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导数的定义


Ch3 中值定理与导数 的应用
§1 中值定理

一、罗尔(Rolle)定理
1.罗尔中值定理: f ( x ) ? C[a, b], 在(a, b)内可导,
f (a ) ? f (b), 则?? ? (a, b), ? f ?(? ) ? 0.

例如, f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 ?

( x ? 3)( x ? 1).
在[?1,3]上连续,
且 f ( ?1) ? f ( 3) ? 0,
取? ? 1, (1 ? ( ?1,3))

在( ?1,3)上可导,
? f ?( x ) ? 2( x ? 1),

f ?(?) ? 0.

几何解释:
在曲线弧AB 上 至少有一点C , 在该点处的切 线是水平的.

y

C

y ? f ( x)

A
o a
?1 ?2

B
x

b

证明思路:1. 证明f ( x )在(a, b)内取得最值。
2. 证明在上述最值点处导 数为零。

证 ? f ( x ) 在 [a , b] 连续,必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M ? m.
则 f ( x) ? M .

由此得 f ?( x ) ? 0. ? ? ? (a , b), 都有 f ?(?) ? 0.
( 2) 若 M ? m . ? f (a ) ? f (b ),

? 最值不可能同时在端点 取得.

设 M ? f (a ),
则在 (a , b) 内至少存在一点? 使 f (? ) ? M .
? f (? ? ?x ) ? f (? ), ? f (? ? ?x ) ? f (? ) ? 0,

若 ?x ? 0, 则有 f (? ? ?x ) ? f (? ) ? 0;
?x

f ( ? ? ?x ) ? f ( ? ) 若 ?x ? 0, 则有 ? 0; ?x f (? ? ?x ) ? f (? ) ? f ?? (? ) ? lim ? 0; ?x ?0? ?x

f (? ? ?x ) ? f (? ) f ?? (? ) ? lim ? 0;? f ?(?)存在, ?x ?0? ?x

? f ?? (?) ? f ?? (?). ? 只有 f ?(?) ? 0.

注意:1. 定理的条件仅是充分条件;但三 个条件缺一, 结论可能不成立。
例如, y ? x , x ? [?2,2]; 在 [?2,2] 上除 f ?(0) 不存在外, 满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2, 2]内找不到一点能

使 f ?( x ) ? 0.

2. 满足定理结论的 ?可能不唯一。

3. 该定理常用于证明方程f(x)=0有根,应用 的关键在于构造函数 F ( x ), ? F ?( x ) ? f ( x ),
且F (a ) ? F (b)。

例1 已知:a1 ? a2 ? a3 ? 0, 证明方程:
3a1 x ? 2a2 x ? a3 ? 0 至少有 一正实根.
2

证 令 f ( x ) ? a1 x 3 ? a2 x 2 ? a3 x ,
则 f ( x )在[0,1]连续、可导 , 且 f (0) ? f (1) ? 0,

? x0 ? (0,1), 使 f ?( x0 ) ? 3a1 x0 ? 2a2 x0 ? a3 ? 0 ,
2 即方程 3a1 x ? 2a 2 x ? a3 ? 0 至少有 一正实根.

2

f (a ) ? f (b) ? f ?(b) 例2 设f ( x )在[a, b]上二阶可导, ? 0, 证明:?? ? (a, b),使得f ??(? ) ? 0. , 证明 显然f ( x )在[a, b]上满足罗尔定理的条件
? ?c ? (a , b), ? f ?(c ) ? 0.

又f ?( x )在[c, b]上满足罗尔定理的条件 ,
? ?? ? (c , b) ? (a , b), ? f ??(? ) ? 0.

y A C O
K AB f (b) ? f (a ) ? b?a

B T

?
K 切=f ?(? )

x

CT∥ AB ? K AB ? K 切

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点?(a ? ? ? b ) ,使等式
( 2)

f (b ) ? f (a ) ? f ' (? )( b ? a ) 成立.

f (b) ? f (a ) 要证f ?(? ) ? , 需构造F ( x ), 满足: 分析: b?a f (b) ? f (a ) 1)F ?( x ) ? f ?( x ) ? , 2)F (a ) ? F (b). b?a

几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.

y
C

M N

y ? f ( x)

B

A

D

o a

?1

x

?2 b

x

f (b) ? f (a ) 弦AB方程为 y ? f (a ) ? b ? a ( x ? a ).

曲线 f ( x ) 减去弦 AB,

所得曲线a, b两端点的函数值相等 .



f (b) ? f (a ) F ( x ) ? f ( x ) ? [ f (a ) ? ( x ? a )]. b?a

作辅助函数

F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,

则在(a , b)内至少存在一点 ?, 使得 F ?(?) ? 0.
f (b) ? f (a ) 即 f ?( ? ) ? ?0 b?a

或 f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a ).

