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关于椭圆离心率求法


水深火热的演练
一、直接求出 a ,c 或求出 a 与 b 的比值,以求解 e 。 在椭圆中, e ?

c c c2 a2 ? b2 b2 ,e ? ? ? ? 1 ? a a a2 a2 a2

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于

3 2
1 2 1 。 2

3.若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0), F2 (3,0) ,则椭圆的离心率为

4.已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为

5.若椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 短轴端点为 P 满足 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率为 e ? 。 2 2 a b

6..已知

1 2 x2 y2 3 ? ? 1(m ? 0.n ? 0) 则当 mn 取得最小值时,椭圆 2 ? 2 ? 1 的的离心率为 m n m n 2

8.已知 F1 为椭圆的左焦点, A、 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点, P 为椭圆上的点, 当 PF1⊥F1A, PO∥AB (O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率为 e ? 9.P 是椭圆

2 。 2

x2 y2 + =1 (a>b>0) 上一点, 已知?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? 2? , ?F1PF2 ? 3? , F1、F2 是椭圆的左右焦点, a2 b2

椭圆的离心率为 e ? 3 ? 1
? ? 10.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,若 ?PF 1 F2 ? 15 , ?PF 2F 1 ? 75 , 则椭圆的

离心率为 13.椭圆

6 3

1 x2 y2 ? 2 ?1 (a>b>0) 的两顶点为 A (a,0) B(0,b),若右焦点 F 到直线 AB 的距离等于 ∣AF∣, 2 2 a b 6 则椭圆的离心率是 。 3

14.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则 a2 b2

椭圆的离心率是

5 ?1 2
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的顶点 A(a,0)、B(0,b),如果坐标原点到直线 L 的距 a2 b2
经典的,不会那么容易过时------------1

15.已知直线 L 过椭圆

离为

a 6 ,则椭圆的离心率是 2 3

x2 y 2 16.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径作圆,过 a b 2 ?a ? 2 点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 2 ? c ?
17.设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两 2 2 a b 个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ( A )
A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 二、构造 a ,c 的齐次式,解出 e

1.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是

3 5

2.以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点,椭圆的左焦点为 F1,直线 MF1 与圆相切,则椭圆的离心率是 3 ? 1 3.以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点,如果 ∣MF∣=∣MO∣,则椭圆的离心率是 3 ? 1 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是 2 ? 1 5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正 三角形,则这个椭圆的离心率是

3 3

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值 1.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
范围是 (0,

2 ) 2
?

2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 90 ,椭圆离心率 e 的取值范围 为?

? 2 ? ,1? ? 2 ? ?
?

3.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,椭圆离心率 e 的取值范围 为 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

经典的,不会那么容易过时------------2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,若椭圆上存在一点 Q,使∠F1QF2=120?,椭圆离 a2 b2 6 心率 e 的取值范围为 ? e ?1 3 7 5.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心 18 3 率e ? . 8
4.设椭圆

x2 y 2 6. 设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 a b ? 3 ? , 1? 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 ? ? 3 ? ?
7.如图,正六边形 ABCDEF 的顶点 A、D 为一椭圆的两个焦点,其余四个顶点 B、C、E、F 均在椭圆上, 则椭圆离心率的取值范围是 3 ? 1
F E

A

D

B

C

关于双曲线离心率
一、利用双曲线性质 例 1 设点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左支上, 双曲线两焦点为 F1、F2 , 已知 | PF 1 | a 2 b2

是点 P 到左准线 l 的距离 d 和 | PF 2 | 的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。
经典的,不会那么容易过时------------3

2 解析: 由题设 | PF 1 | ? d | PF 2 | 得:

| PF | PF | PF2 | | PF | 1 | 1 | ? e 得: 2 ? e , 。 由双曲线第二定义 ? d d | PF | PF 1 | 1 |

由焦半径公式得: ?

a ? ex (1 ? e)a ? e ,则 x ? ? 2 ? ?a ,即 e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 1 ? e ? 1 ? 2 。 a ? ex e ?e 归纳:求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标,再利用性质:若点 P 在双曲线

x 2 y2 x 2 y2 x ? ? a p ? ? 1 ? ? 1 的右支上则 x ? a 。 的左支上则 ;若点 在双曲线 a 2 b2 a 2 b2
二、利用平面几何性质 例 2 设点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 右 支 上 , 双 曲 线 两 焦 点 F1、F2 , a 2 b2

| PF 1 |? 4 | PF 2 | ,求双曲线离心率的取值范围。
解析:由双曲线第一定义得: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ,与已知 | PF 1 |? 4 | PF 2 | 联立解得:

8 2 8 2 | PF1 |? a , | PF2 |? a , 由 三 角 形 性 质 | PF a ? a ? 2c 解 得 : 1 | ? | PF 2 |?| F 1 F2 | 得 : 3 3 3 3 5 1? e ? 。 3
归纳: 求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质, 如 “直角三角形中斜边大于直角边” 、 “三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。 三、利用数形结合 例 3 (同例 2) 解析:由例 2 可知:

8 2 | PF1 |? a , | PF2 |? a ,点 P 在双曲线右支上由图 1 可知: | PF 1 |? c ? a , | PF2 |? c ? a ,即 3 3 8 2 5 5 a ? c ? a , a ? c ? a ,两式相加得: a ? c ,解得: 1 ? e ? 。 3 3 3 3

