,即c=8

或c=9.因c是偶数,所以c=8,由此得a=1,d=3.又因b>c,所以b=9因此该数为1 983. n n 8.当n为奇数时,考虑(4-1) +1的展开式;当n为偶数时,考虑(2+1) +1的展开式. 9.除995外,可将1,2,…,1989所有数分为994对: (1,1989) (2,1988)… (994,996)每对数中两个数的奇偶性相同,所以在每对数前无论放置"+","-"号,运算结果 只能是偶数.而995为奇数,所以数1,2,…,1989的总值是奇数,于是所求的最小非负数不 小于1,数1可用下列方式求得: 1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1986-1987-1988+198 9) .

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