拉格朗日中值公式

注意:1.由于拉氏公式表达了函数在一个区间 上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间 的关系,所以,研究函数和其导数有关的等式

或不等式时,通常考虑应用拉氏定理。 2.拉氏定理是罗尔定理的推广;条件也仅是
充分条件; ?也可不唯一。

3.拉氏定理常用的表现形式:
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ? ??x ) ? ?x (0 ? ? ? 1),
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? f ?(? ) ? ?x , f (b) ? f (a ) ? f ?(a ? ? (b ? a )) ? (b ? a ) (0 ? ? ? 1).

例3 对函数f ( x ) ? arctan x在[0,1]验证拉氏定理, 并求? . 解
f ( x )在[0,1]上连续、可导,
1 , 所以满足拉氏定理的条件。 f ?( x ) ? 2 1? x ? 1 令 ? arctan1 ? arctan0 ? , 2 4 1? x 4 解得:?= -1 ? (0, 1), ?

所以拉氏定理成立。

推论 若 f ?( x ) ? 0,x ? I , 则
为常数 .

f ( x ) 在区间 I 上

证明 ?t、y ? I , 不妨设t ? y, 则f ( x )在[t , y] 满足拉氏定理的条件, ? ?? ? ( t , y ), ?
f ( y ) ? f ( t ) ? f ?(? )( y ? t ) ? 0,

由t , y的任意性,可知 f ( x )在I上为常数。 ? 例4 证明: arctan x ? arc cot x ? . 2 证明 令f ( x ) ? arctan x ? arc cot x,

1 1 则f ?( x ) ? ? (? ) ? 0. 2 2 1? x 1? x ? f ( x ) ? C , x ? ( ??,?? ).
又 ? f (0) ? arctan 0 ? arc cot 0 ? 0 ? ? ? ? , 2
? ? 即 C ? . ? arctan x ? arc cot x ? . 2 2 2

小结:证明函数相等时,常将变量移到等式的

一边,构造 f ( x ), 证明f ?( x ) ? 0, 说明f(x)是常值,

再借助函数某点的值,得到要证明的结论。

x ? ln(1 ? x ) ? x . 例5 证明当x ? 0时, 1? x

证 设 f ( x ) ? ln(1 ? x ),
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
? f ( x ) ? f (0) ? f ?(? )( x ? 0), (0 ? ? ? x )

1 ? f (0) ? 0, f ?( x ) ? , 由上式得 ln(1 ? x ) ? x , 1? x 1? ? 1 1 又?0 ? ? ? x 1? 1? ? ? 1? x ? ? 1, 1? x 1? ? x x x ? ? ? x, 即 ? ln(1 ? x ) ? x . 1? x 1? ? 1? x

例6(结论) f ( x )在(a ? ? , a ? ? )内连续,在
(a ? ? , a )内可导, (在(a, a ? ? )), 若f ?(a ? 0)存在,

( f ?(a ? 0)存在),则f ?? (a )也存在,(则f ?? (a )也存在),
且f ?? (a ) ? f ?(a ? 0), ( f ?? (a ) ? f ?(a ? 0)).

证明

??x (?? ? ?x ? 0), f ( x )在[a ? ?x, a]上

满足拉氏定理的条件,所以
f (a ? ?x ) ? f (a ) ? f ?(? )?x ,

? ? (a ? ?x , a ),

f ( a ? ?x ) ? f ( a ) ? f ?? (a ) ? lim ?x ?0? ?x

? lim f ?(? ) ? f ?(a ? 0).
? x ?0 ?

同理可证:f ?? (a ) ? f ?(a ? 0).

注:1.不是所有函数都成立上述结论。
1 ? 2 ? x sin , x ? 0, 如:f ( x ) ? ? 有 x ? , x ? 0, ? 0

1 1 ? ?2 x sin ? cos , x ? 0, f ?( x ) ? ? x x ? 0 , x ? 0. ?

f ?? (0) ? f ?? (0) ? 0,
lim f ?( x )都不存在。 但 lim f ?( x )及 x ?0?
x ?0 ?

2. 当f ( x )在a点不连续时,不能保证 f ?? (a ) ? f ?(a ? 0)或 f ?? (a ) ? f ?(a ? 0).
?sin x , x ? 0, 如:f ( x ) ? ? 在x ? 0处, ?1 ? x , x ? 0.

f ?(0 ? 0) ? 1, 但f ?? (0)不存在。
lim f ( x ) ? f (a ), 作业: f ( x )在[a ,?? )上可导, x ???

证明:?? ? (a,??), ? f ?(? ) ? 0.