四、利用均值不等式 例 4 已知点 P 在双曲线
2 | PF x 2 y2 1 | ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) F 、 F 的右支上,双曲线两焦点为 , 1 2 a 2 b2 | P F2 |

经典的,不会那么容易过时------------4

最小值是 8a ,求双曲线离心率的取值范围。 解析:
2 | PF (| PF2 | ?2a ) 2 4a 2 1 | 由均值定理知: 当且仅当 | PF ? ?| PF2 | ? ? 4a ? 8a , 2 |? 2a | PF2 | | PF2 | | PF2 |

时取得最小值 8a ,又 | PF 2 |? c ? a 所以 2a ? c ? a ,则 1 ? e ? 3 。 五、利用已知参数的范围 例5 (2000 年全国高考题)已知梯形 ABCD 中, | AB |? 2 | CD | ,点 E 分有向线段 AC 所成

的比为 ? ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当 范围。

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率的取值 3 4

x 2 y2 解 析 : 如 图 2 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 设 双 曲 线 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 设 a b
c A(?c,0)、B(c,0)、C( , h )、E( x 0 , y 0 ) 其 中 h 是 梯 形 的 高 , 由 定 比 分 点 公 式 得 2

x0 ?

(? ? 2)c ?h , y0 ? ,把 C、 2(? ? 1) ? ?1

E 两点坐标分别代入双曲线方程得

c2 h2 (? ? 2) 2 c 2 ?2 h 2 ? ? 1 , ? ? 1, 4a 2 b 2 4(? ? 1) 2 a 2 (? ? 1) 2 b 2
两式整理得

2 3 e2 ?1 (? ? 2) 2 e 2 ?2 e2 ? ? , 从而建立函数关系式 , 由已知 ? ? ? ? ( ? 1 ) ? 1 2 2 2 3 4 e ?2 4(? ? 1) (? ? 1) 4

得,

2 e2 ?1 3 ? ? ,解得 7 ? e ? 10 。 3 e2 ? 2 4

六、利用直线与双曲线的位置关系 例 6 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 交于 P、Q 两个不同的点,求双曲线 2 a
经典的,不会那么容易过时------------5

离心率的取值范围。 解析:把双曲线方程和直线方程联立消去 x 得:(1 ? a 2 ) y 2 ? 2y ? 1 ? a 2 ? 0,1 ? a 2 ? 0 时,直线
2 与双曲线有两个不同的交点则 ? ? 0 , ? ? 4 ? 4(1 ? a 2 ) 2 ? 4a 2 (2 ? a 2 ) ? 0 ,即 a ? 2 且 a ? 1 ,

所以 e ?
2

c2 1 3 6 ? 1 ? 2 ? ,即 e ? 且e ? 2 。 2 2 2 a a

七、利用点与双曲线的位置关系 例 7 已知双曲线 率的取值范围。
2 解析:设 P(x1 , y1 ), Q(x 2 , y 2 ) ,弦 PQ 中点为 M,由点差法求得 M( a , 2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 上存在 P、 Q 两点关于直线 x ? 2 y ? 1 对称, 求双曲线离心 a2
1 ), a ? 2 a2 ? 2

当点 M 在双曲线内部时

4 2 a2 1 ? 2 ? 1 ,整理得: a ? 3a ? 5 ? 0 无解; 2 2 2 (a ? 2) (a ? 2)

当点 M 在双曲线外部时,点 M 应在两渐近线相交所形成的上下区域内,由线性规划可知:

1 a2 1 ? 2 ? 0 ,即 a 2 ? 1 ,则 e 2 ? 1 ? 2 ? 2 ,所以 e ? 2 。 2 2 2 a (a ? 2) (a ? 2)
八、利用非负数性质 例 8 已知过双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 的直线 l 交双曲线于 P 、Q 两点,且 a 2 b2

OP ? OQ ( O 为原点),求双曲线离心率的取值范围。

解析:设 P(x1 , y1 )、Q(x 2 , y 2 ) ,过左焦点 F1 的直线 l 方程: x ? ty ? c ,代入双曲线方程得:

(b t ? a ) y ? 2b tcy ? b ? 0 ,由韦达定理得: y1 ? y 2 ?
2 2 2 2 2 4

2b 2 tc , b2t 2 ? a 2

经典的,不会那么容易过时------------6

b4 y1 y 2 ? 2 2 , x 1 x 2 ? ( ty1 ? c)(ty2 ? c) ? t 2 y1 y 2 ? ct( y1 ? y 2 ) ? c 2 , 由 OP ⊥ OQ 得 2 b t ?a

x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即:

b 4 ( t 2 ? 1) 2b 2 t 2 c 2 b4 ? a 2c2 2 2 2 ? ? c ? 0 t ? ,解得: ,因为 t ? 0 ,所 2 2 2 2 2 2 2 2 b t ?a b t ?a a b

4 2 2 4 4 2 2 以 b ? a c ? 0 ,则 a ? 3a c ? c ? 0, e ? 3e ? 1 ? 0, e ?
4 2 2

3? 5 5 ?1 ,所以 e ? 。 2 2

经典的,不会那么容易过时------------7


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