三、柯西(Cauchy)中值定理
若曲线y ? y( x ) y 由参数方程 ? x ? F (t ) 给出, ? ? y ? f (t )

A C

B T

? O 则根据拉氏定理的几何解释,可得:
f ?( t 0 ) f (tb ) ? f (ta ) ? K 切 ? K AB ? F ?( t 0 ) F (tb ) ? F (ta )

x

柯西中值定理: f ( x )、F ( x ) ? C[a, b], 在(a, b) 内可导, F ?( x ) ? 0, 则?? ? (a, b), ?

f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? . F (b) ? F (a ) F ?(? )
分析: 直线AB的方程为:
f (b) ? f (a ) y ? f (a ) ? [ F ( x ) ? F (a )]. F (b) ? F (a )

几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C ( F (? ), f (? )), 在 该点处的切线平行于 弦AB.

y
C

M N

? X ? F ( x) ? ? Y ? f ( x)

B

A

D
F (? 2 )F ( b )

o

F ( a ) F (? 1 ) F ( x )

x

证 作辅助函数

f (b) ? f (a ) ?( x ) ? f ( x ) ? f (a ) ? [ F ( x ) ? F (a )]. F (b) ? F (a )

? ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a, b)内至少存在一点 ? , 使得 ? ?(? ) ? 0.

则在(a , b)内至少存在一点 ?, 使得 ??(?) ? 0.
f (b) ? f (a ) 即 f ?(? ) ? ? F ?(? ) ? 0, F (b) ? F (a )

f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? ? . F ( b ) ? F ( a ) F ?( ? )

当 F ( x ) ? x,

F (b) ? F (a ) ? b ? a , F ?( x ) ? 1,
f (b) ? f (a ) ? f ?(? ). b?a

f ( b ) ? f ( a ) f ?( ? ) ? F ( b ) ? F ( a ) F ?( ? )

定理; 说明: 1. F ( x ) ? x时,柯西定理即为拉氏 2. F ?( x ) ? 0,即可保证F ?(? ) ? 0, 又可保证
F (b ) ? F (a );

3. 研究两个函数和其导数之间的等式 和不等式时,通常考虑应用柯西定理。 例7
设f ( x )、g( x )在[a, b]上可导,f (a ) ? g(a ),
f (b) ? g(b), 证明:?? ? (a, b), ? f ?(? ) ? g?(? ).

问下列做法是否正确?

证明

对f ( x )、g( x )在[a, b]上应用柯西定理, f ?(? ) f (b) ? f (a ) ? ? 1, ?? ? (a , b), ? ? g ?(? ) g(b) ? g(a )
? f ?(? ) ? g?(? ).



不对。 ?不知f ?( x )或g?( x )不为零。
令F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ), 则F ( x )在[a, b]上满足

正确做法为: 罗尔中值定理的条件, ? ?? ? (a , b), ? F ?(? ) ? 0,
即f ?(? ) ? g?(? ).

注意:

对两个不同的函数分别应用拉各朗日中 值定理时,不能保证存在的 ? 相同。

例8 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 : 至少存在一点? ? (0,1), 使 f ?(? ) ? 2? [ f (1) ? f (0)]. 分析:
f ?( x ) f (1) ? f (0) f ?(?) ? 2 ? ( x )? 1? 0 2?
x??

.



设 g( x ) ? x ,
2

则 f ( x ), g( x ) 在[0,1]上满足柯西中值定理的 条件,

? 在(0,1)内至少存在一点 ?, 有
f (1) ? f (0) f ?(?) ? 1? 0 2?

即 f ?(?) ? 2?[ f (1) ? f (0)].

四、小结
使用中值定理证明含 f ?(? )的关系式的命题时, 一般将含待确定的变量 ? 移到等式的一边,其它 移到 等式的另一边且尽量表示为中值定理所需 要的区间两端点函数值差的表现形式。 方法一:根据等式一边含区间端点函数值差的 表达式确定应用中值定理所需要的函数 .

方法二:观察含待确定的变量 (如?)的表达式,
是那个函数的导数,从而构造中值定理所需要的
函数f ( x ).



方法三:若题目给出高阶导数,可多次应用罗 尔定理或拉格朗日定理,也可直接用泰勒定理 (见第二节)。

作业: 1.证明: 0?

4 ? 1 ( x ? 0). x 2 2. f ( x )在(??,??)内有定义,?x、y ? (??,??),

arctane ?
x

?

成立: f ( x ) ? f ( y ) ? M x ? y , M为常数,? ? 1.
证明:f ( x )为常数。
3. f ( x )在[0, a ]上二阶可导,且 f ??( x ) ? M , 又 f ( x )在(0, a )内取得最大值,证明:
f ?(0) ? f ?(a ) ? Ma .

?


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